赢战2023年高考数学模拟仿真卷 03卷(新高考专用)(解析版)

【冲锋号•考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷03卷（新高考专用）

（解析版）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知集合4={无cN|3，<37},B={x|l<x<2},则AcB的子集个数为（）

A.2B.4C.3D.8

【答案】A

【分析】首先根据指数不等式求解集合A,然后再根据集合交集的运算定义求解AcB,根据AcB的元素

个数即可求出其子集个数.

【详解】由题可知4=门€叫3"37}={0,1,2,3},所以Ac3={l},

其子集个数为，=2.

故选：A.

2.已知i是虚数单位，则复数2=[2。23+近一1）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.

[详解】因为Z=i2023+i（i-l）=产05+3+i2T=|1_2i,

所以复数Z在复平面内对应的点是（-1,-2）,位于第三象限.

故选：C

3.已知向量3=",-9）,6=（1,-1）,则3”是吟〃〉的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将加=-3,看Ma是否成立；根据向量共线的坐标表示，得出机的值，即可得出结论.

【详解】若机=-3,贝。a=（9,-9）=9b,所以°//6;

若aUb，则/x（-l）-（-9）xl=0,解得相=±3,得不出〃z=-3.

所以，“=-3”是“allb”的充分不必要条件.

故选：A.

4.已知公差不为零的等差数列｛4｝中，%+生=14,且％,%,%成等比数列，则数列｛外｝的前9项的和

为（）

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由题知为=7,蜡=。任，进而根据等差数列通项公式解得d=2,再求和即可.

【详解】因为%+%=14,所以2%=14,解得&=7.

又叫,出，％成等比数列，所以蜷.设数列｛4｝的公差为

则（%-2d）2=（q-3d）（%+d），即（7-2d）2=（7-3d）（7+d）,整理得屋一2d=0.

因为dwO,所以d=2.

所以S9=9x（a；+%）=9x（,7）=8i.

故选:C.

5.已知sinO+cos（。-胃=1,贝ljsin,+,j=（）.

A.-也B,-C.--D.立

3333

【答案】A

【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化sin（0+mJ即可得到答案.

sin6+cos（6一/）=1

7171

nsin6+cos6cos——Fsin6sin—=1

66

【详解】rin、

nQ—cos6+^—sin。=1

”2J

nsin/+fd

sin[e+F）=sin[e+£+%）=-sin[e+,）=~~~

故选:A

6.某旅游景区有如图所示A至X共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜

色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

【答案】B

【分析】根据题意，分2步进行分析，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解:第一步:排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有

4x3x2=24种，

第二步，排黑车，若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停

法有2x7=14种，

根据分步计数原理，共有24x14=336种，

故选：B

7.设双曲线口!-1=1（“>0,6>0）的左、右焦点分别为片,匕过点《作斜率为事的直线/与双曲线C的左

、右两支分别交于M,N两点，且（BM+gN）.”N=0,则双曲线C的离心率为（）

A.0B.73C.75D.2

【答案】A

【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线/的斜率列方程，化简求得双曲线的离心

率.

【详解】如图，设。为MN的中点，连接鸟

易知F?M+F2N=2F?D,所以（F?M+F?N）.MN=2F?D.MN=0,所以gOLMN.

因为。为MN的中点,所以。为|=|甲V|.

设|月闾=医陷=/,因为|"|-|峥|=一,所以|吗|="2°.

因为|N£|-|”|=2a,所以|M；|=r+2a.

所以|MV|=|g|TM|=4a

因为。是跖V的中点，|耳。=|印W|+|MD|,所以|⑷=|ND|=2a,寓

在Rt.£乙。中，1Kq="02_产；

22

在Rt.Mg。中，\F2D\=ylt-4a.

所以J4c2一,_小2_4/,解得t2=2a2+2c2.

所以|6刈二,2/—2〃,|耳。卜”，2〃+2/.

因为直线/的斜率为s

222

\F2D\72c-2aA/3-a1

所以tan/£>Kg=,所以c2=2a2

IM~V2a2+2c23a2+c23

=缶，所以离心率为£=&.

a

【点睛】求双曲线离心率的方法有：

(1)直接法：利用已知条件将求出，从而求得离心率气

(2)方程法：利用已知条件列出关于Q，c或的方程，化简求得离心率.

3111

8.已知Q=—,Z?=cos—,c=4sin—,贝|()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

ii

【分析】由1c二期加工结合三角函数的性质可得c>。;构造函数〃到=88%+于2-1,二(0,+8),利用导数可

得入。,即可得解.

【详解】［方法一］:构造函数

因为当xe<tanx

故：=4tan1>l,故:>1,所以c>b；

b4b

、12

iS/W-COSX+—X-1,XG(0,+co),

/r(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+oo)单调递增，

故⑼町所以cos；-||>。，

所以。>a,所以C〉Z?〉〃，故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当%£］。弓］,sinx<x,

取X=!得：cos-=l-2sin2->l-2f-^=—,故人。

848(幻32

11r-z.(11.14

4sin—+cos—=V17sin+cp^,其中^sin=-j==,cos(p=—j=

当4sin!+cos：=A/i7时，:+e=及0=£一!

444224

141.1

此时sin—=cose=r=cos—=sm0=—7=

4VI74717

故cos-=si/<4siJ,

故6<c

4历历44

所以b＞a,所以c＞6＞。，故选A

［方法三］:泰勒展开

310?521,0.2520.254

设％=0.25,则〃=二=1一三二,b=cos—«1----------1----------

322424!

.1

sm—

0.254

c=4sin-=___4H----------计算得。〉/?＞〃，故选A.

413!5!

4

［方法四］:构造函数

因为£=4tan1,因为当i£(0,=］,sin%<%<tan%,所以tan，>L，即f>1,所以c>6；设

b4<2J44b

/(X)=COSX+^X2-1,XG(0,+GO),/(x)=-sinx+x>0,所以/(M在(0,+8)单调递增，则/［；］〉/(。尸0,

131

所以8s7记＞0,所以＞，所以c"2

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan』，因为当xe(0，E］,sin尤＜尤＜tanx,所以tan，＞L即f＞1,所以c＞b；因为当

b4V2J44b

xe（0，V],sinx<x,1Zx=i^cos-=l-2sin2->l-2f->|,故〃>“，所以c>6>a.

I2；848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式x<0,j,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（）

A.数据20,21,7,31,14,16的50%分位数为16

B.若随机变量J服从正态分布N（l,b）尸（J42）=0.68,则PC<0）=032

C.在线性回归分析中决定系数R?用来刻画回归的效果，若改值越小，则模型的拟合效果越好

D.以）；=比辰拟合一组数据，经z=lny代换后的线性回归方程为）=o.2x+l，则。=6左=0.2

【答案】BD

【分析】对于A,先排序再求百分位数；

对于B,根据正态分布的性质求解即可；

对于C,根据决定系数炉的概念判断即可；

对于D,求出变换后的回归方程，再根据对应系数相等求解即可.

【详解】对于A：将数据按照从小到大的顺序排列得到：7,14,16,20,21,31,因为6x50%=3,所以

50%分位数为电言=18,故A错误；

对于B：随机变量4服从正态分布正态曲线关于直线x=l对称，则

蛇<0）=蛇>2）=1-%42）=1-0.68=0.32,故B正确；

对于C：线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越大，则模型的拟合效果越好，故C错

误；

对于D：对丫=。*两边取对数得到：lny=lnc+kx，令z=lny得至卜=履+lnc，因为经z=lny代换后的线性

回归方程为」=0.2尤+1，所以c=e#=0.2,故D正确.

故选：BD.

10.已知函数/（x）=2sin（2x-^|（xeR）,则下列命题正确的有（）

A.y=/（无）的图象关于直线x号对称

B.y=/（x）的图象关于点（三,。〕中心对称

c.y=/(x)的表达式可改写为y=2cos(2x+gj

D.若/(耳)=/(9)=0，则=彳(keZ)

【答案】BD

【分析】AB选项，代入检验即可，C选项，可利用诱导公式推导；D选项，求出函数的零点，从而求出两

零点的差值.

【详解】当x=亭时，=y=sin(2x-^]=-^,所以直线x=§不是函数的对称轴，A错误；

36616)23

当X哈时,2x-《=0,所以y=sin[2x-^J=0,所以是函数的对称中心，B正确;

/(x)=2sin12x-£j=-2cos12尤一聿+3=_2cos(2x+：J,C错误；

令/(幻=2$m[2彳_各]=0,解得：2x二=kn,keZ,即无=期+2,keZ,

\oJ6212

1/：27l

所以两个零点的距离：x,-x2=^+--^--=^~)=—(^eZ),D正确.

1221221222'7

故选：BD.

11.如图，在正方体ABCQ-A/B/G。中，点尸在线段B/C上运动，则()

A.直线8。」平面4C/D

B.三棱锥尸-A/GZ)的体积为定值

C.异面直线AP与A/D所成角的取值范用是[45。，90°]

D.直线C4与平面4C/D所成角的正弦值的最大值为四

3

【答案】ABD

【分析】在选项A中，推导出DC,±BDX,从而直线BD1平面AG。；

在选项B中，由2c〃平面AG。，得到尸到平面AC。的距离为定值，再由乙4。。的面积是定值，从而三棱

锥尸-ACQ的体积为定值;

在选项C中，异面直线AP与AQ所成角转化为直线AP与直线用C的夹角，可求取值范围；

在选项D中，以。为原点，加为x轴，。。为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行

求解即可.

【详解】对于选项A,正方体中•AG工BQ，AG±BBi,

BRCBBI=BI，且BR,54匚平面842，，4£，平面即2，

BQu平面BBA,AG-LBD,,

同理，DC】_LBDt,

A1cleDa=q,且AC,oc,u平面AG。，

直线BA，平面AGO,A选项正确；

对于选项B,正方体中AD"B、C,ACu平面AG。，用Cc平面ACQ,

，玛c〃平面4CQ,.•点尸在线段旦c上运动，

.•.尸到平面4G。的距离为定值，又显\CXD的面积是定值，

，三棱锥尸-4G。的体积为定值，B选项正确；

对于选项c,AD//B、C,.•.异面直线AP与AQ所成角为直线AP与直线4c的夹角.

易知AMC为等边三角形，

当p为四C的中点时，APVBXC.

当P与点片或C重合时，直线AP与直线5。的夹角为60.

故异面直线针与4。所成角的取值范围是[60,90],C选项错误；

对于选项D,以。为原点，D4为x轴，DC为，轴，OR为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体A3CO-4耳6。的棱长为1,点p竖坐标为a,0<a<l,

则尸(a,l,a),G(0,1,1),3(1,1,0),0,(0,0,1),

所以GP=(a,0,a-D，0,5=(!,1,-1).

由选项A正确：可知。3=(1,1,-1)是平面AG。的一个法向量,

，直线GP与平面A,C,D所成角的正弦值为：

巾山同11

|C郎印1而+(〃70=行耳_1"，

.•・当“=；时，直线GP与平面AGD所成角的正弦值的最大值为逅，D选项正确.

23

故选：ABD.

12.已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,函数〃2x+2)为奇函数，［(x-1)为偶函数,g(无)为奇函数，

g(x)的图象关于直线户2对称，则下列说法正确的是()

A.函数/'(X)的一个周期为6

B.函数g(x)的一个周期为8

C.若/(0)=2,则“18)+g(68)=-2

D.若当0WX42时，g(x)=ln(x+l),则当10VXW12时，g(x)=ln(13—x)

【答案】BCD

【分析】A选项：〃2x+2)为奇函数，得至IJ/(—2x+2)=—〃2x+2),结合因为/(x-l)为偶函数，得到

/(x)=/(x-12),故的最小正周期为12,A不正确

B选项：g(x)关于直线x=2对称，得到g(x)=g(4-x),又g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)=_g(4r),

故g(x)=-g(4+x)=g(x+8),得到g(x)的一个周期为8,所以B正确;

C选项：由A选项得〃x)=—/(x+6),赋值后得到〃6)=-2,由g(x)为R上的奇函数,得到g(0)=0,

结合g(x)=g(4-x),得g(4)=0,结合〃x)和g⑺的最小正周期得到〃18)+g(68)=〃6)+g(4)=-2,

所以C正确；

D选项：根据g(x)的最小正周期和g(x)=g(4—x)得至l」g(x)=g(x—8)=g(4-(x-8))=g(12-x),从而求

出10412时的函数解析式.

【详解】A选项：因为〃2x+2)为奇函数，所以/(-2尤+2)=-/(2x+2),

令t=2x，得〃T+2)=—/。+2),则〃。=一〃4一)

因为/(x-1)为偶函数，所以l)=/(x—1),

令》=加一5,得〃4一根)=〃〃］一6),所以/(x)=-/(x—6),

所以〃x-6)=-/(x-12),故〃尤)=〃尤-12),

所以函数“X)的周期为12,所以A不正确；

B选项：因为g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g(2+x)=g(2-x),所以g(x)=g(4-x).

又g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)=—g(4—x),

所以g(x)=-g(4+尤)=g(x+8),所以函数g(x)的周期为8,所以B正确；

C选项：由A选项得A(x)=—"x—6),得〃x)=-/(x+6),

令x=0,则〃0)=-〃6)=2,所以〃6)=-2.

因为g(x)为R上的奇函数,所以g(O)=O,

则由g(x)=g(4—x),得g(4)=g(0)=0,

所以418)+g(68)=/(12+6)+g(8x8+4)=〃6)+g(4)=—2,所以C正确.

D选项：因为当0WxW2时，g(x)=ln(x+l),所以当104x412时，0412-尤42,

所以g(x)=g(x_8)=g(4-(x_8))=g(12_x)=ln(13-x).

所以当10VxV12时，g(x)=ln(13-x),所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】设函数y=/(x),无eR,a>0,a'b.

(1)若/(x+a)=〃x—a),则函数/(x)的周期为2a；

(2)若/(x+a)=-f(x),则函数〃x)的周期为2a；

若小++-京,

(3)则函数的周期为2a；

(4)则函数〃尤)的周期为2a；

(5)^f(x+a)=f(x+b),则函数〃尤)的周期为|。一小

(6)若函数〃尤)的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数〃元)的周期为2|6-4；

(7)若函数的图象既关于点®0)对称，又关于点他,0)对称，则函数“X)的周期为2|6-小

(8)若函数〃尤)的图象既关于直线对称，又关于点修⑼对称，则函数〃元)的周期为牛-小

(9)若函数〃尤)是偶函数，且其图象关于直线x=〃对称，则的周期为2a；

(10)若函数/(尤)是奇函数，且其图象关于直线x="对称，则/(尤)的周期为4a.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/'(幻=(*3-二)In(后式'+X)为偶函数，则"=.

【答案】1

【分析】利用偶函数定义列出关于。的方程，解之即可求得实数。的值

【详解】函数/(*)=(丁一一)人(而转+x)为偶函数，贝IJ有/•(—x)=f(x),

即(—V+x3)ln(ja+x?—x)=(d—%')ln(Ja+x?+,恒成立

贝i]ln(ja+x2—x)=_]n+x恒成立

即ln（Ja+尤2-%）+ln（Ja+尤?+x）=lna=O恒成立

则〃=1,经检验符合题意.

故答案为：1

14.若（Y+a）（x+J；的展开式中f的系数为9,则a的值为.

【答案】1

【分析】由题得,+。）,+口=f1+口+。1+J,再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.

【详解】解：（/+/x+［=且］x+£［展开式的通项21=晨.上］£|'=7-2，，

当8—2r=6时，厂=1,此时1的系数为C；.

当8-2厂=8时，r=0,此时/的系数为C；.

:•展开式中/的系数为C；+aC；=8+a=9,.”=1

故答案为：1

15.已知数列｛%｝满足*+2。,=3且4=2,其前〃项和为S“，则满足不等式S“--；2100的最小整数〃

为.

【答案】9

【分析】推导出数列｛4-1｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得。“，利用分组求和法可求得S,，

然后解不等式100即可.

【详解】因为%+2%=3,所以q+「1=一2（%-1）,且6-1=1,

所以，数列｛4-1｝是首项为1,公比为-2的等比数列，则%-1=（-2广，所以，%=1+（-2-,

=〃+1_(-2)'=〃+…(_2)"

所以5“

1-(-2)33、7

11

因此不等式s“-〃一］2100,BP--(-2)">100,gp«>log2300,

因为28=256<300<29=512,故满足不等式S„-n-1>100的最小整数”为9.

故答案为：9.

13

16.抛物线尤2=2py（p>0）上一点4若，⑼（祖>1）到抛物线准线的距离为:，点A关于y轴的对称点为B,

4

。为坐标原点，△。止的内切圆与Q4切于点E,点尸为内切圆上任意一点，则OE•。厂的取值范围为

【答案】[3-A/3,3+A/3]

【详解】因为点A(公利)在抛物线上，所以3=2pmnm=；，点A到准线的距离为;+与一，解得p=(

2p2〃242

或『=6.当p=6时，=故p=6舍去，所以抛物线方程为/=y,；.A(&3),B(-石,3),所以OAB

(也3、

是正三角形，边长为2百，其内切圆方程为必+⑶―2)2=1,如图所示，・・・E.设点"cos32+sine)

I22)

(夕为参数)，贝UOEO尸=3cose+3+』sin6»=3+6sin[e+¥],OE.OFe[3-V3,3+73].

22I

【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属

于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到公。钻为等边三角形和内切圆

的方程，进而得到点E的坐标，可利用内切圆的方程设出点厂含参数的坐标，进而得到

OE-OF=3+>/3sin^+^,从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

aq

17.(10分)已知数列｛。“｝的首项4=2,前〃项和为S“，3s”-4,an,2-亨(〃22)总是成等差数列.

(1)证明数列｛%｝为等比数列；

⑵求满足不等式％<(-4)-1的正整数〃的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)3

3g

【分析】(1)由已知可得2。“=35”-4+2--尹，化简得4%=6s,「4-3S,T(«>2),则有

4a„+1=65„+]-4-3S„,两式相减化简可证得结论，

(2)由(1)将不等式化为(T)"L22-"<(-1)7227,然后分〃为奇数和偶数两种情况求解即可.

(1)

因为3S「4,a„,2-亨(〃22)总是成等差数列，

所以2%=35,「4+2--(〃22),

整理得4%=6s“-4-3S,i(n>2),

所以4%=6S,「4-3S”,

所以4%+i-4%=6S.+|-6s“一3S“+3S.T,

所以4%+i-4。“=6an+1-3an,

所以a“+i=-5%，

因为4=2,

所以数列｛?｝是以2为首项，-;为公比的等比数列，

(2)

由(1)可得q=2X[_£|,

因为为<(-4尸，

所以2X,£|<(一尸，

所以(一I)”--22-"<(-i)"-^2"-2,

4

当〃为奇数时，22-"<22"-2>得2-n<2w-2,解得〃>§,

4

当〃为偶数时，22f>224,得2-〃>2〃-2,解得〃<§,此时无解

综上得正整数n的最小值为3.

18.(12分)已知村庄8在村庄A的东偏北45方向，且村庄48之间的距离是4(6-1)千米，村庄C在村

庄A的北偏西75方向，且村庄C在村庄8的正西方向，现要在村庄8的北偏东30方向建立一个农贸市场O,

使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的上倍.

⑴求村庄&C之间的距离；

(2)求农贸市场。到村庄氏C的距离之和.

【答案】(1)4指千米

(2)(4A/6+12V2)千米

【分析】(1)在二ABC中，由正弦定理计算即可；

(2)在△BCD中，由余弦定理结合CZ)=石3。可得B。=4而进而求解

(1)

由题意可得AB=46-4,NK4c=120。，ZCBA=45,ZBG4=15,

Be4^V3—ij

在，ABC中，由正弦定理可得.B]=.则方=水、万，故BC=4#

sinABACsmZACB组—

24

即村中8,C之间的距离为4后千米；

(2)

村庄C在村庄8的正西方向，因为农贸市场。在村庄的北偏东30。的方向，所以/CBD=120。.在△3CD中,

由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC-BDcosZCBD，

因为=所以38/52+解得8。=4«,则CZ)=12夜，故

BD+CD=4R+12啦,

即农贸市场。到村庄3、C的距离之和为(4"+12&)千米.

19.(12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发

球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得。分，设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1

分的概率为06各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(2)4表示开始第4次发球时乙的得分，求J的期望.

【答案】(1)0.352；(2)1.400.

【分析】记4表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0,l,2；A表示事件：第3次发球，

甲得1分；8表示事件：开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2.(1)“开始第4次发球时，甲乙的比分为

1比2”包括以下两种情况:前2次甲得。分第3次得1分和前2次甲得1分第3次得。分，即8=4•A+A/.

根据互斥事件与独立事件的概率的求法即可得其概率；(2)开始第4次发球时，前面共发球3次，所以乙

的得分最多为3分，即J的可能取值为0,1,2,3.尸©=0),PC=3)都很易求出，尸e=2)在(1)题中

已经求得，尸4=1)最麻烦，可用对立事件的概率公式求得，即尸©=1)=1-尸«=0)-尸4=2)-尸(J=3),

然后根据期望的公式求得期望.

【详解】记4表示事件：第1次和第二次这两次发球，甲共得i分，i=0,l,2；

A表示事件：第3次发球，甲得1分；

B表示事件：开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2.

(1)B=4-A+A•号

P(A)=0.4,P(4)=0.42=0.16,P(A)=2x0.6x0.4=0.48,

P(B)=P(4)-P(A)+尸(A)•尸(A)=0.16x0.4+0.48x(l-0.4)=0.352.

(2)尸(4)=0.62=0.36.

J的可能取值为0,1,2,3.

尸=0)=P(A-A)=0.36x0.4=0.144.

=2)=尸(3)=0.352.

尸(J=3)=尸(AA)=0.16x0.6=0.096.

尸(J=1)=1一尸(J=0)_尸(J=2)-尸(J=3)=1-0.144—0.352-0.096=0.408,(或

PG=1)=0.4x0.6x0.4x2+0.6x0.6x0.6=0.408)

E^=0xP(^=0)+lxP(^=l)+2xP(^=2)+3xP(^=3)

=0.408+2x0.352+3x0.096=1.400.

考点：1、独立事件的概率；2、随机变量的期望.

【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题，首先要理解发

球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论.

【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨

论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题，情景比较亲切，容易入手，但是在

讨论情况的时候，容易丢情况.

20.(12分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，AR4c为等边三角形，平面PACL平面ABC。，E为尸。的中

点.底面ABCD为等腰梯形，BC//AD,AT>=2,AB^BC^CD^l.

(1)证明：B41CD；

(2)求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

13

【分析】(1)取AD的中点尸，连接CV,证得AC_LCD,结合面面垂直的性质定理，得到CD_L平面PAC,

即可证得以，CD；

(2)取AC的中点。，证得尸平面45CD,以点O为坐标原点，以OB、OC和OC分别为x轴、，轴

和z轴，建立空间直角坐标系，分别求得尸CE和平面ACE的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

（1）

解：取AD的中点下，连接CF,

因为3C//A/且3C=AF,所以四边形A3CF是平行四边形，所以CR=AB=1,

因为Cb=gA£>,所以AC_LCD,

因为平面PAC_L平面A8CD,平面PAC1|平面ABCD=AC,

所以C。工平面PAC,又因为R4u平面PAC,所以R4LCD.

⑵

解：取AC的中点。，可得尸OJ.AC,

因为平面PAC-L平面ABCD,且平面PAC1平面AFCD=AC,

所以P0,平面ABC。，

又因为AB=BC,所以O3LOC,

以点。为坐标原点，0B方向为x轴正方向，OC方向为y轴正方向，。尸方向为z轴正方向建立如图所示的

空间直角坐标系,、

可得P（0,0,£|,A0,.a

~T,0,D-1,E

7I[丁丁7

则PC=jo,4,一,、ri括3]

AC=（0,73,0）,

，L乙-I-2，4，，4，），

k2z.7

设平面PCE的法向量为4=（和%，4）,

“指3

n,•PC——y—z=0

22

则,取z=1,可得x=0,y=所以&=（。,,

51上3

n.CE=——x------y+—z=0

.244

设平面ACE的法向量为“=（工2，%，22），

々AC=6y=0

则，“1白’3，取x=3,可得y=0,z=2,所以％=（3,0,2）,

n,-CE=——x------y+—z=0

I244

4•nV13

所以cos.,%产2

闻闻13'

易知二面角A-止-C为锐角，所以二面角A-OP-C的余弦值为巫.

21.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点.

⑴求E的方程；

⑵设过点P。,-2）的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段A2交于点T,点〃满足

MT=TH-证明：直线过定点.

22

【答案】（1）二+'=1

43

（2）（0,-2）

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解】（1）解：设椭圆E的方程为如j4=1,过A（0,-2）,B，，TJ，

4〃=1

则,91,解得根=:，",

—m+n=l34

14

22

所以椭圆E的方程为：^+―=1.

43

32

（2）A（0,-2）,B（-,-l）,所以A3:y+2=]X,

22

①若过点PQ，-2）的直线斜率不存在，直线x=1.代入工+匕=1,

34

可得知（1,-当），NQ当）,代入AB方程y=|x-2,可得

T（-瓜+3,--）,由MT=TH得到H（-2娓+5,--）.求得出方程：

y=(2+-2,过点（。，一2）.

②若过点Pd，-2)的直线斜率存在，设丘-y-伏+2)=0,M(项，x),N(%,%).

kx—y—(k+2)=0

联立x22，得(3k2+4)x2-6左(2+k)x+3k(k+4)=0,

——+—v=1

34

6人(2+左)-8(2+左)

%十%=卞6

可得

3人(4+%)4(4+4"2/)

x.x=---；----

1232k2+4%%=—3—

口