2024-2025学年山西省太原市数学高三上学期模拟试卷与参考答案

2024-2025学年山西省太原市数学高三上学期模拟试卷与参考答案一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象关于直线x=π/3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则f(x)的单调递减区间为()A.[kπ-π/6,kπ+π/3](k∈Z)B.[kπ+π/6,kπ+2π/3](k∈Z)C.[kπ-π/3,kπ+π/6](k∈Z)D.[kπ-5π/6,kπ+π/6](k∈Z)

首先，根据题目条件，图象上相邻两个最高点的距离为π，这等于函数的周期T。由正弦函数的周期性，有：T=2ω=2其次，函数fx根据正弦函数的对称性，有：2×πφ=kπ−π6, 因此，函数可以写为：fx=正弦函数在π2+2将2x−ππ2+π3+kπ+通过简单的变换，我们可以得到：kπ−kπ+π3,k故答案为：A。2、若函数f(x)=4^x-2^(x+1)-a有零点，则实数a的取值范围是_______．

首先，令fx=0，即

4x−2x+1−a=0这可以转化为

a=4x−2则

a=t2−2t由于t>0，函数y=t2因此，函数y=t2−2由于t可以取遍所有正实数，因此a可以取遍所有大于或等于−1即a∈故答案为：[−3、若命题“若x^2-3x+2>0，则(x-1)(x-2)>0”是真命题，则其否命题是()A.若x^2-3x+2≤0，则(x-1)(x-2)≤0B.若x^2-3x+2≤0，则(x-1)(x-2)>0C.若x^2-3x+2>0，则(x-1)(x-2)≤0D.若(x-1)(x-2)>0，则x^2-3x+2≤0

首先，原命题是“若x2−3x根据否命题的定义，我们需要对条件和结论同时取反。原命题的条件是x2−3原命题的结论是x−1x因此，否命题是“若x2−3x故答案为：A。4、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=π/6对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则f(x)的单调递减区间为_______．【分析】

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，以及三角函数的单调性。【解答】

解：由于图象上相邻两个最高点的距离为π，根据正弦函数的周期性，我们知道正弦函数的周期为T=因此，有2πω=又因为函数fx=22×π6+解这个方程，我们得到：φ=kπ+π6但是题目给出因此，函数可以写为：f接下来，我们需要找出这个函数的单调递减区间。正弦函数在π2+2将2x+ππ解这个不等式组，我们得到：π6+kπ因此，函数fx的单调递减区间为[π65、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=π/6对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则f(π/3)=_______．

首先，由于函数fx=2sinω即：T=π由正弦函数的周期公式T=ω=2πT=22×πφ=kπ+π6, 最后，我们需要求出fπ3的值。将ω=2和fx=2sinfπ3=26、已知a=2019201920182018，b=2020202020192019A.a<b<cB.a<c<bC.b<c对于a，我们有：a对于b，我们有：b对于c，我们有：c接下来，我们注意到20192018，20202019和2019由于201920182018，20202019最后，我们注意到a，b和c的表达式中，除了上述的幂部分外，a前面还乘以了20192018（小于2020），b前面直接乘以了2020，而c前面乘以了2021a故答案为：A.a7、已知函数f(x)=2^x-2^(-x)，则不等式f(x)<0的解集是_______．答案：x解析：首先，我们观察函数fx为了研究其单调性，我们可以考虑其导数，但在这里，由于函数形式较为简单，我们可以通过直接比较法来判断其单调性。考虑fx1和fx2，其中x由于x1<x2，根据指数函数的单调性，我们有又因为1+12x1⋅2这说明函数fx在R接下来，我们找到函数的一个零点。令fx=0由于函数是增函数，并且f0=0，所以当x因此，不等式fx<08、若双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则a，b满足的关系是()A.a=2bB.b=2aC.a^2+b^2=4a^2D.a^2+b^2=4b^2

解：双曲线x2a2−y2b根据题目条件，离心率e=ca=2⟹c=a2+a2+b2=3a2⟹b=3a但题目中并未要求b和a的具体比例关系，只要求故答案为：C.a二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期为π，且f(π/4)=1，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=5π/12对称B.函数f(x)在区间[-π/6,π/3]上单调递增C.由y=sin2x的图象向右平移π/6个单位长度可以得到y=f(x)的图象D.函数f(x)的图象关于点(π/6,0)对称答案：A解析：已知函数fx=sinωx+φ又因为fπ4=1，即sin2×π4+φ=因此，函数fx的解析式为f接下来逐一判断选项：A.f5π12=sin2×5πB.当x∈−π6,C.y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数是yD.fπ6=sin22、已知F1，F2为椭圆x2a2+y2A.12B.32C.2根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点P，有：P已知∠F1PF1F22F1F224c2=4a2已知△PF1S=12P32bP将PF4c2=44a2a最后，利用椭圆的离心率公式：e=ca代入ce故答案为：C.223、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象关于直线x=π/3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则f(x)的单调递减区间是()A.[kπ-π/6,kπ+π/3](k∈Z)B.[kπ+π/6,kπ+2π/3](k∈Z)C.[kπ-π/3,kπ+π/6](k∈Z)D.[kπ-5π/6,kπ+π/6](k∈Z)答案：A解析：根据题意，图象上相邻两个最高点的距离为π，由于正弦函数的周期性，这等于函数的周期T。因此，有T=由正弦函数的周期公式T=2π已知函数图象关于直线x=π3对称，即当x=π解得φ=kπ−π6。由于因此，函数表达式为fx接下来求单调递减区间。正弦函数在π2+2kπ≤θ≤3解得π3+kπ≤x≤故选：A。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、已知函数f(x)=|x-a|-9/x+a(a∈ℝ)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是_______．答案：[解析：首先，函数fx=x当a≤1时，函数fx在区间[求导得：f′由于x≥1，所以f′x>当a>1时，函数fx在区间[1,a)对于区间[1,a令f′x=0，解得x=3。但由于a>1，所以x=3不一定在区间[1,a)内。但无论如何，由于然而，我们还需要考虑另一种情况，即函数在x=a处连续且左侧导数小于等于右侧导数。但由于在x=a处，左侧函数为2a−x但我们可以直接观察出，当a=3时，函数fx在区间[1,+∞)上单调递增。这是因为当x≥3时，函数简化为x−因此，实数a的取值范围是[32、已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|，若存在实数x使得不等式|f(x)-a|<3成立，则实数a的取值范围是_______．答案：[解析：首先，我们需要求出函数fx由于fx当x≤−32时，2x−1≤−当−32<x<12当x≥12时，2x−1≥0，综上，函数fx接下来，根据题目条件“存在实数x使得不等式fxfx−3<a<fx但是，由于fx可以取到4（在区间−32<x<12内），所以a的取值范围应满足1<a<7的扩大区间，即1≤a≤7（注意这里取到了等号，因为当然而，这里有一个更简洁的考虑方式：由于fx的最小值为4，所以fx−a的最小值为4−a。为了使fx−a<3成立，我们需要有4−a<3，解这个不等式我们得到1<a<7。但是，这个范围仍然是不准确的，因为它没有考虑到fx可以取到比4稍大的值（尽管在这个特定的分段函数中，fx在除了−3、若命题p：对于所有的x∈[1,2]，x^2-a≥0恒成立，命题q：存在x∈ℝ，x^2+2ax+2-a=0，若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是_______．

对于命题p：考虑函数fx=x若fx≥0恒成立，则f由于fx计算得：f1=1−af2=4−a因此，有：1−aa≤1对于命题考虑方程x2Δ=2Δ≥0a≤−由于”p∨q“为真命题，”p∧q“为假命题，所以当p真q假时，有：a≤1−2<a<1a>1a≤−2综上，实数a的取值范围是−2四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题题目：已知函数fx=ln当a=1时，求函数若对任意x∈0,+∞【答案】当a=1时，函数fx求导得：f′x=1x+令f′x<因此，函数fx的单调递增区间为0,+对于不等式fx<1，即lnx+1−axx求导得：g′x=x−ln求导得：h′x=1−2当0<x<1时，当x>1时，h′因此，hx在x=1由于当x→0+时，hx→+∞，且当x→+∞时，当x∈0,x1∪x当x∈x1,x2时，因此，函数gx在x由于hx2=0，即因此，gmin令第二题题目：设数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且a1=1，S3=9。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2^an，求数列{bn}的前n项和Tn。答案：（1）设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的前n项和公式有S3=3a1+3d=9。由于a1=1，代入得3+3d=9，解得d=2。因此，数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1。（2）由（1）得bn=2^an=2^(2n-1)。考虑数列{bn}的前n项和Tn，有Tn=b1+b2+…+bn

=2^1+2^3+…+2^(2n-1)这是一个等比数列的前n项和，但项数是奇数项。我们可以考虑将其与另一个偶数项等比数列相加后相减，即2Tn=2(b1+b2+…+bn)

=2^2+2^4+…+2^(2n)然后相减得Tn-2Tn=(b1+b2+…+bn)-2(b1+b2+…+bn)

=(2^1+2^3+…+2^(2n-1))-(2^2+2^4+…+2^(2n))

=-1+(-2^2+2^3)+(-2^4+2^5)+…+(-2^(2n-2)+2^(2n-1))-2^(2n)

=-1+2^2(1-2^(n-1))/(1-2)

=-1+2^(n+1)-2^2

=2^(n+1)-5因此，Tn=5-2^(n+1)。解析：（1）在求解等差数列的通项公式时，我们使用了等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，并代入已知条件a1=1和S3=9来求解公差d。然后，利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来求解an。（2）在求解等比数列{bn}的前n项和Tn时，我们注意到bn是一个等比数列的项，但其项数是奇数项。为了利用等比数列的求和公式，我们考虑将其与另一个偶数项等比数列相加后相减。这里，我们通过将Tn乘以2得到2Tn，然后将其与Tn相减，从而得到一个可以利用等比数列求和公式求解的式子。最后，我们解出Tn。第三题题目：设a>0，b>0，且a+答案：9解析：已知a>0，b>我们需要求1a首先，我们将1a+41这里我们利用了a+接下来，我们利用基本不等式（算术平均数-几何平均数不等式，即对于所有非负实数x和y，有x+y2将ba和4b即：b将这个结果代入1a1由于a>0，b>0，且不等式中的等号在ba=4ab所以，1a+4第四题题目：在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，若A【答案】

(1)椭圆C的方程为x2(2)直线l的方程为x=2或【解析】

(1)已知椭圆的离心率为22，离心