第1.1节 相互作用中的守恒量 动量（解析版）

第一章·动量第01节动量目目标导航学问要点难易度1．动量p＝mv矢量2．动量的变化量Δp＝p′－p=mv′-mv矢量差3．动量、动能、速度、加速度的区分4．一维运动的动量及其变化量的计算★★★★★★★★★★知知识精讲[探究思考]自然界物理过程中包含着某种物理量的不变性，即存在守恒量，是物理规律最基本的表现形式之一，比如能量守恒、电荷量守恒、质量守恒等。碰撞是我们常见的一种物理过程，那么在物体碰撞的过程中，守恒的物理量又是什么呢？学问点01动量1．定义：物体质量和速度的乘积，用字母p表示，p＝mv.2．矢量性：动量既有大小，又有方向，是矢量．动量的方向与速度的方向全都，运算遵循矢量运算法则．3．单位：国际单位是千克·米每秒，符号是kg·m/s.4．相对性：选取不同的参考系，同一物体的速度可能不同，物体的动量也就不同，即动量具有相对性．通常在不说明参考系的状况下，物体的动量是指相对地面的动量．5．在直线运动中，规定正方向，则动量的正负代表方向，不代表大小.【学问拓展】动量与速度、动能的区分和联系动量与速度动量与动能区分①速度仅描述物体运动的快慢和方向②动量是速度和质量的乘积，碰撞中不变①动量是矢量②动能是标量，从能量的角度描述物体的状态联系①动量和速度都是状态量，都是矢量，动量的方向与速度方向相同，且p＝mv②动量和动能都是状态量，且p＝eq\r(2mEk)或Ek＝eq\f(p2,2m)【例1】关于物体的动量下列说法正确的是（ ）（A）质量越大的物体动量越大（B）做匀速圆周运动的物体，其动量不变（C）物体的动能不变，其动量肯定不变（D）物体的动量不变，其动能肯定不变【答案】D【解析】A．质量与速度的乘积是物体的动量，质量越大的物体动量不肯定大，故A错误；B．做匀速圆周运动的物体，动量大小不变，但方向转变，所以其动量转变，故B错误；C．物体的动能不变，动量大小不变，但方向可以转变，故C错误；D．物体的动量不变，则速度不变，其动能肯定不变，故D正确。故选D。学问点02动量的变化量1．动量变化量(1)定义：物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差，即Δp＝p′－p(2)动量的变化量Δp也是矢量，其方向与速度的转变量Δv相同．(3)由于p＝mv是矢量，只要m的大小、v的大小和v的方向中任何一个发生了变化，p就发生变化．2．动量变化量Δp的计算(1)当物体做直线运动时，只需选定正方向，与正方向相同的动量取正，反之取负．若Δp是正值，就说明Δp的方向与所选正方向相同；若Δp是负值，则说明Δp的方向与所选正方向相反．(2)当时、末状态动量不在一条直线上时，可按平行四边形定则求Δp的大小和方向．(3)留意：末状态的动量-初状态的动量．【例2】某同学将0.5kg的足球以5m/s的速度踢到竖直墙上，足球以5m/s的速度被弹回。(1)足球的初动量和末动量是否相同？(2)足球的动量变化量是多少？【答案】(1)不同；(2)5kg·m/s，方向与初速度方向相反【解析】(1)足球初、末动量大小相同，但方向不同，故初、末动量不同。(2)取初速度方向为正方向，则足球的动量变化量为Δp＝mv2－mv1＝0.5×(－5)kg·m/s－0.5×5kg·m/s＝－5kg·m/s.即动量变化量大小为Δp＝5kg·m/s动量变化量的方向与初速度方向相反。【例3】如图所示，一个质量为m的钢球，以速度v斜射到坚硬的大理石板上，入射时与竖直方向的夹角是θ，碰撞后被斜着弹出，弹出时也与竖直方向的夹角是θ，速度大小仍为v。（不计空气阻力）请你用作图的方法求出钢球动量变化的大小和方向。【答案】2mvcosθ，方向竖直向上【解析】依据矢量三角形，钢球动量变化量的矢量图如下依据题意知，钢球碰撞前后的动量大小为由几何关系得，钢球动量变化的大小Δp=2mvcosθ方向竖直向上。考点考点题型考点01动量和动量变化量的概念辨析[归纳总结]1，动量和动量变化量的矢量性：大小和方向任一变化，动量即为变化。2，动量和动能主要区分：动能变化动量肯定变化，但动量变化动能不肯定变化。【例4】下列关于动量、动量变化量的说法中，正确的是（ ）（A）物体的动量越大，其惯性也越大（B）做匀速圆周运动的物体，其动量不变（C）物体的速度大小不变时，动量的变化量肯定为零（D）做匀加速直线运动的物体，动量的变化量方向与运动方向相同【答案】D【解析】A．惯性只由质量打算，故A错误；B．动量为矢量，匀速圆周运动的方向变化，则动量变化，故B错误；C．速度方向发生转变，动量变化量不为零，故C错误；D．动量与速度具有同向性，故D正确。考点02动量和动量变化量的计算[归纳总结]1，动量和动量变化量的计算首先规定正方向。2，在竖直上抛，自由落体，平抛，斜面等模型中计算动量及其变化量。【例5】质量为0.1kg的小球从1.25m高处自由落下，与地面碰撞后反弹回0.8m高处．取竖直向下为正方向，且g＝10m/s2.求：(1)小球与地面碰前瞬间的动量；(2)球与地面碰撞过程中动量的变化．【答案】(1)0.5kg·m/s；(2)动量的变化大小是0.9kg·m/s，方向竖直向上．【解析】(1)设小球从1.25m高处自由落下碰地前瞬间的速率为v1，则有：veq\o\al(2,1)＝2gh1得到：v1＝eq\r(2gh1)＝eq\r(2×10×1.25)m/s＝5m/s，所以小球与地面碰前瞬间的动量p1＝mv1＝0.1×5kg·m/s＝0.5kg·m/s.(2)设小球碰地后瞬间的速率为v2，则有：veq\o\al(2,2)＝2gh2得到v2＝eq\r(2gh2)＝eq\r(2×10×0.8)m/s＝4m/s取竖直向下方向为正方向，则小球与地面碰撞过程中动量的变化为Δp＝－mv2－mv1＝－0.1×(5＋4)kg·m/s＝－0.9kg·m/s，负号表示方向竖直向上．考点03动量图像[归纳总结]推导初函数表达式，分析图像外形、斜率、截距。【例6】一小球从空中以肯定的初速度水平抛出，不计空气阻力，则小球动量转变量与运动时间t和下落高度h的关系图像中，可能正确的是（）（【解析】AB．平抛运动只受重力，动量的变化等于重力的冲量，也是竖直方向的动量变化，有则与时间成正比，故图像是过原点的倾斜直线，故A正确，B错误；CD．平抛的竖直分运动为自由落体运动，则有故有幂指数=1/2，则图像为一种幂函数曲线，其倾斜程度应渐渐减小，故CD错误；【答案】A方法方法总结1．计算动量及其变化量，要先规定正方向2.动量变化但动能不变化：匀速圆周运动3.自由落体和平抛运动中物体的动量是均匀转变，即P-t图像是直线巩巩固练习1.(多选)关于动量的变化，下列说法正确的是()A．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp的方向与运动方向相同B．做直线运动的物体速度减小时，动量的增量Δp的方向与运动方向相反C．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp为零D．物体做曲线运动时，动量的增量肯定不为零【答案】ABD【解析】A.Δp=mΔv，直线运动的物体速度增大，Δv和v方向相同，所以Δp方向和v方向相同，A正确B.直线运动的物体速度减小，Δv和v方向相反，所以Δp方向和v方向相反，B正确C.物体的速度大小不变，但方向可能变化，所以动量的增量Δp不肯定为零，C错误D.物体做曲线运动时，速度方向转变，所以动量的变化量，即增量肯定不为零，D正确2．(多选)对于一个质量不变的物体，下列说法正确的是()A．物体的动量发生变化，其动能肯定变化B．物体的动量发生变化，其动能不肯定变化C．物体的动能发生变化，其动量肯定变化D．物体的动能发生变化，其动量不肯定变化【答案】BC【解析】A.动量变化可能是速度大小不变，方向转变，动能不变，如匀速圆周运动，A错误B.动量大小转变时，动能转变，仅动量方向转变时，动能不变；B正确，D错误C.动能大小转变，说明速度大小转变，所以动量确定转变，C正确3．物体的动量变化量的大小为6kg·m/s，这说明()A．物体的动量在减小 B．物体的动量在增大C．物体的动量大小肯定变化 D．物体的动量大小可能不变【答案】D【解析】假如动量变化量的方向与初动量可能同向、可能反向，所以可能增加也可能减小，也可能不在同一条直线上，所以只知道动量变化量的大小，无法推断动量的增减，故ABC错误。当时动量=末动量，并和动量转变量构成等腰三角形时，动量大小不变，故D正确。4.若某个物体的动量发生了变化,则物体运动的()（A）速度大小肯定转变（B）动能肯定转变了（C）加速度肯定不为零（D）合外力可能为零【答案】C【解析】假如动量发生变化，即速度发生变化，所以加速度不为0，C正确。5．质量为5kg的小球以5m/s的速度竖直落到地板上，随后以3m/s的速度反向弹回，若取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化为（）A．10kg·m/s B．-10kg·m/sC．40kg·m/s D．-40kg·m/s【答案】D【解析】由题知，取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化为p=-mv′-mv=5×(-3-5)kgm/s=-40kgm/s，故选D。6.下列关于动量、动量变化量的说法中，正确的是（）（A）物体的动量越大，其惯性也越大（B）做匀速圆周运动的物体，其动量不变（C）物体的速度大小不变时，动量的变化量肯定为零（D）做匀加速直线运动的物体，动量的变化量方向与运动方向相同【答案】D【解析】P=mv，所以动量大不肯定m大，即不肯定惯性大，A错误做匀速圆周运动的物体，速度方向转变，所以动量转变，B错误速度大小不变，但方向可能变化，所以动量也可能变化，C错误物体做匀加速运动，动量变化量方向同速度方向，D正确7.关于物体的动量，下列说法中正确的是（ ）（A）不同物体中动量越大，速度肯定越大（B）物体的动能不变，其动量肯定不变（C）（+4kg·m/s）的动量大于（6kg·m/s）的动量（D）物体的动量越大，动量的转变量不肯定越大【答案】D【解析】动量和动量该变量完全无关，D错误8.两辆汽车的质量分别为和，沿水平方向同方向行驶且具有相等的动能，已知，则此时两辆汽车的动量和的大小关系是（ ）（A）等于（B）小于（C）大于（D）无法比较【答案】C【解析】p＝eq\r(2mEk)，动能相同，m1>m2，所以P1>P2，C正确。9.一物体的质量为2kg，此物体竖直下落，以10m/s速度遇到水泥地面上，随后又以8m/s的速度反弹。若取竖直向上为正方向，则小球与地相碰前的动量是____kg·m/s，相碰后的动量是____kg·m/s。【答案】-20，16【解析】碰撞前p1＝mv=2×(-10)=-20kg·m/s；碰撞后p2＝mv=2×8=16kg·m/s。10. 2018年俄罗斯世界杯足球竞赛中，一足球运动员踢一个质量为0.4kg的足球。（1）若开头时足球的速度是4m/s，方向向右，踢球后，球的速度变为10m/s，方向仍向右（如图甲所示），则足球的初动量p=_________，方向___________，足球的末动量p'=___________，方向___________；在这一过程中足球动量的转变量Δp=___________，方向___________。（2）若足球以10m/s的速度撞向球门门柱，然后以3m/s的速度反向弹回（如图乙所示），则这一过程中足球的动量转变量是___________，方向___________。【答案】（1）1.6kg•m/s，向右；4kg•m/s，向右；2.4kg•m/s（2）5.2kg•m/s，向左【解析】（1）足球的初动量为p=mv1=0.4×4=1.6kg•m/s速度方向水平向右，则初动量方向向右；足球的末动量为p’=mv2=0.4×10=4kg•m/s方向仍为向右；这一过程中足球动量的转变量Δp=p’-p=2.4kg•m/s方向向右；（2）设向右为正方向，则动量的转变量为Δp=p2-p1=-0.4×3-0.4×10=-5.2kg•m/s，方向向左。11. 一质量为0.5kg的木块以10m/s速度沿倾角为30°的光滑斜面对上滑动（设斜面足够长），则木块在1s末的动量和3s内的动量变化量是多少？（g取10m/s）【答案】2.5kg·m/s，7.5kg·m/s【解析】取沿斜面对上为正方向，木块加速度a=－gsin30°=－5m/s21s末速度：v1=v0＋at1=10m/s－5m/s2×1s=5m/s，p1=mv1=0.5×5kg·m/s=2.5kg·m/s3s末速度：v2=v0＋at2=（10－5×3）m/s=－5m/s，p2=mv2=0.5×（－5）kg·m/s=－2.5kg·m/s初始动量p0=mv0=0.5×10kg·m/s=5kg·m/s则3s的动量变化量为Δp=p2－p0=（－2.5－5）kg·m/s=－7.5kg·m/s3s内的动量变化量是7.5kg·m/s。12．在“探究碰撞中的不变量”的试验中，入射小球m1＝15g，原来静止的被碰小球m2＝10g，由试验测得此两小球在碰撞前后的s－t图象如图所示．由图可知，入射小球碰撞前的m1v1是______，被碰小球的m2v2是______．由此得出结论__________．【答案】0.015kg·m/s0两球碰撞前后mv的总量不变【解析】由图象知v1＝eq\f(0.2,0.2)m/s＝1m/s，v1′＝eq\f(0.1,0.2)m/s＝0.5m/s，v2′＝eq\f(0.15,0.2)m/s＝0.75m/s，因此m1v1＝0.015kg×1m/s＝0.015kg·m/s，m2v2＝0，m2v2′＝0.010kg×0.75m/s＝0.0075kg·m/s，而m1v1′＝0.015kg×0.5m/s＝0.0075kg·m/s，即有m1v1′＋m2v2′＝0.015kg·m/s＝m1v1，说明在误差允许范围内，两球碰撞前后mv的总量不变．13.物体运动状态的变化可用图像中的一条曲线来描述，假如一质点沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的图像可能是()A．B．C．．【答案】D【解析】质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有，而动量为，联立可得，动量p关于x为幂函数，且，故正确的相轨迹图像为D。14．如图所示，完全相同的三个小球a、b、c从距离地面同一高度处以等大的初速度开头运动，分别做平抛、竖直上抛和斜抛运动，忽视空气阻力．以下说法不正确的是()A．三个小球不同时落地B．b、c所能达到的最大高度相同C．三个小球落地时的速度大小相等D．落地之前，三个小球在任意相等时间内动量的增量相同【答案】B【解析】a球做平抛运动，b做竖直上抛运动，c做斜上抛运动，三个小球运动的时间不等，故A正确．b、c两球初始高度，动能相同，b最最高点只有重力势能，但c在最高点同时有重力势能和动能，所以b上升的最大高度大，c上升的最大高度小，故B不正确．小球运动过程中，只有重力做功，机械能均守恒，则有mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mv2，得v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)，知三个小球初位置的高度h和初速度v0大小都相等，则落地时速度v大小相等，故C正确．小球的质量相等，相等时间内速度该变量相等，所以Δp是相等的，故D正确．（由动量定理，动量的增量为Δp＝mgt）15．一物体从某高处由静止释放，设所受空气阻力恒定，当它下落h时的动量大小为p1，当它下落2h时动量大小为p2，那么p1∶p2等于()A．1∶1B．1∶eq\r(2)C．1∶2D．1∶4【答案】B【解析】物体做初速度为零的匀加速直线运动，veq\o\al(2,1)＝2ah，veq\o\al(2,2)＝2a·2h，则p1＝mv1＝meq\r(2ah)，p2＝mv2＝meq\r(4ah)，所以p1∶p2＝1∶eq\r(2)，选项B正确．16．(多选)如图所示，表示物体受到的合外力随时间变化的关系，若物体开头时是静止的，则前3s内()A．物体的位移为0 B．物体的动量转变量为0C．物体的动能变化量为0 D．物体的机械能转变量为0【答案】BC【解析】第1s内F＝20N，第2、3s内F＝－10N，物体先加速、后减速，在第3s末速度为零，物体的位移不为零，A错误；依据牛顿其次定律知物体第1s内的加速度为a1＝eq\f(20,m)m/s2,1s末的速度v1＝a1t1＝eq\f(20,m)×1m/s＝eq\f(20,m)m/s，物体第2、3s内的加速度为a2＝－eq\f(10,m)m/s2,3s末的速度v3＝v1＋a2t2＝eq\f(20,m)－eq\f(10,m)×2＝0，故前3s内动量变化量Δp＝mv3－mv0＝0－0＝0，B正确；由于初速度和末速度都为零，因此动能变化量也为零，C正确；但物体的重力势能是否转变不能推断，因此物体的机械能是否转变不能确定，D错误．17．在某次乒乓球竞赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示。不计乒乓球的旋转和空气阻力争辩乒乓球自起跳到过网的过程，下列说法正确的是()A．过网时，球1的速度大于球2的速度B．起跳时，球1动量的大小小于球2动量的大小C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D．球1的速度变化率小于球2的速度变化率【答案】A【解析】A．过网时球的速度是平抛运动的初速度，依据以上分析知运动时间相同，球1的水平位移大，故过网时球1的速度大于球2的速度，A正确；B．起跳时，竖直分速度为，可知起跳时，两球竖直方向的分速度是相等的，依据速度的合成，所以起跳时，球1的速度大于球2的速度，所以起跳时，球1动量的大小大于球2动量的大小，B错误；C．起跳后，乒乓球的运动视为斜抛运动，其逆过程为平抛运动，由，均恰好在等高处水平越过球网，则球1的飞行时间等于球2的飞行时间，C错误；D．不计乒乓球的旋转和空气阻力，两球加速度都等于g，故两球的速度变化率相等，D错误。18．如图所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的eq\f(1,4)圆弧轨道，圆心O在S的正上方．在O和P两点各有一质量为m的小物体a和b，从同一时刻开头，a自由下落，b沿圆弧下滑．以下说法正确的是()A．a比b先到达S，它们在S点的动量不相同B．a与b同时到达S，它们在S点的动量不相同C．a比b先到达S，它们在S点的动量相同D．b比a先到达S，它们在S点的动量相同【答案】A【解析】在物体下落的过程中，只有重力对物体做功，故机械能守恒，故有mgh＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gh)，所以在相同的高度，两物体的速度大小相同，即速率相同．由于a的路程小于b的路程，故ta＜tb，即a比b先到达S，又由于到达S点时a的速度竖直向下，而b的速度水平向左，故两物体的动量不相同，A正确．19．两木块A、B质量之比为2︰1，在水平地面上滑行时与地面间的动摩擦因数相同，则A、B在开头滑行到停止运动的过程中，下列关于滑行的时间之比tA︰tB和距离之比xA︰xB的说法正确的是()A．初动能相同时分别为1︰eq\r(2)，1︰2B．初动能相同时分别为1︰4,1︰4C．初动量相同时分别为1︰eq\r(2)，1︰2D．初动量相同时分别为1︰2,1︰2【答案】A【解析】依据牛顿其次定律得a＝eq\f(μmg,m)＝μg，两木块A、B与地面间的动摩擦因数相等，则两木块做匀减速运动的加速度大小相等，由题意知两木块质量之比为2︰1，当时动能相同时，依据Ek＝eq\f(1,2)mv2知，初速度大小之比为1︰eq\r(2)，依据t＝eq\f(v,a)知，滑行的时间之比为1︰eq\r(2)；依据匀变速直线运动的平均速度推论知x＝eq\f(1,2)vt，由于初速度大小之比为1︰eq\r(2)，运动时间之比为1︰eq\r(2)，则滑行距离之比为1︰2，故A正确，B错误；若初动量相等，由p＝mv可知初速度大小之比为1︰2，则依据t＝eq\f(v,a)知，滑行的时间之比为1︰2；依据匀变速直线运动的平均速度