湖南新课标理科数学高考真题分类解析

湖南新课标理科数学高考真题分类解析(2010—2012)

一、选择、填空题分类解析：

1、集合：

2012年：1.设集合乂={-1,0,1},N={X|X2<X},则MHN=(B)

A.{0}B.{0,l}C.{-1,1}D.{-l,0,0}

2010年:1.已知集合加={1,2,3},N={2,3,4},则(C)

A.MjNB.N^M

C.MON={2,3}D.MUN={1,4}

【答案】C

2、函数：

2011年：8.设直线x=f与函数/(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点A7,N,则当达

到最小时f的值.为()

A.1B.-C.—D.—

222

答案：D

解析：由题|MN|=x2—lnx,。，。，不妨令双%"》?—]!!%,贝IJ"(X)=2X—L,令/f(x)=0解

X

得X=*,因xe(0,#)时，似x)<0,当X€(#,+OO)时，”(x)〉0,所以当x=当时，

达到最小。即/=在。

2

2010年:

8、用min{a,b}表示a,b两数中的最小值,若函数f(x)=min{|x|，k+4}

的图象关于直线乂=-工对称，贝h的值为()。

2

A-2,B2,C—1,D1.

【答案】A

j

【解析】由下图可以看出全使/（x）=min{|x|.|x+t|）的图象关于直妓x=［对称，则

t・l“

【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的

能力，属中档题."

3、导函数与定积分，2011年：6.由直线彳=-（,》=2,》=0与曲线丁=（：05%所围成的封闭

图形的面积为（）

A.-B.1C.—D.V3

22

答案：D

n

3匹C同

解析：由定积分知识可得S=I*cosxJx=sinx|\=----（----）=6，故选D。

《22

y

2010年:

50=（。）

A-2In2,B21n2,C-ln2,£>In2,

4、算法初步，2012年：14.如果执行如图3所示的程序框图，输入x=-l,n=3,则输入的数S=

-4

图2

2011年：13、若执行如图3所示的框图，输入玉=1,々=2,毛=3,》=2,则输出的数等

于。

2

答案：-

3

解析：由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方【开的I差,

入片匕，M/

则$=(I.+(2-2)2+(3-2)22

二一O

33

开女

2010年：(2010湖南理数)12.图2是求BB3

12+22+32+-+1002

的值的程序框图，则正整数〃=.

【答案】皿，

【解析】因为第一次判断执行后，i=2,5=1、第二次判断执行后，1

题目要求计菖F+2?+3?+…+100：,故n=10QpI

【命题意图】本题考查算法语言，属中档题“

否

y

输出s

结束

5、统计初步与概率，2011年:15、如图4,EFG”是以。为圆心，半

径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事

件“豆子落在正方形EFG”内”,B表示事件“豆子落在扇形。”E(阴影

部分)内”，则

(1)P(A)=；(2)P(B|A)=

71

答案：(1)-；(2)P(B|A)=-

714

解析：(1)由儿何概型概率计算公式可得尸(用=醍=2；

s圆］

2xj.

(2)由条件概率的计算公式可得P(B|A)=£"=%4=L。

P(A)24

71

2010年：11.在区间［-1,2］上随机取一个数x,则㈤W1的概率为.

【答案】I

【解析】P(|x|wi)=1^11=2

2-(-1)3

6、立体几何，2012年：3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图

不可能是(D)

9

A.24+12B.一乃+18

22

C.97+42D.36万+18

答案：B

解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成

43、Q

的组合体,其体积V=—万（一＞+3x3x2=—乃+18。

322

侧视图

2010年：13、.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的儿何体的三视图，则h=4

cm

£a■

7、解析几何：

22

2012年：5.已知双曲线C：=x-=v=1的焦距为10,点P（2,1）在C的渐近线上，则

6rh

C的方程为（A）

22222222

A土-匕=1B土-匕=1C土-皂=1D土-二=1

20552080202080

22

2011年：5.设双曲线*•-三=l（a〉0）的渐近线方程为3x±2y=0,则。的值为（）

A.4B.3C.2D.1

答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y=±±x,故可知。=2。

a

14、过抛物线x2=2py（y>0）的焦点作斜率为1的直线与该

2010年：抛物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正射影分别为D、C,

若梯形ABCD的面积为12Vl则p=.

【解析】抛物线的焦点坐标为F（0,1）,则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+§,

设A（X],yJ,8（X2，y2）（龙2>尤1），由题意可知多>0,为>。

,_p_

由X2，消去y得--2px-2P2=0,

x2=2py

2

由韦达定理得，％+x2=2p,x[x2=-p

所以梯形ABCD的面积为：

S=a（X+>2）（X2-X）=5（X|++P）（》2-玉）

=；3.J（X]-©占=；3Pq4p。+4p2

=3\[2p2

所以30P2=12V2,又p>。,所以p=2

【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察

考生的运算能力，属中档题

8、三角函数，2012年：6.函数f(x)=sinx-cos(x+?)的值域为B)

A[-2,2]B[-V3,V3]C[-1,1]D[一三,与1

f(x)=sinx-cosfx+—>1=—sinx--cosx=V3sinfx-—

I6j22I6)

9、解三角形，2012年：7.在^ABC中，AB=2AC=3AB-BC=(A)

A73BV7C2V2DV23

AB•BC=-2acosB=1,9=a2+4-4acosB=a2+6

2010年：6、.在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若NC=120°,c=V^a,

则(A)

A.a>bB.a<b

C.a=bD.a与b的大小关系不能确定

【答案】A

【解析】因为NC=12(T,c=y/2a

所以”=-labcosC,2az=az4-d:)

所以a1-b*=aba-b=•°，>Qa>b

za+bz

因为a>01>0

所以a-6=~^~>0:所^1(7>6,故选A

a^b

10、平面向量，2012年：7.在aABC中，AB=2AC=3AB•BC=(A)

AV3BV?C2V2DV23

AB»BC=-2acosB=1,9="+4-4ocosB=a2+6

2011年：14、在边长为1的正三角形ABC中，设前=2前，立=3近，则

ADBE^0

答案：」

4

角星析：由题而=而一直=’荏一直，BE^CE-CB^-CA-CB,

23

月］■以4。85=（2。8—04）.（§04—。8）=—2—§+\。804=—勾。

2010年:

4、在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=4,则而・M=（D）

A-16,B-8,C8,D16o

16、数列，2011年：12、设S,是等差数列｛a,｝（neN*）的前“项和，且q=1,4=7,则

§5-------

答案：25

解析：由q=1,&=7可得q=Ld=2,a“=2〃—1,所以S5=（♦；）--=25o

11、不等式，

y>x

2011年：7.设机>1,在约束条件加x下，目标函数［=x+my的最大值小于2,则相

x+y<1

的取值范围为（）

A.（1,1+伪B.（l+V2,+oo）C.（1,3）D.（3,+00）

答案：A

解析：画出可行域，可知z=x+5y在点（」一,』一）取最大值，由一!一+—<2解得

1+m1+m1+m1+m

\<m<V2+1o

12、统计案例:

2012年：4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系,

根据一•组样本数据（X"y）（i=l,2,…，n）,用最小二乘法建立的回归方程为Q=0.85X-85.71,

则下列结论中不正确的是（D）

A.y与x具有正的线性相关关务

B.回归直线过样本点的中心（"y）

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg

2011年：4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

n(ad-bc')2德阳"2110x(40x30-20x20)2

(a+/?)(c+d)(q+c)(b+d)60x50x60x50

附表:

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

答案:C

解析：由。7.8〉6.635,而尸（片26.635）=0.010,故由独立性检验的意义可知选C.

13、复数，2012年：12.已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则忆|=.10

2011年：1.若,，为虚数单位，且（“+i）i=b+i,则（）

A.a=l,b=lB.a——\,b-1C.a=—\,b——1D.a-l,h——1

答案：D

解析：因（a+i）i=-l+ai=b+i,根据更数相等的条件可知a=l,b=—1。

14、推理与证明与归纳法，

21、简易逻辑，2012年：2.命题“若a=工，则tana=l”的逆否命题是（C）

4

A.若a#工，则tanaWlB.若a=三,则tanaWl

44

jrrr

C.若tanaW1,则aW—D.若tana#1,则a=—

44

2011年：2.设M={1,2},N={*,则“〃=1”是”则（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件

答案：A

解析：因即N={1},满足“N=M”,反之“N=M”,则N={/}={1},或

N={&2}={2},不一定有“a=l”。

2010年：2.下列命题中的假命题是（B）

A.VxeR,2*T>0B.VXWN*,（X-1）2>0[

C.GR,1gx<lD.HxeR,tanx=2

【答案】B

15、优选法，

2010年：9.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则

第一次试点的加入量可以是____________g.

【答案】171.8戢148.2

【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为

110+(210-110)x0.618=171.8

或210—(210-110)x0.618=148.2

【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。

16、参数方程与极坐标，2012年：9.在直角坐标系xOy中，已知曲线Cl：x=t+l（t

为参数）与曲线C2：x=asin0

Y=l-2ty=3cos0

（6为参数,a>0）有一个公共点在X轴上，则a等于--------1

2011年：9.在直角坐标系my中，曲线G的参数方程为卜"。。‘以（1为参数）在极坐标

y=1+sina

系（与直角坐标系X。），取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，

曲线。2的方程为夕（cos。-sine）+1=0,则q与C2的交点个数为

答案：2

由圆心到直线的距离：

解析:曲线G：/+(y—1)2=1,C2:x-y+1=0,d=8"=0<1,

故G与。2的交点个数为2.

2010年:

V—__1.f

3、极坐标方程p=cos。和参数方程（t为参数）所围成的图形分别是（A）

[y=2+3，

A圆、直线，B直线、圆，C圆、圆，D直线、直线，

17、绝对值不等式与柯西不等式，2012年：10.不等式|2x+lH|x-l|>0的解集为

2011年：10.设则，+与）（1+4y2）的最小值为_________

yx

答案：9

解析：由柯西不等式可知(x2+-^)(4+4/)>(1+2)2=9O

y%

18、几何证明,

2012年：11.如图2,过点P的直线与圆O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则

圆。的半径等于

ir~Ap

国2

连结0A1OB利用相似三角形可得而

2011年：11.如图2,是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4,

AO_L8C,垂足为D,BE与AD相交与点F,则AF的长为。

D0

图2

解析：由题可知，ZAOB=ZEOC=60°,0A=。8=2,得。。=8。=1=

又AD°=BDCD=3,所以4尸=4。一。/=述

2010年：10.如图1所示，过。外一点P作--条直线与。交于A,B两点，已知PA=2,

点P到。的切线长PT=4,则弦AB的长为________.-----、

【答案】6/\

【解析】根据切线长。定理/[,0]

PT、PAPB,PB=^=3=8P/葭/

PA2

所以A3=PB—PA=8—2=6

【命题意图】本题考察平面儿何的切线长定理，属容易题。

19、排列与组合，

2010年：7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信

息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置

上的数字相同的信息个数为

A.10B.llC.12D.15

【答案】B

【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：

第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C；=6（个）

第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C：=4（个），

第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C：=l（个），

与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有11个。选B。

20、二项定理,

1

2012年:13.()6的二项展开式中的常数项为o-160(用数字作答)

耳

21、综合小题与新概念题。

2012年：8，已知两条直线11：y=m和12：y=--—(m>0),11与函数y=|log2x|的图

2m+1

像从左至右相交于点A,B,12与函数产y=|log2x|的图像从左至右相交于C,D记线段AC

h

和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，-的最小值为(B)

a

A165/2B872C874D474

88

m2m+12m+1

由数形结合知Tog2》.=机=>4=2一'",同理：xB=2,xc=2,xD=2

2m+l

h2-2，"+』4」i-

―^-=22，T=22>22=80.

(1------

2Tzi-22m+l

2012年：15.函数f(x)=sin(5+夕)的导函数尸f(x)的比分图像如图4所示，其中，P为

图像与轴的交点，A,C为图像与图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点。

(1)若"春，点P的坐标为(0,—),则吁_____3

2

(2)若在曲线段A8C与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在aABC内的概率为—

71

-o

4

2012年：16.设N=2”(n£N*,n，2),将N个数xg,…,XN依次放入编号为1,2,…,N

的N个位置，得到排列P°=XiX2…XN。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按

原顺序依次放入对应的前冬个数和后四个位置，得到排列P1=X1X3…XN-IX2X4…XN，

22

将此操作称为C变换，将口分成两段，每畔个数，并对每段作C变换，得到P2当24

Wn-2时，将R分成2,段，每段当个数，并对每段C变换，得到PHI，例如，当N=8时,

P2=X1X5X3X7X2X6X4X8,此时X7位于P2中的第4个位置。

(1)当N=16时，X7位于P2中的第一个位置；

(2)当N=2n(n28)时，XI73位于P4中的第一个位置。

N=16时,

Pl=XM3X5X7X15X2…玉6,〃2=玉X5X9玉3X3X7*内5々4%~4%44占2±6,

.・"7在P2的第6个位置上。

N=2"时，0=平3…知3（第87位）…/-也…打,

p2=Xtx5•••王73（第44位）•一x3x7•••x2x6x4x8---,

P3=（中9…乂X5…西73（第2'v"+22位）…）…，

P4=（X|…/…乂/…乂…"3（第2八3+2"4+11位）

.”⑺在P4第3x2*4+11位。

2011年：8.设直线x=f与函数/(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达

到最小时/的值.为()

A.1B.-C.—D.—

222

答案：D

解析：由题|MV|=X?-Inx,(x>0)不妨令人(x)=X?-Inx,则〃(x)=2x-』，令/f(x)=0解

X

得x=,因JG(0,^y-)时，似x)<0,当xE(1,+8)时,h\x)>0,所以当X=时，|MN|

达到最小。即/=上。

2

kAdA2

2011年：16、对于〃£N",将〃表示为n=a[}x2+a}x2+a2x2-Hx21+akx2°,

当i=0时，《=1,当IKWk时，《为0或1.记/(〃)为上述表示中《•为0的个数，(例如

1=1x2°,4=1X22+0X2,+0X2°：故/(1)=0,/(4)=2)则

127

(1)/(12)=(2)Z2"")=

〃=1

答案：(1)2；(2)1093

解析：(1)因12=1x23+1x22+0x21+0x2°,故/(12)=2；

(2)在2进制的4仅22)位数中，没有0的有1个，有1个0的有CL个，有2个0的

有个，……有机个0的有个，……有a-1个0的有C£；=l个。故对所有2进制为

4位数的数〃，在所求式中的2"")的和为：

1.2°+CL•2】+CL，2之+…+C：，2—=3k-'o

1277

又127=27-1恰为2进制的最大7位数，所以£2"")=2°+Z3*T=1093。

n=\k=2

2010年：15.若数列{氏}满足：对任意的〃wN*,只有有限个正整数机使得金〈〃成立，

记这样的根的个数为(aj，则得到一个新数列｛(4)*｝.例如，若数列｛4,｝是1,2@“，,

2

则数列｛(4)*｝是0,1,2,…，n-1,-.已知对任意的"wN*,an=n,则(%)*=，

(0)*)*=•

【答案】2,n2

【解析】因为%<5,而所以!《=1,2,所以(%)*=2.

因为(q)*=0,

(出)*=1,(%)*=1，(“4)*=1，

Q)*=2,(%)*=2,(%)*=2,(4)*=2,Q)*=2,

(%))*=3,(%J*=3,(aJ=3,(%3)*=3,(%1)*=3,(每)*=3,(%)*=3,

所以((卬)*)*=1，((附)*)*=4，((％)*)*=9，((%)*)*=16，

猜想(4)*)*=/

【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力,

属难题。

二、解答题分类解析

(-)概率统计分布

2012年：17.(本小题满分12分)

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的

100位顾客的相关数据，如下表所示。

一次购物运

1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以

顾客数《人)

X3025y10

结算时间(分神./人)

L522.53

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%。

(I)确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

(II)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该

顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。

(注：将频率视为概率)

(l)x=15,)>=20,E(7)=1x1-1.5x1-2x—I-2.5x—I-3x—

」)W20104510

c\33,339

,72020201080

2011年：18.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件)0H[2[3-

频数1595

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，

当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，

将频率视为概率。

（I）求当天商品不妙夏的概率；

（II）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。

解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（"当天商品销售量为0件"）+P（“当天商品销售量1

153

件"）=—+—=—O

202010

（II）由题意知，X的可能取值为2,3.

蛆=2）二"当天商品销售量为1件"）4+

「（》=3）=「（"当天商品销售量为0件"）+「（"当天商品销售量为2件"）+2（"当天商品销售

1953故X的

量为3件"）一+—+—=-

2020204

分布列为

X23

P]_3

44

X的数学期望为£X=2X」+3X2=U。

444

2010年：（2010湖南理数）17.（本小题满分12分）

图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图

（I）求直方图中x的值

（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用

水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。

I,除忻//

(I)依题意及频率分布直方图知，0X)2+01+x+0.37+0.39=L解得x=0.12~

(H)由题意知，X-5(3,01)."

因此，

P(T=0)=Cfx09*34*6=0,729,r(X=l)=GxO1x0.9：=0.243“

P{X=2)=C；xO.l2x0.9=0,027,P(X=3)=CfxO.l3=0,001“

故随机变量X的分布列为"

X。1“2©3小

0.7230.243口0.027/0.003

X的数学期望为EX=3xO.1=0.3，

【命题意图】本题考查甄率分布・方图、二项分布、离散型随机变筌的分布列与数学期暨.

属中档题•，

(二)、三角函数与平面向量

2011年：17.(本小题满分12分)在AA8C中,角A,8,C所对的边分别为a,仇c,且满足

csinA=6zcosC.

(I)求角C的大小；

(II)求百5出4-35(8+2)的最大值，并求取得最大值时角A,8的大小.

4

解析：(I)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC

_jr

因为0<A<肛所以sinA〉0.从而sinC=cosC.又cosCwO,所以tanC=l,则C=—

4

(II)由(I)知八337r-A于是

4

6sinA—cos(B+—)=V3sinA-cos(7r-A)

4

=VJsin4+cosA=2sin(A+—).

6

_.3冗TV.7C1\jCI।—、［,.7CTCr»r-t.7C..»

*.*0<A<—,—<AH—<----，从而当A4—=—,即A=一时，

46612623

2sin(A+2)取最大值2.

6

综上所述，百sinA-cos(8+?)的最大值为2,此时A=?,8=!|.

16.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=Gsin2x-2sin:x.

（I）求函数f（x）的最大值；

(II)求函数/(x)的零点的集合

【解析】(I)因为/'(x)=>/Jsin2x-(l-cos2x)=2sin(2x+二)

所以，^2x+-=2k^+-,即x=Ax+2(kcZ时，函数”x)取最大值1.

626

71

(H)解法1由(I)及〃x)=0得sin(2x+t)=［所以

62

2x+—=—,或2x+2=2左乃+二即或x=br+W.

66663

故求函数/(X)的零点的集合为｛X|X=k",或x=yr+?/eZ》

解法2由"x)=0得2>5sinxcosx=2sin2工于是sinx=0：或Wcosx=sinx

即tanx=石

由sinx=O可知x=Kr即tanx=J^可知，x=kz+—.

2010年：3

/(x)的零点的集合为1x|x=A乃或x=ki+?,kez1.

（三）、立体儿何

2012年：18.（本小题满分12分）

如图5,在四棱锥P-ABCD中，PA,平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=Z

ABC=90°,E是CD的中点。

（I）证明：CDJ_平面PAE；

（II）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD

的体积。

图5

(1)如图，连结AC,由AB=4,BC=3,/ABC=90°,=AC=5,又AD=5,

E是CD的中,CD±AE,vPAI面ABCD,CDu面ABCD,PAICD,

而PA,AE是平面PAE内两条相交直线，所以CD_L平面PAE,

⑵过B作BG//CD,分别与AE,AD相交于点F,G,连结PF。

由⑴知，CD_L平面PAE,；.BGJ_平面PAE,

・•.NBPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGLAE,

由PA，面ABCD,知NPBA为直线PB与平面ABCD所成的角，

BFPA

ZBPF=ZPBA,sinZBPF=——=sinZPBA=——nPA=BF

PBPB

AD-Q/c

又易知GD=BC=3,AG=2,CD=BG=2V5,BF=——=PA

BG5

2011年：19.(本题满分12分)如图5,在圆锥尸。中，已知PO=&,O的直径

AB=2,。是A相勺中点”D为AC的中点.

(I)证明：平面平面PAC;

(II)求二面角B-P4-C的余弦值.

解：(D连接。C,因为OA=OC,D为的AC中点，所入

又P0J_底面0,ACu底面。，所以ACJ.P。.因为/；\\

。。，尸。是平面尸。。内的两条相交直线，所以/；\\

4cL平面POD而ACu平面PAC,所以/：\\

平面尸。£)_L平面PAC。/14\

(II)在平面P。。中，过。作O”_LPO于"，由(D/一二B工三产

知，平面尸。£)±平面P4C,所以。"J_平面PAC,又八《二二二一/二--------

PAu平面PAC,所以P4工0".一--------一一^

在平面PAO中，过。作。G，PA于G,连接HG，则有PA±平面。G",

从而PA工HG,所以NOG”是二面角8-PA-C的平面角.

石

在RtAODA^,OD=OA-sin45°=—

2

POODVio

在即APOO中,。”

4PO2+OD~5~

V2

V2xl_

在用"0A中,。G=

y/P02+0A2V2+1—3

V10

a=孚'所以cos/°G"=*

在Rr中,sin40GH=——

OG

故二面角B-PA-C的余弦值为叵o

2010年：18.(本小题满分12分)

如图5所示，在正方体ABCD—A|B|CQi中，E是棱DD」的中点。

.(I)求直线BE与平面ABBiAi所成的角的正弦值；

(II)在棱CiDi上是否存在一点F,使BF//平面A|BE?证明你的结论。

【解析】图5

18.(本小题满分12分)~

如图5所示，在正方体ABCD-AIBIGDI中，E是棱DD：的中点.“

(I)求直线BE与平面ABB：A：所成的角的正弦值；"

(»应梗勒》上是否存在一点己使B】F平面A：BE?证明你里结论."

图5P

【解析】•

解法1设正方体的棱长为1，如图所示，以而，而，石为单位正交基底建立空间直角坐

(I)依题意得B(1,0.0).E(0.1.A(0,0,0).D(0.1.0).豳“

2

—1——

5£=(-l,l,-),JZ>=(0,l,0),在防体ABCD-AiBiGDi中，因为ADJ■平面ABBiA”~

所以,4D是平面ABBjA；的一个法向量.3

设直线BE与平面ABB：A】所成的角为夕则.

I乐•而I1

sin8=

\BE\^AD

即直线BE与平面ABBiA所成的角的正弦值为二.♦

3

意，得A】(0.0,1),9=(一1,0,1),匠=(-LL1).~

一

设n=(x,);z)是平面AiBE得一个法向氧则由n・R4=0,n*BE=0,等。

所以x=zj=：z,取；=2,得n=(2,1,2).“

设F是棱CiDi上的点，则F(“」)(OWtWl),又Bi(1,0,1),所以"

：

瓦？=«-1<1.0),而4尸12平面人»£,于是一

BiF/A^AiBE=§7・n=0=(r-LL0X2,L2)=0=2("l)+l=0~

=/===尸为GD的中点。这说B月在在棱CQ；上是否存在一点F(C1D的中点)，使

2

B：F平面A：BE/

解法2如图（a）所示，取AAi的中点M,连结E'LBNL因为E是DD1的中点，四边

形ADD1A：为正方形，所以EMAD.”

又在正方体ABCD—AiB：GDi卬.ADJL平面ABBJAK所以EXLLABB-A-.从而BM为

直线BE在平面ABB：A上的射影，ZEBM直线BE与平面ABB：A】所成的角

设正方体的接长为2,则EM=AD=2,BE=V2：+2l+l:=3,于是2

EXf*>

在KrZ\BEM中，sinZ£5JZ=——=一"

BE3

即直线BE与平面ABB：A：所成的角的正弦值为2.“

3

（II应棱GDi上存在点F,使BiF平面ABE.~

事实上，如图（b）所示，分别取C】Di和CD的中点F,G,连结EG,BG,CD;.FG-

因A-D；BiGBC,且A：Di=BC,所以四边形A.BCDi为平行四边形，因此D：CA；B,又

E,G分别为DQ,CD的中点，所以EGDC,从而EGA：B,这说明A1，B.G,E共面，

所以BGU平面A：BEP

因四边形GCDD：与B：BCCi省•为正方形,F,G分别为CD和CD的中点，所以FGC：CB；B,

且FG=CiC=B：B,因此四边形B；BGF为平行四边形，所以BJBG.而BFU平面AjBE.

BGU平面AiBE,故BF平面AIBEP

图(a)图（b*

【命题意图】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考察考生探究能力、空间想

象能力•~

（四）、解析几何

2012年:21.（本小题满分13分）

2

在直角坐标系xOy中，曲线Ci的点均在C2：（x-5）+^=9外，且对C1上任意一点M,

M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值。

（I）求曲线Ci的方程

（II）设P（xo,yo）（yoW±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线CW

交于点A,B和C,Do证明：当