新高考数学一轮复习精讲精练5.3 平面向量的应用（基础版）（解析版）

5.3平面向量的应用（精讲）（基础版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一证线段垂直【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四边形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．13 D．26【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴AC⊥BD，所以四边形ABCD面积为：SKIPIF1<0.故选：C.【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上任意一点（异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】见解析【解析】设正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以四边形ABCD为平行四边形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B2．（2022·福建·漳州三中）若O为SKIPIF1<0所在平面内一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为非零向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角三角形.故选：B3．（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】证明见解析.【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考点二夹角问题【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H为SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依题意，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．由H为△ABC的垂心，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CN与BM交于点P，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故选：D.2．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大的值为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·福建省同安第一中学）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0位于直线SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】建立如图所示平面直角坐标系：则SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，因为动点SKIPIF1<0位于直线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C.考点三线段长度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】B【解析】由题意得|SKIPIF1<0，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得：SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0【例3-2】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则AC边的中线的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【解析】根据正弦定理由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,不符合三角形内角和定理，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，负值舍去，即SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0边的中点为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0故选：C【一隅三反】1．（2022·云南师大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分线AD交边BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则AD的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中点O，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0M为BC边上靠近C的三等分点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的中线长为（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，根据余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0边上的中线长为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.考点四几何中的最值【例4】（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若线段CD上存在唯一的点E满足SKIPIF1<0，则线段CD的长的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】

如图所示，以A为坐标原点，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.则SKIPIF1<0,设DE的长为x，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由题意知：SKIPIF1<0，且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B.【一隅三反】1．（2022·安徽安庆）设点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0上一个动点，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，则中线SKIPIF1<0的长是___________.【答案】3【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边中点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0是中线SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<02．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点SKIPIF1<0是边长为2的正三角形SKIPIF1<0的三条边上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，如下图示，所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0点重合时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影最大，此时SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0点重合时，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,取得的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．4．（2022·四川省内江市第六中学）如图，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】在等腰SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．考点五三角形的四心【例5】（2022·甘肃·兰州一中）（多选）点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则点O为SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心C．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心【答案】AC【解析】对于A，设边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，即点SKIPIF1<0在中线SKIPIF1<0上，同理点SKIPIF1<0在中线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心.故A正确对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，故B错误对于C，设边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点分别为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中垂线，同理SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中垂线，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，故C正确对于D，由已知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，也即点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0的高上；同理，点SKIPIF1<0也在边SKIPIF1<0的高上，所以则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，故D错误.故选：AC【一隅三反】1．（2022·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设SKIPIF1<0中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】如图：根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且SKIPIF1<0.对于A，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正确；对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点SKIPIF1<0为BC中点，且AG＝2GD，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；对于D，SKIPIF1<0显然不正确.故选：ABC.2．（2022·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由G是三角形ABC的重心可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故A项错误；过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B项正确；因为G是三角形ABC的重心，所以有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由欧拉线定理可得SKIPIF1<0，故C项正确；如图（2），由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D项正确，故选：BCD.3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O是四边形SKIPIF1<0内一点，若SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（

）A．四边形SKIPIF1<0为正方形，点O是正方形SKIPIF1<0的中心B．四边形SKIPIF1<0为一般四边形，点O是四边形SKIPIF1<0的对角线交点C．四边形SKIPIF1<0为一般四边形，点O是四边形SKIPIF1<0的外接圆的圆心D．四边形SKIPIF1<0为一般四边形，点O是四边形SKIPIF1<0对边中点连线的交点【答案】ABC【解析】对于A，若四边形SKIPIF1<0为正方形，点O是正方形SKIPIF1<0的中心，则必有SKIPIF1<0，但反过来，由SKIPIF1<0推不出四边形SKIPIF1<0为正方形，故A错误；对于BCD，如图所示，O是四边形SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，由向量加法的平行四边形法则知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O是MN的中点；所以O是EF，MN的交点，故BC错误，D正确；故选：ABC4．（2022·山东省平邑县第一中学）（多选）在SKIPIF1<0所在平面内有三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心B．满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心C．满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心D．满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边三角形【答案】ABCD【解析】对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的三个顶点的距离相等，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，故SKIPIF1<0正确；对于B，如图所示，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理可得：SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，故C正确；对于D，由SKIPIF1<0得：角SKIPIF1<0的平分线垂直于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．考点六三角的面积【例6-1】（2022·全国·高三）点P菱形ABCD内部一点，若SKIPIF1<0，则菱形ABCD的面积与SKIPIF1<0的面积的比为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】如图，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积的比值是6.故选：B.【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0为正SKIPIF1<0所在平面上一点，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积比值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．2 D．3【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是对应边的中点，由平行四边形法则知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三角形SKIPIF1<0与三角形SKIPIF1<0的底边相等，面积之比为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故选：B【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以O为SKIPIF1<0的重心，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A2．（2022·全国·高三）P是SKIPIF1<0所在平面内一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题设，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0，如下图示：所以SKIPIF1<0.故选：A3．（2022·四川凉山）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内任意一点，若满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（

）①若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边中点，则SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0个 B．SKIPIF1<0个 C．SKIPIF1<0个 D．SKIPIF1<0个【答案】D【解析】对于①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，①正确；对于②，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离SKIPIF1<0与SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离SKIPIF1<0之比为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②正确；对于③，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，③正确；对于④，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边中点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，④正确.故选：D.5.3平面向量的应用（精练）（基础版）题组一题组一证线段垂直1．（2022·全国·高一课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形.故选：C.2．（2022·新疆）在△ABC中，若SKIPIF1<0，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则△ABC为直角三角形.故选：B.3．（2021·浙江）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的是等腰三角形．故选：B．4．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【答案】证明见解析【解析】∵SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<02－SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，∴SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即DE⊥AF.5．（2022·湖南）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为BC的中点，E是AB上的一点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】证明见解析【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.【答案】证明见解析【解析】设SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2-(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2=SKIPIF1<02+2e·SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0·SKIPIF1<0-SKIPIF1<02，由条件知：SKIPIF1<02=SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02+SKIPIF1<02，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=0，即SKIPIF1<0，所以AD⊥BC.7．（2022·浙江）如图，在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）证明见解析【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0题组二题组二夹角问题1．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，以SKIPIF1<0点为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴构建直角坐标系，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.2．（2022·江西）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系如图所示，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D.3．（2022·江苏）（多选）已知向量SKIPIF1<0，记向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为锐角 B．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为钝角C．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为直角 D．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为平角【答案】ACD【解析】A.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为锐角，故正确；B.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角或平角，故错误；C.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角，故正确；D.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为平角，故正确.故选：ACD4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为锐角时，SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0