数值分析,计算方法试题库及答案

2008_~2009_学年第学期

«计算方法》课程考试试卷(A)

开课二级学院：理学院，考试时间：2009年月一日时

考试形式：闭卷/口、开卷口，允许带计算器入场

考生姓名：学号：专业：班级：

题序—►二三四五七总分

得分

评卷人

f一、填空(每个空3分，共27分)

：I,设x=2.6718,/=2.671,则x•有位有效数字

j2,/=2.8451是经四舍五人得到的近似值，则其相对误差卜；|«

;3,设x=(3,-2,6),则|WL=-卜L=

j4,设/"(x)>0,则由梯形公式计算的近似值T和定积分/=，7(幻心的值的大小

j关系为

|5,设/(0)=1J⑴=3,/(2)=4,/(3)=2,_/I(ffl]23]=

省6,对点=…拟建立模型¥=。+尿2,则%6满足的正规方程组为

na+^b=i—

7,若a4满足的正规方程组为：fh上

力n中+k£*=之n十Y

fsixr=iyi

则y与x之间的关系式为_______________________

8,对辕法迭代公式x"+”=Axat当k充分大时有常数s使x(z>=xrM),则A的按模最大

的特征值4工

寂涯网络0工jybase.nel2008〜2009学年第」_学期《计算方法》课程试卷A第」一页共」L页

二、设/(-2)=0J(0)=2J(2)=8,求p(x)使夕(毛)=/(茗)，(i=0,1,2)：乂

设|/"(x)|<.W,则估计余项r(x)=f(x)-p(x)的大小.(15分)

三、设/(0)=1J(0.5)=5J(l)=6,/(1.5)=3,./•⑵=2,|尸>忆材(女=2,3,4).

(1)计算。/(为心.(2)估计截断误差的大小(12分)

寂涯网络E,jybase.net2008〜2009学年第」_学期《计算方法》课程试卷A第2页共，_页

四、设方程/+5--12=0在［1,2］内有实根a,试写出迭代公式

左=0」,2,…，使｛rj—a.并说明迭代公式的收敛性.（10分）

135

五、设有线性方程组4r=力，其中A=31015

51530

（1）求4=LU分解；（2）求方程组的解（3）判断矩阵A的正定性（14分）

建

绕

发灌网络e,2QQ8〜2009学年第1学期《计算方法》课程试卷A第2页共页

1

六、设有线性方程组=6,其中

A22

4

试讨论Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。（14分）

T

七、设4=“是〃阶实对称正定矩阵，4经过一次高斯消元计算变为

OA2

其中r为行向量,o是零列向量.试证明&是对称正定矩阵（8分）

寂若网络e,20Q8〜2009学年第1学期«计算方法》邃程试卷A第页共/-页

2008_〜2009_学年第学期

《计算方法》课程考试送卷（B）

开课二级学院：理学院，考试时间：2008年12见31日时

考试形式：闭卷/口、开卷口，允许带计算器入场

考生姓名：学号：专业：班级：

题序—►二三四五七八总分

得分

评卷人

一、填空（每空3分，共27分）

1.牛顿―柯特斯求积公式的系数C"=

2,设X的相对误差为£,则正的相对误差为

3,设Y=4.5585是经四舍五人得到的近似值，则卜•一布

d4,设X=(2,-2,8),则|忖［=，|此=

5.对实验数据（七,此）（，=1,2拟建立模型，=。+次，则明〃满足的正规

y

方程组为

na+工xg=2人

i=lr=I

着满足的正规方程组为：

缓a4

£片4+£.£%=£片月

f=!i=1i=l

则y与x之间的关系式为_______________________

7,若为是彳t的按模最大的特征值，则4的按模最小的特征值为

8,对耗法迭代公式=Ax,ij当£充分大时有常数使

-d+n+px（t+,）+qx（l）s0,则4的技模最大的特征值4工=

寂涯网络ejyMse.nei2008〜2009学年第二学期《计算方法》课程试卷B第二一页共/_页

二、设/(T)=lJ(0)=2,/(l)=6,求p(x)使MxJ=/(xJ(i=0,l,2)：

又设,则估计余项r(x)=/(x)-p(.x)的大小。(15分)

三、设,〃-1)=1,/(-0.5)=4,/(0)=6,八0.5)=9,〃1)=2,|/")卜时,则用

宜化Simpson公式计算J：/(x滋，并估计整体截断误差(12分)

寂涯网络e.200&〜2009学年第一L学期《计算方法》谦程试卷B第2页共二L页

'124''0

四、设有线性方程组及=6,其中力=269,b=1

4920「3

（1）求.4=LU分解；（2）求方程组的解（3）判断矩阵力的正定性（14分）

五、设有线性方程组及=6.其中

-12-4"

J=1I2.试讨论Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性.（14分）

1I1

寂涯网络jybase.nct2008〜2009学年第」_学期《计算方法》课程试卷B第工页共，页

六、设方程Y+41-10=0在口,2］内有实根a.试写出迭代公式

x*+i=O（xJ）*=0.L2,…，使kj—a.（10分）

七、设力是非奇异矩阵.矩阵序列W*｝满足Xz=X1（2/-4X*）,若/（/-4丫。）＜1,

证明：limX*=/T（8分）

寂涯网络eiybasc,net2008〜2009学年第二_学期《计算方法》课程试卷B第_£_页共_1_页

200_8_〜200_9_学年第学期

《计算方法》课程

试卷(A)参考答案及评分标准

开课二级学院：理学院，学生班级：07数学,07信算1,2教师:何满喜

一、填空(共27分，每空3分)

1,32,-xl0~*3,1164.T>I5,4

4

6.-/=,X7,-=a+bx8.S

2出+力.的空心7

1=1i=l»=1

二(共15分)、由公式得

p(x)=f(x0)+/[x。,x](x-&)+f[x0,x,,x,](A--.r0Xx-$)3'

lr(V)l=|3!(X+2)X(X-2)……3'

Mc、，M1686•,„

<—\(x+2).r(x-2)|<-x—==~~M....3

oo3y327

三(共12分)、根据给定数据点的个数应该用兜化simpson公式计算由公式得

\y(x)dx=1(/(0)+4(/(0.5)+/(1.5))+2/(1)+/(2))……4'

风/巴)|=一嬴川/⑷⑺……3"

Zoov

<------M=------3'

28801440

若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8分.扣除方法分数4分.

四、(10分)把方程/+5--12=0等价变为以下方程:2'

«计算方法》课程试卷A参考答案及评分标准第1页共3页

MXtp(x}=,....2'则有=/I=，....2'

Vx+52J(x+5)，

因此对1<x<2有2'

2J(x+5.2J(i+5)s266

所以由定理可知迭代公工Uz=叭心）是收敛的.即迭代公式

收敛千方程在区间口.2］内根a上.2'

人+5

13

五、（14分）因为［A,b］=310

515

'100Y135、

(1)J=LU=300103'

A01八00

00Y135100”135、

(3)由于A=310010311010

540

、5005八500

所以矩阵A是对称正定的…3'

-0-44

六(14分)、Bt=D-'(D-A)=-20-22'

-4-40

:.囚一即=万=0……2'

所以p（Bt）=0<l,由定理可知简单（Jacobi）迭代法收敛.……3'

‘100、0-44‘0-44、

B2=(I-L)-'U=-21000-2=08-10...2,

、4-41,000、0-1624,

2

\AI-B2\=2(Z-322+32)=0……2,

所以p（&）=16+4jiZ>l,由定理可知Seidel迭代法不收敛。……3'

<计算方法》课程试卷A叁考容案及评分标准第2页共3页

七（8分）、证：A2的元素为=aii--al.=aji-23端,

a\\a\\

因此出为对称矩阵.……2'

10—o-

°n。…(T

4”一啊11…00O1'

记叫i=—,Lx=.则L/L；==...2'

anA2O

—mal0••10

对任意n-1维非零向量/.作x=（0,x；）',记］，=上"，则y户0,;.)/力>0,…一2'

为O'

而了川=(G»A(0x)=x"Gx=(0,x；=-%42*0,,♦>°，

OA2I:)

从而4为正定矩阵.……2'

＜计算方法》课程试卷A参考答案及讦分标准第」_页共」_页

课程编号：12000044北京理工大学2010-2011学年第一学期

2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷

班级学号姓名成绩

注意：①答题方式为闭卷.

②可以使用计算器.

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上.

一、填空题（2

0X2'）

1.设尸0.231是精确值廿=0.229的近似值，则x有_____________位有效数字。

lIXYlloo^（注意：不计算114rli8的值）。

3.非线性方程大x）=0的迭代函数k（x）在有解区间满足，则使用该

迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

4.若HxK7一好+1,则ypoZZZUNZt___________________________，

真20,2口2,232t25,26,27］］=.

5.区间心力］上的三次样条插值函数S（x）在［a/］上具有直到阶的连续导数。

6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛

顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差

分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的

（填写前插公式、后插公式或中心差分公式）：如果要估计结果的舍入误差，

应该选用插值公式中的-

7.拉格朗日插值公式中式动的系数a仆）的特点是：£%（x）=：

f«0

所以当系数咏X)满足,计算时不会放大人动的误

差.

8.要使画的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取______位有效数字。

9.对任意初始向量X。)及任意向量g,线性方程组的迭代公式""心区西)

+g(jl=0,l,…)收敛于方程组的精确解产的充分必要条件是

10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是

X00.511.522.5

-2-1.75-10.2524.25

11.牛顿下山法的下山条件为

12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差々a=0』「\〃)来实现的，其中

的残差r,—,(z=0,l,«*^).

13.在非线性方程凡*)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解.

且*x)的二阶导数不变号，则初始点沏的选取依据为

14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、、迭代计算。

二、判断题(在题目后的()中填上“或"X".)

(ioxr)

1、若4是〃阶非奇异矩阵，则线性方程组4¥=b一定可以使用高斯消元法求解。

()

2、解非线性方程小)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的.

()

3、若/为〃阶方阵，且其元素满足不等式

|%|A(i=

冲

则解线性方程组4r的高斯——塞德尔迭代法一定收敛.

4、样条插值一种分段插值。()

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

()

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截

断误差及舍入误差.

()

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组4¥=儿()

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后

一步迭代计算的舍入误差.

()

9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原

则是截断误差=舍入误差。

()

10,插值计算中避免外插是为了减少舍入误差.()

三、计算题

(5X8'+10')

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。

xl-x2+x3--4

«5xt-4X2+3X3=-12

2x,+x2+x3=11

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),

并写出其截断误差的表达式(设凡t)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

0012

A.)1-13

15

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高

斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一

一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

2X1-x2+x4=1

xt—x3+5X4=6

+4X3—x4=8

-x,+3X2-x3=3

4、设尸口加，当取xo=1.74,XI=L76,X2=L78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的

函数值时，函数值外,以,力应取几位小数？

5、已知单调连续函数）=/（口的如下数据：

勺-0.110.001.501.80

A.)-1.23-0.101.171.58

若用插值法计算,x约为多少时｛丫）=1.（计算时小数点后保留5位）。

6、应用牛顿法于方程/（X）=1--?=O,导出求函的迭代公式，并用此

公式求JIB的值。（计算时小数点后保留4位）。

课程编号：12000044北京理工大学2009-2010学年第二学期

2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷

班级学号姓名成绩

注意：①答题方式为闭卷。

②可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上.

四、填空题(20X2')

15.设尸0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。

16.设「321r2T14118=5.Ilxil8=_

A==

-21J[__3_

3,

II/LTIIoo^15.

17.非线性方程./(x)=0的迭代函数尸(X)在有佛区间满足I'(x)|<1，则使

用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

18.若凡丫内7一必+1,则八2。2,22,23,24,25,262]=1,

外2。.町=0°

19.区间口力]上的三次样条插值函数S(x)在口⑸上具有直到」_阶的连续导数。

20.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛

顿差商公式的前插公式,若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点

下牛顿杂商公式的后插公式：如果要估计结果的舍入误差，应该

选用插值公式中的拉格朗日插值公式。

21.拉格朗日插值公式中风动的系数a,G)的特点是：£%(x)=J：

f«O

所以当系数见外满足。仆)>1，计算时不会放大

人功的误差.

22.要使旧的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取4位有效数字.

23.对任意初始向量X。)及任意向量g,线性方程组的迭代公式

+以上=0,1,…)收敛于方程组的精确解产的充分必要条件是_____________但

24.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5

X00.511.522.5

.词X)-2-1.75-10.2524.25

25.牛顿下山法的下山条件为为xn+l)KIRxn)l.

26.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r,…⑼来实现的，其中

的残差门=血气.也印工…也梦必"_______________________,(Z=O,1,

27.在非线性方程使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解.

且大外的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f{xO)『(xO)>O

28.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值___________、迭代计算.

五、判断题(ioxr)

10、若力是〃阶非奇异矩阵，则线性方程组4r=8一定可以使用高斯消元法

求解。(x)

11,解非线性方程.4x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

()

12、若“为〃阶方阵，且其元素满足不等式

%|之£同"=1，2，…,〃)

j=l

川

则解线性方程组4r=6的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

(X)

13、样条插值一种分段插值。

()

14、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

()

15、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、

截断误差及舍入误差.

()

16、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b.

(X)

17、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到

最后一步迭代计算的舍入误差。

(X)

18、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分

配原则是截断误差=舍入误差.

()

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

X)

六、计算题(5X10')

1、用列主元高斯消元法解线性方程组.

X]-X?+x3=—4

«5巧—4X2+3x?=-12

2x.+x,+x,=11

解答：

(1,5,2)最大元5在第二行，交换第一与第二行：

5x1-4X2+3巧=-12

«xl-x2+x3=-4

2X[+.r2+x3=11

L21=l/5=0.2,hi=2/5=0.4方程化为:

5Xj—4X2+3X3=-12

«—0.2工2+0.4x3=-1.6

2.6.一0.2X3=15.8

(-0.226)最大元在第三行，交换第二与第三行:

5Xj-4X2+3巧=-12

«2.6X2-0.2&=15・8

—0.2x,+0.4x,=-1.6

L32Ho.2/2.6=9076923,方程化为:

5Xj-4X2+3X3=-12

«2.6*2-0.2x3=15.8

V,0.38462x,3=-0.38466

回代得：f毛=3.00005

«x2=5.99999

x,=-1.00010

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式R（x）,

并写出其截断误差的表达式（设4r）在插值区间上具有直到五阶连续导数）.

为012

助）1-13

/'(M15

解答：

做差商表

xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+Lxi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]

01

1-1-2

1-113

23430

2351-2-1

P4(x)=l-2x-3x(x-l卜x(x-1)(x-1)(x-2)

R4(x)=R5)()/5!x(x-l)(x-l)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高

斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一

一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由.

2x,-x2+=1

x,—x3+5X4=6

x2+4X3—K=8

-x,+3x,—x3=3

解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:

2X1-X2+X4=1

—x,+3X2—x3=3

x2+4X3—x4=8

x,—x3+5X4=6

雅克比迭代公式：

2xt-x2+x4=1

-Xj+3X2-x3=3

x2+4x3—.口=8

x,—x3+5xt=6

4、设.产sinx,当取.“=1.74,X]=1.76,X2=L78建立拉格朗日插值公式计算T=1.75的

函数值时，函数值用刈,”应取几位小数？

5、已知单调连续函数的如下数据:

勺-0.110.001.501.80

加）-1.23-0.101.171.58

若用插值法计算，x约为多少时儿。=1。（计算时小数点后保留5位）.

6、应用牛顿法于方程/（*）=1-?=0,导出求«的迭代公式，并用此

公式求J币的值。（计算时小数点后保留4位）.

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟

学号姓名年级专业

三

题号—二四总分

123456

得分

评阅人

一、判断题（每小题2分，共10分）

1000[

1.用计算机求工需时，应按照〃从小到大的顺序相加.

el〃

2.为了减少误差，应将表达式J丽-J丽改写为T=="/进行计算.（）

V2001+V1999

3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确.（）

4.采用龙格一库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高，数值解越精确。（

）

5.用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有

关，与常数项无关。<

二、填空题（每空2分，共36分）

1.已知数a的有效数为0.01,则它的绝对误差限为.相对误差限为

2.设Z=0—21,x=-5，则||4=_____-||x||2=______.14丫,=______.

-130J|_1

3.己知/(x)=2xs+4x3-5x,则/[-1,1,0]=-2,-1,1,2,3]=.

4.为使求枳公式J：/(xMm4/(-4)+4/(0)+的代数精度尽fit高，应使

4=.4=.4=，此时公式具有次的代数精度.

5.n阶方阵A的谱半径0(4)与它的任意一种范数»|的关系是.

6.用迭代法解线性方程组4丫=8时，使迭代公式=N(£=0,1,2,…)产

生的向量序列｛Yu,｝收敛的充分必要条件是.

7.使用消元法解线性方程组4丫=8时，系数矩阵彳可以分解为卜三角矩阵上和上三角矩

阵U的乘枳,即4=▲(/.若采用高斯消元法解4r=8,其中/=4-2,则

21

L=.U=：若使用克劳特消无法解4丫=8,则

/=：若使用平方根方法解AX=B,则。与wu的大小关系为(选填：

>.<,=,不一定)。

f

8.以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题<J'='+'的数值解,其迭代公式为

三、计售题(第1〜3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分)

1.以X。=2为初值用牛顿迭代法求方程/(x)=x3-3x7=0在区间(L2)内的根.要求

(1)证明用牛顿法解此方程是收敛的：

(2)给出用牛顿法解此方程的迭代公式.并求出这个根(只需计算七,毛，计算结果

取到小数点后4位).

2.给定线性方程组

Xj+0.4X2+0.4巧=1

,0.4Xj+x2+0.8X3=2

0.4X]+0.8X2+x3=3

(1)分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式:

(2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3.已知函数J，=/（x）在如卜节点处的函数值

X-1012

y1430

（1）建立以上数据的差分表：

（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式巴（x）,并计算双1.1）的近似值:

（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）.

4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次坡小平方逼近多项式.

X-1012

y1250

5.已知函数j=/(x)在以下节点处的函数值，利用差商表求，⑶和/*(3)的近似值。

X134

y218

6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估一校正公式求解F列

常微分方程的数值解.

/=x2+/

(04x41,h=0.2)

"0)=0

四、（8分）已知n+1个数据点（七，乂*=04,2,请用多种方法建立这些数据点之间

的函数关系,并说明各种函数的适用条件.

华南农业大学期末考试答案及评分标准（A卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析

一、判所题：（每小题2分，共10分）

1.X2.V3.X4.X5.X

二、填空池：（每空2分，共36分）

I.0.005或0.5x1Of,0.5

2.5,726,15

3.0,2

4.1,0,1,3

5.夕(⑷41|川

6.p(M)<\

"°1k山

'1ro2,1=

1_2」L」

8.券+1="+K+”)+g。+x“+J'")或"+1=L5x.+2.5乂+0.5,M=0,1,2,…

三、解答题(第1〜4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分)

1.(1)证明：/(x)=.x3-3x-l,由于

a)/(1)=-3<0,/(2)=1>0,

b)/'(幻=3/-3工0(xe(l,2)),

c),n.r)=6.v>0(xe(l,2)),即r(x)在(1,2)上不变号.

d)对于初值a=2,满足/(2)./(2)>0,

所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的.

............................4分

(2)解：牛顿迭代法的迭代公式为

/K)x：-3x.-l

v.=r----------=v——--------------

""+,"f\x„)"3x：-3

............................2分

取初值0=2进行迭代，得

x,=1.8889,

............................1分

x2=1.8795.

............................1分

2.解：(1)Jasbi迭代公式为

工—=-0.4壮＞-0.4引＞+1

，x)“=T).4x，'-0.8x『+2.....................................2分

x"=-0.4x)-0.8xj+3

Gauss-Seidel迭代公式为

x；*+n=-0.4x『一0.4x『+1

，x：+n=-0.4x产-0.8x7+2.....................................2分

=-0.4*+”-0.8x；w，+3

X0.40.4

(2)Jacobi迭代矩阵的特征方程为0.4A0.8=0.展开得

0.40.8A

0.964+0.256=0，即(4-0.8)(2+0.4+A/O.505)(2+0.4-＞/o.5O5)=0.

从而得2,=-1.09280,=0.8000,A,=0.2928.(或由单调性易判断必有一个大于1

的特征根.)因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi迭代法发散.

......................................2分

20.40.4

Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.4420.8=0,展开得

0.420.82A

K/l1-0.8321+0.128)=0.解得A,=0,4e0.628,4,0.204,迭代矩阵的谱半径小

于1,所以Gauss-Seidel迭代法收敛.

.....................................2分

解：（1）建立差分表

XyAFA[FA,r

-11

3

04-4

-12

13-2

-3

20

2分

（2）建立牛顿后插公式为

=-3(x—2)-(X-2)(x-1)

-X'+4

则所求近似值为

A(l.l)=2.79

3分

（3）根据前三个方点建立牛顿后插公式为

则考”(1.1)=2.68

根据事后误差估计法

x-2

[A(0.9)-7>,,,(0.9)]

x+1

故截断误差

-0.9

号。.1)加——x(2.79-2.68)«-0.0471

2.1

3分

4.解：设所求二次最小平方逼近多项式为4（幻=q+。9+/12.根据已知数据.得

2

,?=

2分

则

M'M=

1分

建立法方程组为

2分

解得

ac=3.5,ax=1.5,a2=-1・5・

1分

从血得所求一次最小平方逼近多项式为4(x)=3.5+1.5x-l.5x2.

5.解：设4(x)为已知节点数据的插值二次型项式.构造如F差商表:

Xy一阶差商二阶差商

12

25

48

72

31

用3,31巴[4,3,3]

3P式3)

用3,3|川3,3,3]

34(3)

.....................................2分

因为二次多项式的二阶差商为常数，又£(x)是/(x)的插值函数,故有

7»|4,3,3|=^13,3,3|=1

.....................................2分

而

1居[3,3]-75

4143,3]=———=Q，

因此得

9

^1X31=

由于

|x,x,x,…用.