人教B版数学必修第二册讲义平面向量及其线性运算

第六章»平面向量初步

DILIUZHANG

6.1平面向量及其线性运算

6.1.1向量的概念

考点学习目标核心素养

向量的概念理解向量的有关概念及向量的几何表示数学抽象

共线向量、相等向量理解共线向量、相等向量的概念数学抽象

向量与几何的关系正确区分向量平行与直线平行直观想象

研读•导学•尝试.

©问题导学

预习教材P133—P136的内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的？怎样表示向量？

2.向量的相关概念有哪些？

3.两个向量能比较大小吗？

fl新知初探

1.位移与向量

(1)向量的概念

一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量).

向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量,长度、面积等都是标量.

(2)向量的表示方法

①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为通，此时向量施的模用曲表示.除

了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗

的斜体小写字母如a,6，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如"，~b,7■等来表示向量.

②始点和终点相同的向量称为零向量.零向量的模为3零向量的方向是不确定.模不为0的向量通

常称为非零向量.模等于1的向量称为单位向量.e是单位向量的充要条件是|el=l.

■名师点拨

向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了

起点和终点的线段.

2.向量的相等与平行

一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.

如果两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行.因为零向量的方向不确定，因此通常规

定零向量与任意向量平行.两个向量a和力平行，记作也.两个向量平行也称为两个向量共线.

■名师点拨

共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；不等向量指大小凹方向均相同.

、自我检测,

n判断正误(正确的打“，”，错误的打“x”)

(1)零向量没有方向.()

(2)向量赢的长度和向量函的模相等.()

(3)单位向量都平行.()

(4)零向量与任意向量都平行.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)V

0在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以看成是向量的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量.

@关于零向量，下列说法中错误的是()

A.零向量是没有方向的

B.零向量的长度为0

C.零向量只与零向量相等

D.零向量的方向是任意的

答案：A

画如图，四边形ABCO是平行四边形，则图中相等的向量是(填序号).

①国)与反■；②/与赤；/\

③公与彷；④45与次:.//0

答案：①④

解惑•探究•突破.

探究QL

向量的有关概念

fiSTT］判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与1同向,且|a|>|可，贝!la>b;

(2)若向量|a|=|臼，则Q与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量间=田|,若a与力的方向相同，则。=加

(4)向量a与向量力平行，则向量a与b方向相同或相反.

【解】(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.

(2)不正确.由间=|臼只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系.

(3)正确.因为间=|例，且a与〃同向，由两向量相等的条件，可得a=b.

(4)不正确.因为向量“与向量》若有一个是零向量，则其方向不定.

奥回园矗

(1)理而零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

(2)共线向量与平行向量

①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.

③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

跟踪训练】

①若Q〃方，b//c,贝!ja〃c；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量初与比是共线向量，则A,B,C,。四点必在同一直线上.

其中正确命题的序号是.

解析：①错误.若。=0,则①不成立.

②错误.起点相同的单位向量，终点未必相同.

③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.

④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量嬴，历必须在同一

直线上.

答案：③

探究点囱

向量的表示及应用

丽(1)如图，B,C是线段AQ的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_______个

向量.

①万1,使|5A|=4巾，点A在点0北偏东45°处；

②矗,使|B|=4,点8在点4正东处；

③辰?,使|的=6,点C在点8北偏东30°处.

【解】(1)可以写出12个向量，分别是：AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,

DC,故填12.

(2)①由于点4在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点。的横向小方格数与纵向小方格数相

等.又|51|=4\△，小方格边长为I,所以点A距点。的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点4

位置可以确定，画出向量万1如图所示.

②由于点B在点A正东处，且|矗|=4,所以在坐标纸上点8距点A的横向小方格数为4,纵向小方格

数为0,于是点B位置可以确定，画出向量电如图所示.

③由于点C在点8北偏东30°处，且［反］=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点8的横向小

方格数为3,纵向小方格数为35七5.2,于是点C位置可以确定，画出向量反1如图所示.

您H的四

(1)向量的两种表示方法

①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.

②字母表示法：为了便于运算可用字母a,b,C表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向

量的有向线段的起点与终点表示向量，如筋，CD,际等.

(2)两种向量表示方法的作用

①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.

②用字母表示法表示向量，便于向量的运算.

跟踪训练；某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了1即米到达

C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达。点.

(1)作出向量后，BC,CD-.

(2)求Q)的模.

解：(1)作出向量BC,CD,如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中/BDC=90°,BC=10小米,

C£>=10米，所以8。=10米.△A8O是直角三角形，其中/A8£>=90°,AB=

5米，80=10米，所以AD=y/52+(10)2=5小(米),所以|由)|=5小米.

探究点❸L

相等向量和共线向量

胸⑶如图所示，。是正六边形A8CQEF的中心，且。4=a,OB=b,OC=c.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请---列出与a,方，c相等的向量.

【解】⑴与a的长度相等、方向相反的向量有应>,BC,AO,FE.

(2)与“共线的向量有序1,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AIJ.

(3)与a相等的向量有济，DO,CB-,与b相等的向量有诙，EO,FA-,与c相等的向量有能，ED,AB.

1.［变问法］本例条件不变，试写出与向量病相等的向量.

解：与向量前1相等的向量有而，AO,FE.

2.［变条件，变问法］在本例中，若⑷=1,求正六边形的边长.

解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长Af=|a|=l.

曲陶团四

相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注

意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.

跟踪训练如图所示，四边形A8C。与ABOE是平行四边形.

AB

DC

(1)找出与向量油共线的向量；

(2)找出与向量油相等的向量.

解：⑴依据图形可知及7,ED,丘与赢方向相同，BA,CD,DE,匕定与矗方向相反，所以与向量施

共线的向量为函，CD,DC,ED,DE,EC,CE.

(2)由四边形ABC。与ABOE是平行四边形，知反，访与矗长度相等且方向相同，所以与向量后相

等的向量为。C和ED

测评案，❿彼短也验证•反愦•达标.

1.下列结论正确的个数是()

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量;

②向量的模是一个正实数；

③向量。与分不共线，则a与8都是非零向量；

④若⑷习臼，则

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.①错误.温度是数量不是向量；②错误.零向量的模为0.③正确.因为零向量与任意向量

共线；④错误.向量不能比较大小.

2.设。是正方形ABC。的中心，则向量或），BO,0C,而是（）

A.相等的向量B.平行的向量

C.有相同起点的向量D.模相等的向量

解析：选D.由正方形的性质知|命|=|反）|=|次|=|方讥

3.在下列判断中，正确的是（）

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向向量；

⑤任意向量与零向量都共线.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

解析：选D.由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，

故不正确.显然③⑤正确，④不正确，故选D.

4.在下列命题中：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行：③共线向量一定相等：④相等向量一定共线；⑤

长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.

正确命题的序号是.

解析：由向量的相关概念可知④⑥正确.

答案：④⑥

,应用案，①⑥O©

础达标］

1.F面几个命题：

⑴若则⑷=向；

（2）若⑷=0,则a=0；

（3）若=则a=Z＞；

［同=出1，

（4）若向量a,〃满足彳则a=6.

a//b,

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.（l）正确.（2）错误.间=0,则a=0.（3）错误.a与b的方向不一定相同.（4）错误.a与b的

方向有可能相反.

2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（）

A.单位圆B.一段弧

C.线段D.直线

解析：选A.平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.

3.如图，在。。中，向量励，0C,超是（）

A.有相同起点的向量

B.共线向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

解析：选C.由圆的性质可知|仍|=|次|=而5.

4.以下命题：①⑷与血是否相等与a,b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量;

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.其中，正确命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C.①正确；②错误；终点相同方向不一定相同或相反；③正确.

5.如图所示，在正三角形A8C中，P、Q、R分别是A8、BC、4C的中点，则与人

向量而相等的向量是()/\

A.eq与^

B.eq与//、/\

C.eq与读B°C

D.eq与诙

解析：选B.向量相等要求模相等，方向相同，因此薪与比都是和的相等的向量.

6.下列命题正确的是()

A.共线向量一定在同一条直线上

B.所有零向量都相等

C.向量。与6共线，6与c共线，则。与c共线

D.平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量

解析：选B.A错误，两个向量的方向相同或相反都是共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们

为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上.B显然正确.C错误，注意

到零向量与任意向量共线，若b=0,此结论不成立；若5W0,此结论成立.£>错误，平行四边形两对边

所表示的向量可能方向相反.

7.若。为任一非零向量，8为模为1的向量，下列各式：

①⑷〉网；②。〃b；③⑷>0；④步|=±1.其中正确的是(填序号).

解析：①错误.|a|=g时，⑷<|例；②错误.”与8的方向关系无法确定；③正确，④错误.|/>|=1.

答案：③

8.在?ABC。中，。是两对角线AC,8。的交点，设点集S={A,B,C,D,0},向量集合7={而V|M,

N&S},且〃，N不重合，则集合7中元素的个数为.

解析：S={A,B,C,D,O],S中任意两点连成的有向线段有：AB,AC,AD,AO;BA,BC,BD,

BO-,CA,CB,CD,CO-,DA,DB,DC,DO;OA,OB,OC,5b.由平行四边形的性质可知（如图所示）,

共有8对向量相等，即初=茂7,BA=CD,AD=BC,DA=CB,AO=OC,OA=CO,DO=OB,OD=BO,

又集合中元素具有互异性，所以集合7中的元素共有12个.

答案：12

9.0是正方形ABCD对角线的交点，四边形O4E£),OCF8都是正方形，在如图

所示的向量中：

(1)分别找出与T),防相等的向量；

(2)找出与公共线的向量；

(3)找出与晶模相等的向量;

(4)向量超与历是否相等？

解：⑴命=济，BO^AE.

(2)与启共线的向量有：BF,CO,DE.

(3)与历模相等的向量有：CO,DO,BO,BF,CF,AE,DE.

(4)向量40与CO不相等，因为它们的方向不相同.

10.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定

点A,8.点C为小正方形的顶点，且|而=小.

(1)画出所有的向量公：

(2)求|反:|的最大值与最小值.

解：(1)画出所有的向量启，如图所示.

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点G或C2时,

|布|取得最小值由12+22=,:

②当点C位于点Q或。6时,

|比|取得最大值、42+52="1.

所以|的的最大值为佝，最小值为小.

[B能力提升]

11.四边形4BCD,CEFG,CGHO都是全等的菱形，"E与CG相交于点则下

列关系不一定成立的是()

A.\AB\=\EF\

B.eq与庠/共线

C.eq与西共线

D.eq与EC共线

解析：选C.因为三个四边形都是全等的菱形，所以港|=|函，AB//CD//FH,故矗与丽共线.又三

点£>,C,E共线，所以虎与无共线，故A,B,D都正确.故选C.

12.若丽|=|屐)|且函=而，则四边形ABC。的形状为()

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解析：选C.因为威=而，所以BA〃C。且BA=CO,所以四边形ABC。为平行四边形.

又因为乐物=|Q)|,

所以四边形4BCD为菱形.

13.如图,ZVIBC和△46。是在各边的;处相交的两个全等的等边三角形，设AABC

的边长为“，图中列出了长度均为W的若干个向量，则

(1)与向量而相等的向量有;

(2)与向量而共线，且模