专题07 三角函数的图象与性质综合（2知识点+6重难点+7方法技巧+4易错易混）（原卷版）-2025高考数学一轮复习知识

专题06三角函数的图象与性质综合（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1三角函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无知识点2函数y=Asin(ωx＋φ)1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A03、三角函数的图象变换由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法重难点01利用三角函数的单调性求参数1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq\f(1,4)周期列不等式(组)求解。【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是．【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是.重难点02与函数零点或方程的根有关的参数问题因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是．重难点03利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.【典例1】（23-24高三下·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·福建漳州·月考）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．重难点04与图象平移有关的参数范围问题1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。【典例1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【典例2】（23-24高三上·江苏镇江·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是.重难点05根据三角函数的最值求参数若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解.【典例1】（23-24高三下·浙江·三模）若函数的最大值为2，则常数的取值可以为（

）A．1 B． C． D．【典例2】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．一、三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为.（用区间表示结果）二、三角函数值域或最值的3种求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；3、换元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)【典例1】（23-24高三下·广东湛江·二模）函数在上的值域为（

）A． B． C． D．【典例2】（22-23高三上·山东朔州·开学考）已知函数，则的最小值为.【典例3】（22-23高三上·广东深圳·月考）已知函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例4】（23-24高三下·湘豫联考·三模）当时，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．三、求三角函数单调区间的2种方法1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．【典例1】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高三下·天津·高考模拟）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．四、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．常见的结论有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．【典例1】（23-24高三下·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（23-24高三下·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝．【典例3】（23-24高三下·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数，的图象关于直线对称B．的图象关于轴对称，不是对称图形C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称五、三角函数对称性问题的2种求解方法1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；2、公式法：（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·陕西·模拟预测）已知函数，则的图像（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于中心对称 D．关于中心对称【典例3】（23-24高三下·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件六、由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（

）A． B． C．0 D．【典例2】（23-24高三下·甘肃酒泉·三模）函数，其部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．七、三角函数图象的变换函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。【典例1】（23-24高三下·广东揭阳·二模）把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·浙江·月考）（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度八、三角函数图象与性质综合角度一、图象性质的综合应用方法总结：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·三模）已知函数，则下列说法中不正确的是（

）A．的最小正周期为B．的最大值为C．在区间上单调递增D．【典例2】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知（，，）的部分图象如图所示，则（

）A． B．的最小正周期为C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为角度二：三角函数的零点（方程的根）的问题方法总结：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.【典例1】（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·江苏·月考）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．9 B．10 C．11 D．12易错点1忽视正、余弦函数的有界性点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．【典例1】（2023高三上·全国·专题练习）函数的最大值为

．【典例2】（23-24高三上·上海浦东新·月考）函数的值域为.易错点2三角函数单调性判断错误点拨：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相