专题03 简单几何体（4考点串讲+6热考题型）（高教版2021·基础模块下册）（解析版）

专题03简单几何体考点串讲考点串讲考点一、直观图的画法1、空间几何体的直观图的绘制方法：（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使”(或）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质：（1）平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；（2）共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；（3）平行于，轴的长度不变．考点二、多面体（棱柱、棱锥）1、棱柱（1）棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的分类按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.（3）棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形．2、棱锥（1）棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（2）棱锥的分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.（3）正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．考点三、旋转体（圆柱、圆柱、球）1、圆柱定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴；高：在轴上的边(或它的长度)；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边.2、圆锥定义以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边3、球球面及球的定义球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.图示及相关概念球心：形成球面的半圆的圆心；半径：连接球面上一点和球心的线段；直径：连接球面上两点且通过球心的线段；大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.考点四、简单几何体的表面积和体积（1）柱体、锥体的表面积直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch，S正棱锥侧＝eq\f(1,2)Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)．圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl(其中r为底面半径，l为母线长)．柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．（2）柱体、锥体的体积棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh，V棱锥＝eq\f(1,3)Sh(其中S为底面积，h为高)．圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h(其中r为底面圆的半径，h为高)．（3）球的表面积与体积半径为R的球的表面积：S球＝4πR2．半径为R的球的体积：V球＝eq\f(4,3)πR3．（4）球的截面的性质球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：.热考题型热考题型类型一、直观图的画法【例1】如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,，则原图形的面积是（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】平行四边形中，，所以平行四边形的面积为，所以原平面图形的面积是：.故选：B.【变式1】如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．16cmB．cmC．8cm D．cm【答案】A【解析】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，又，，，所以，周长为.故选：A．【变式2】如图，是水平放置的的斜二测画法的直观图，其中，则是（）A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】将其还原成原图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.类型二、棱柱、棱锥的表面积【例1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意侧棱长为，所以表面积为：．故选：A.【例2】棱长都是3的正四面体的表面积为（

）A． B． C． D．54【答案】A【解析】因为正四面体的棱长为3，所以正四面体的表面积为.故选：A.【变式1】已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【答案】48【解析】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为.故答案为：48.【变式2】已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】D【解析】正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高，所以正四棱锥的侧面积.故选：D.类型三、棱柱、棱锥的体积【例1】已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为2，则该三棱柱的体积为___________.【答案】6【解析】由题设，所以该三棱柱的体积为.故答案为：6.【例2】如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积，三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.故选：A.【变式1】正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为6，则此三棱柱的体积为____________.【答案】【解析】作出图示如下图所示：因为，所以，所以此三棱柱的体积为.故答案为：.【变式2】已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】如图，正四棱锥，，，则，则该正四棱锥的体积.故选：A.类型四、圆柱、圆锥的表面积【例1】用一个宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（

）平方厘米.A．5 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】用一个宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，所以此圆柱的侧面积为矩形的面积平方厘米.故选：B.【例2】已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形可知：圆锥的底面圆半径，母线长，所以圆锥的表面积为.故选：D.【变式1】已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（

）A． B．200 C． D．【答案】C【解析】由题意，圆柱的轴截面是面积为100的正方形，可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10，所以侧面积为.故选：C.【变式2】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.故选：C.类型五、圆柱、圆锥的体积【例1】已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为，则圆柱的体积为______．【答案】【解析】依题意，圆柱的底面圆半径，有，解得，则圆柱的高，所以圆柱的体积.故答案为：.【例2】已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，圆锥的底面半径，圆锥的高，所以圆锥的体积.故选：A.【变式1】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体为圆柱，圆柱的高为，底面半径为，所以该圆柱的体积为.故选：C.【变式2】一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，由圆心角的计算公式，即，解得，所以高，体积.故答案为：.类型六、球的表面积和体积【例1】长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.【答案】【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为其外接球的直径，则，故该球的表面积为.故答案为：.【例2】表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为____________