模型10、水平面圆周运动模型 （解析版）

模型10、水平面圆周运动模型【模型特点】由物体的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力供应向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）【模型解题】1、解决圆周运动问题(动力学分析)的主要步骤

(1)审清题意，确定争辩对象;明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环.

(2)分析物体的运动状况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等;分析物体的受力状况，画出受力示意图，确定向心力的来源;

(4)依据牛顿运动定律及向心力公式列方程.用极限法分析圆周运动的临界问题

（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.

（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态，

（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态.【模型训练】【例1】如图所示，水平圆盘半径为R，可视为质点的物块A在圆盘边缘处，与圆盘一起围绕过圆心O的竖直轴匀速转动。某时刻在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v沿OA方向水平抛出。若小球直接击中物块A，重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（）A．物块A处于平衡状态B．物块A所受摩擦力恒定C．小球抛出时距离O点的高度肯定为D．圆盘转动角速度大小肯定为【答案】C【详解】AB．物块A与圆盘一起围绕过圆心O的竖直轴匀速转动，指向圆心的静摩擦力供应向心力，处于非平衡状态，A错误，B错误；C．小球做平抛运动，小球在水平方向上做匀速直线运动，则平抛运动的时间t=竖直方向做自由落体运动，则小球抛出时距O的高度C正确；D．依据ωt=2nπ得圆盘转动的角速度ω=（n=1、2、3…）D错误。故选C。变式1.1（多选）半径R＝1m的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O点的正上方将一个可视为质点的小球以4m/s的速度水平抛出，半径OA方向恰好与该初速度的方向相同，如图所示。若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，则圆盘转动的角速度大小不行能是（）A．2πrad/s B．4πrad/s C．6πrad/s D．8πrad/s【答案】ABC【详解】小球平抛运动的时间小球平抛运动的时间和圆盘转动的时间相等，则有解得当时，，当时，，随着增大，增大，故ABC不行能，D可能。故选ABC。变式1.2（多选）半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA恰好与v的方向相同，如图所示，若要使小球与圆盘只碰一次，且落在A，重力加速度为g，则圆盘转动的角速度可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则运动的时间为小球与圆盘只碰一次，且落在A点，满足联立解得CD正确。故选CD。【例2】如图所示，甲、乙、丙三个物块放在水平转盘上，随转盘一起绕中心轴做匀速圆周运动，甲、乙、丙的质量分别为、、，离中心轴的距离分别为、、，与转盘的动摩擦因数分别为0.4、0.2、0.2，当转盘转动的角速度增大，最先滑动的物块是（）A．甲物块 B．乙物块 C．丙物块 D．乙物块和丙物块【答案】C【详解】当物块刚好要滑动时，由得则因此最先滑动的是丙物块。故选C。变式2.1如图所示，水平放置的圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，质量分别为、的物块、（均视为质点）放置在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动的半径分别为、，与圆盘间的动摩擦因数分别为、，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使转盘转速渐渐缓慢增大，则比先滑动的条件肯定是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】A．由牛顿其次定律与圆周运动规律：当刚要相对圆盘滑动时当刚要相对圆盘滑动时可得，两物块相对圆盘开头滑动的临界角速度与质量、无关，A错误；BCD．当比先滑动时，则有即整理可得故BC错误，D正确。故选D。变式2.2水平转台两个质量相等的物体A和B，A、B与转轴距离分别为、，当转盘和物块绕竖直转轴匀速转动时，物块与转盘始终保持相对静止（）A．A线速度比B线速度大 B．A角速度比B角速度大C．当转速增大时，A比B先滑动 D．当转速增大时，B比A先滑动【答案】D【详解】AB．两物块随转盘一起转动，角速度相等，由可知，因B的转动半径大，则B的线速度比A的线速度大，故AB均错误；CD．当物块随转盘转动即将相对滑动时，由最大静摩擦力供应向心力，有可知临界角速度为因B的转动半径大，则B物体的临界角速度较小，即B比A先滑动，故C错误，D正确。故选D。【例3】如图所示，质量均为m的a、b两小球用不行伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摇摆，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摇摆时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．a、b两小球都是所受合外力充当向心力B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tanθC．b小球受到的绳子拉力为D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为【答案】C【详解】A．分析可知，a小球在最低点时由重力与绳子拉力的合力供应向心力，而在下落或上升过程中均由重力沿着与绳中拉力方向相反的分力和绳中拉力的合力供应向心力，而b小球运动过程中，向心力由重力与绳中拉力的合力供应，故A错误；B．将小球看成质点，则a小球做圆周运动的半径为绳长，b小球做圆周运动的半径为，则可得故B错误；C．对b小球受力分析如图所示由此可得故C正确；D．对a小球在最高点受力分析如图所示当小球运动至最高点时速度为零，沿着绳子的方向合力为零，此时有故D错误。故选C。变式3.1如图所示，质量为m的小球用不行伸长的轻绳悬于B点，现使小球在水平面内做以O为圆心的匀速圆周运动，若小球稳定转动时绳子与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，则（

）A．小球的加速度保持不变B．小球受到的合外力为零C．小球做匀速圆周运动需要的向心力为D．只要圆锥摆的高度OB相同，小球运动的周期时间肯定相等【答案】D【详解】A．小球的加速度大小保持不变，但是方向不断变化，选项A错误；B．小球做匀速圆周运动，则受到的合外力不为零，选项B错误；C．小球做匀速圆周运动需要的向心力为，选项C错误；D．依据可得即只要圆锥摆的高度OB相同，小球运动的周期时间肯定相等，选项D正确。故选D。变式3.2水平面上固定一半球形的玻璃器皿，器皿的轴呈竖直状态，在距离轴心不同的位置，有两个质量相同的光滑小球a、b做匀速圆周运动，轨道平面均水平。则有关各物理量的关系，下列说法正确的是（）A．b对玻璃器皿的压力大 B．b做匀速圆周运动的周期大C．b做匀速圆周运动的角速度大 D．两球的向心加速度相等【答案】B【详解】A.小球在半球形容器内做匀速圆周运动，圆心在水平面内，受到自身重力mg和内壁的弹力N，合力方向指向半球形的球心。受力如图，有几何关系可知设球体半径为R，则圆周运动的半径为Rsinθ，向心力得到角速度向心加速度a=gtanθ小球a的弹力和竖直方向夹角θ大，所以a对内壁的压力大，故A错误；C.由上分析得a的角速度大，故C错误；B.周期则a的周期小，故B正确；D.由上分析得a的向心加速度大，故D错误。故选B。【例4】如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为L、劲度系数为k的轻弹簧一端固定于轴O上，另一端连接质量为m的小物块A。当圆盘静止时，把弹簧拉长后将物块放在圆盘上，使物块能保持静止的弹簧的最大长度为，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，转动过程中弹簧伸长始终在弹性限度内，则：（1）若开头时弹簧处于原长L时，当圆盘的角速度为多大时，物块A将开头滑动？（2）若物块与圆盘一起匀速转动的周期，物块恰好不受摩擦力作用，此时弹簧的伸长量x2为多大？（3）若弹簧的长度时，物块与圆盘能一起匀速转动，试求转动角速度的可能值。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）开头时物块处于静止状态，依据平衡条件圆盘开头转动时，A所受静摩擦力供应向心力，若滑块不滑动，则有当最大静摩擦力供应向心力时，物块开头滑动，则有联立解得圆盘的角速度为（2）设弹簧伸长x2，则有联立解得（3）当角速度最小时，摩擦力的方向与弹簧的拉力方向相反，则解得当角速度最大时，摩擦力的方向与弹簧的弹力的方向相同，则解得所以角速度需要满足变式4.1如图所示，圆盘可绕过圆心O的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，物体P放在圆盘上，一轻质弹簧一端连接物体P，另一端固定在竖直轴上。已知物体的质量，弹簧的自然长度，劲度系数，物体与圆盘表面的动摩擦因数，P可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。当圆盘以角速度转动时，P与圆盘相对静止，弹簧恰处于原长位置。求：（1）此时P对圆盘的作用力都有哪些，各为多大？（2）保持圆盘角速度不变，为使P与圆盘保持相对静止，弹簧长度的取值范围多大？（假设弹簧均未超出弹性限度）【答案】（1）P对圆盘的压力大小为，对圆盘的静摩擦力大小为；（2）【详解】（1）当圆盘以角速度转动时，P与圆盘相对静止，弹簧恰处于原长位置，P受力如图所示竖直方向依据受力平衡可得水平方向依据牛顿其次定律可得依据牛顿第三定律可知，P对圆盘的压力大小为，对圆盘的静摩擦力大小为。（2）当弹簧处于压缩状态，P受到指向圆心的最大静摩擦力时，设此时弹簧的压缩量为，则有联立解得对应弹簧的长度为当弹簧处于伸长状态，P受到背向圆心的最大静摩擦力时，设此时弹簧的伸长量为，则有联立解得对应弹簧的长度为为使P与圆盘保持相对静止，弹簧长度的取值范围为变式4.2如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数的弹簧，弹簧的一端固定于轴0上，另一端连接质量的小物块A，物块与盘间的动摩擦因数，开头时弹簧未发生形变，长度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。则：（1）当圆盘的转动周期时，物块在初始位置与圆盘一起匀速转动，求物块受到的向心力大小；（2）圆盘的角速度多大时，物块A将开头滑动？（3）当圆盘角速度缓慢地增加到时，弹簧的伸长量是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘）【答案】（1）0.5N；（2）；（3）【详解】（1）有向心力公式可得解得（2）设转盘的角速度为时，物块A开头滑动，则可得解得（3）设此时弹簧伸长量为，可得解得【例5】如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽视不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。（1）缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？（2）若餐桌的半径，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？【答案】（1）2.5m；（2）2.1m【详解】（1）由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应半径最小，设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度为a，则解得物体在餐桌上滑动的初速度为可得解得因此由几何关系可得（2）设餐桌上滑动的末速度为，由题意可得由于餐桌半径为所以可得物体做平抛运动时间为t，则解得变式5.1现在的餐桌多用团聚桌，如图餐桌上放一半径为r=1.2m可绕中心轴转动的电动圆盘，近似认为餐桌与圆盘在同一水平面内，忽视两者之间的间隙。将m=0.6kg某餐盘放置在圆盘边缘，该餐盘与圆盘的动摩擦因数为μ=0.75，设餐盘与圆盘之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度g取10m/s2，求：（1）当圆盘以n=2r/min的转速缓慢转动时，物体受到的静摩擦力大小（）；（2）缓慢增大圆盘的转速，物体从圆盘上刚好甩出时圆盘的角速度。【答案】（1）；（2）2.5rad/s【详解】（1）依题意，当圆盘以的转速缓慢转动时，可得则物体受到的静摩擦力大小（2）缓慢增大圆盘的转速，物体从圆盘上刚好甩出时，有可得此时圆盘的角速度变式5.2如图所示，某餐厅的餐桌接受的是电动餐桌，其中心是一个在电动机带动下可以匀速转动、半径为R的圆盘，圆盘与餐桌在同一水平面上，放置在圆盘边缘的小瓷碟与圆盘间的动摩擦因数为0.5，与餐桌间的动摩擦因数为0.25，餐桌高也为R．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，瓷碟的大小不计，重力加速度为g.(1)为使瓷碟不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少?(2)缓慢增大圆盘的角速度.瓷碟从圆盘上甩出，为使瓷碟不滑落到地面，餐桌半径的最小值为多大?(3)若餐桌半径，则在圆盘角速度缓慢增大时，瓷碟从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到圆盘中心的水平距离L为多少?【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)为使瓷碟不从圆盘上滑出，向心力不能大于最大静摩擦力，即：解得：；(2)瓷碟从圆盘上滑出时的速：度瓷碟滑到餐桌边缘速度减小到0时，恰不滑落到地面依据匀变速直线运动规律：，其中可得滑过的位移：如图所示：餐桌最小半径；(3)若餐桌半径，由几何关系可得瓷碟在餐桌上滑行的距离依据匀变速直线运动规律：可得瓷碟离开桌边的速度：依据平抛运动规律：，可知瓷碟离开桌边后的水平位移：如图所示：由几何关系可得，落地点到圆盘中心的水平距离：．点睛：本题主要考查了圆周运