三国杀中的数学问题分析

3/30“三国杀”中的数学问题分析MathematicalAnalysesoftheGame”LegendsoftheThreeKingdoms”学校：广州市第六中学成员：杨卓潇伍思航李思聪指导老师：璩斌

摘要“三国杀”游戏是当前广泛流行于大中小学生中的桌面益智游戏，游戏开始时玩家选择充当何种武将是游戏胜负的关键。在本研究中，我们根据组合数学及概率理论，对该游戏中一些常用武将使用技能的成功概率进行了分析。研究发现，对于“周泰”，第四次使用“不屈”技能时的存活概率最大，存活次数的数学期望为4.52。“甄姬”在回合内额外得到手牌数的数学期望为0.98。“陆逊“在未装备“诸葛连弩”和装备“诸葛连弩”时得到的手牌数的数学期望分别为0.73和1.47。对于“张角”，第一回合内“雷击”技能成功的概率为0.27。根据这些结果，玩家可以科学地选择自己扮演的武将。另外，游戏生产商也可以根据我们的计算结果来调整武将技能，改进游戏。AbstractThecardgame"LegendsoftheThreeKingdoms"iscurrentlyverypopularinthestudentsfromcolleges,middleandprimaryschools.Actually,theplayer’schoiceforageneralatthebeginningisthekeystepinthegame.Inthisstudy,weusedcombinatoricsandprobabilitytheorytoanalysetheprobabilitiesofsuccesswhenseveralpopulargeneralsperformtheirspecialskillsinthegame.Weshowedthat,asforthegeneral"ZhouTai",ifheusesthe"NeverSurrender"skill,themaximumsurvivalprobabilityoccursinthefourthroundandthemathematicalexpectationofsurvivaltimesis4.52.Asfor"ZhenJi",themathematicalexpectationtogetextracardsinaroundis0.98respectively.Asfor"Luxun",themathematicalexpectationofgettingextracardsis1.47with“zhugeliannu”,whileit’s0.73without“zhugeliannu”.Asfor"Zhangjiao",theprobabilityofthesuccesswhenheusesthe"Thunder"skillinthefirstroundis0.27.Ourresultsareexpectedtobebeneficialtothegameplayersinchoosinggeneralsscientifically.Inaddition,thegamedeveloperscanadjustthegenerals’skillsaccordingtoourcalculation.

目录TOC\o"1-3"\h\u封面 1摘要 2Abstract 2目录 3引言 4“三国杀”游戏规则 5概率分析 7卡牌数量介绍 7周泰 8张角 12甄姬 14陆逊 18总结与感悟 26参考文献 27附录 28

引言“三国杀”由中国传媒大学动画学院04级游戏专业学生设计，并于2009年6月底移植至网游平台，是一款国内最流行的桌上游戏。“三国杀”游戏牌共分为三大类：基本牌、锦囊牌和装备牌。每类牌包含了多种卡牌，每种卡牌具有独特的用处。在游戏中，玩家扮演一名三国时期的武将，采用回合制的出牌顺序，由主公开始依次行动。每个武将在自己的回合内需要完成摸牌、出牌和弃牌的过程。由于各武将具有不同的技能，玩家须经过一轮一轮的谋略和动作，合纵连横，争取最终的胜利，所以在游戏中玩家能得到充分的享受。目前，“三国杀”在中学生中广受欢迎。以我校为例，约有三成男同学喜欢玩该游戏，几乎成为了紧张学习生活之余放松心情的首选。在本研究中，我们探讨了“三国杀”一些常用武将的概率问题。通过揭示游戏开发者自觉或不自觉地隐藏于该游戏中的“潜规则”，我们对武将的技能有了更加深入的了解，并能应用计算结果，得心应手地使用手中的卡牌。

“三国杀”游戏规则游戏模式“三国杀”游戏模式包括1V1（单挑），3V3（3人组一队，两队对战），8人局（8人游戏）等。下面以1V1与8人局模式为主，介绍“三国杀”游戏通则。挑选角色牌“三国杀”有61张角色牌，每个角色为一个三国人物，并具有角色技能。在8人局中，由主公玩家先挑选角色牌，如曹操、刘备、孙权，且只能选择一个角色。剩余7人为非主公玩家，每人可拿到3张角色牌，从中挑选择一个角色扮演。在8人局中由于玩家较多，所以每张牌都会有攻击目标。在1V1模式中，两名玩家选好武将后，每人可拿到3张牌，抽签决定谁先出牌。准备开始每位玩家分发一张体力牌，初始的体力值等于武将牌上显示的体力上限。以后每受一点伤害，扣减一点体力。每出一张【桃】，回复一点体力。游戏开始时，每个玩家摸牌4张（在1V1中只能摸3张牌），其后每回合每人摸牌2张。游戏牌详解游戏牌包括基本牌、锦囊牌和装备牌。下面给出与本论文中的人物密切相关的游戏牌介绍，其余见附录。基本牌【杀】：出牌阶段使用，攻击一名在攻击距离内的玩家。若攻击成功，被攻击玩家减1点体力。未装备武器时，玩家杀的攻击距离为1；装备武器后，攻击距离为武器的攻击距离。一名玩家一回合只能用一次【杀】。【闪】：当某玩家用【杀】或【万箭齐发】攻击时，被攻击者可出【闪】，闪避一次攻击。锦囊牌【无中生有】：出牌阶段使用，从牌堆摸两张牌。【无懈可击】：取消一张锦囊牌对某一位玩家的作用。判定：指从牌堆顶摸一张牌，这张牌的花色和数字（红桃、黑桃等）即为判定结果。从牌堆顶翻开的这张牌叫做判定牌。一张牌被作为判定牌使用后，如无特殊技能声明，则必须弃到弃牌堆。游戏中很多时候都需要判定。装备牌标有"装备"字样的牌，装备牌使用后放在自己面前。每名玩家只能同时装备一种装备。如果装备新的武器必须将原有武器弃掉。例如：不能同时装备【诸葛连驽】和【方天画戟】。装备带有装备技能。【诸葛连驽】：装备后，出牌阶段可以出任意张【杀】。攻击距离为1。死亡条件武将每被造成一点伤害扣一滴体力，当扣光了体力，武将就死亡，退出游戏。但是如果玩家选择的武将是周泰，若没体力时，使用“不屈”，可以一张牌，且不死。在后续轮次中周泰若继续遭到攻击，没体力时仍可使用“不屈”。但如果摸到与前轮次所摸到的牌点数有一样的，周泰即死。试举一例：周泰没体力后，第一次使用“不屈”，摸到一张红桃6，继续玩。第二次使用“不屈”，摸到一张梅花2，继续玩。若第三次摸到一张方片（梅花、黑桃）6或者2，则死去。除非此时有人给周泰一张【桃】，周泰可把那张重复点数的牌拿走，则可继续玩。概率分析卡牌数量介绍标准包牌型“三国杀”一共有108张，如表1所示。表1：”三国杀”卡牌黑杀21基本牌红杀953张闪15桃8过河拆桥6乐不思蜀3顺手牵羊5借刀杀人2锦囊牌无中生有4五谷丰登236张无懈可击4闪电2南蛮入侵3桃园结义1决斗3万箭齐发1麒麟弓1寒冰剑1方天画戟1诸葛连弩2贯石斧1红+11装备牌青龙偃月刀1黑+1219张丈八蛇矛1红-12青钢剑1黑-11雌雄双股剑1八卦阵2仁王盾1标准版“三国杀”中共有108张牌，分为4种花色，每种27张。其中黑牌（黑桃和梅花）54张、红牌（红桃和方片）54张。数字从1-13，每个数字有8张牌。另外还有4张扩展牌，分别为【寒冰剑】黑桃2、【仁王盾】梅花2、【无懈可击】方片Q、【闪电】红桃Q。

由于“三国杀”的数学问题主要体现在武将的技能上面，所以我们将对一些依靠“概率”的武将进行数学分析。周泰图1：周泰武将技能：【不屈】——当周泰的体力值被扣减到0或更低时，每当扣减1点体力后，可以从牌堆亮出一张牌置于武将牌上。若此牌的点数与武将牌上已有的任何一张牌都不同，周泰不会死亡。举例：周泰濒死时候发动【不屈】技能。假设摸出一张点数为3，此时周泰只有一张“不屈牌”，点数不与任何重复，第1次不死。若后续再被杀一次，第2次发动技能从牌堆顶摸出一张牌，假设为5，不与3重复，则第2次不死。若第3次摸出点数为3或5，与第1次的3或第二次的5重复，周泰死亡。为了计算方便，此处忽略4张扩展牌的影响，即每种点数有8张。周泰存活回合数的期望值计算如下:A：第n次存活下来的概率计算方法第1第1次存活概率：第1次一定存活第2次存活概率：即1减去从剩下107张摸到与第1,次牌相同（7张）的概率第2次存活概率：即1减去从剩下107张摸到与第1即1减去从剩下106张摸到与第1、第3次存活概率：2次牌相同（7+7即1减去从剩下106张摸到与第1、第3次存活概率：…………第n次存活概率：第n次存活概率：第14次存活概率：第14次存活概率：B：存活次数计算方法设存活次数为n,n=1,2,…13,则:即第即第1次存活概率*第2次死的概率（1-第2次存活概率）即第1次存活概率*第2次存活概率*第3次死的概率即第1次存活概率*第2次存活概率*第3次死的概率,1≤k≤13,k∈N+下面是PASCAL算法程序，及得出的相关结果:programzhangjiao;vark,n,m:longint;i,j:extended;s:extended;beginassign(output,'output.txt');//输出txt文本文件rewrite(output);i:=1;//分母j:=1;//分子k:=0;//计数变量s:=0;//期望值whilek<13dobegininc(k);forn:=1tok-1dobegini:=i*(108-n);j:=j*(108-n-7*n);end;i:=i*(108-k);j:=j*(7*k);writeln(k,'',j:0:0,'/',i:0:0,'=',j/i:0:5);//输出回合数、存活概率s:=s+j/i*k;//此回合数期望值i:=1;//重置分母j:=1;//重置分子end;writeln(‘EX=’,s:0:5);//输出期望值close(output);//关闭文本文件End.输出结果：回合分子/分母=17/107=0.0654221400/11342=0.123443193200/1190910=0.16223421638400/123854640=0.1747152055648000/12757027920=0.161146167740876800/1301216847840=0.12891711741861376000/131422901631840=0.089348697802047488000/13142290163184000=0.05310934541201350656000/1301086726155216000=0.02655101381648054026240000/127506499163211170000=0.010841142554760064008192000/12368130418831483000000=0.0034412928467492305633280000/1187340520207822400000000=0.0007813132638213186519040000/1187340520207822400000000=0.00011EX=4.52312存活次数n的分布如表2所示。表2：存活次数n的分布n12345678p0.065420.123440.162230.174710.161140.128910.089340.05310n910111213p0.026550.010840.003440.000780.00011由此得存活回合数的期望值为:图2：周泰存活次数分布图由图2我们可以直观地看出，周泰存活到第4次的概率最大，在这之前概率上升，之后概率下降，类似于波松分布。

张角图3:张角武将技能：【雷击】——每当张角打出一张【闪】时，可令一名其他角色进行判定，若判定结果为黑桃，张角对该角色造成2点雷电伤害。【鬼道】——在一名角色的判定牌生效前，张角可以打出一张黑色牌替换之。【黄天】——主公技，群雄角色可以在他们各自的出牌阶段交给张角一张【闪】或【闪电】，每阶段限一次。举例：如果张角手上有【闪】，当别人杀他一刀时，它可以打出【闪】，并指定对方进行一次判定。如果判定结果不为黑桃，张角手上没有黑桃，则【雷击】失败；如果张角手上有黑桃，那么张角可以发动【鬼道】技能替换判定牌，那么雷击【成功】；如果打出【闪】后判定结果直接为黑桃，张角【雷击】依然成功。现主要讨论张角【雷击】技能成功在新版1V1（上手三张牌）中对方第一回合对张角出【杀】，张角反用【雷击】对对方造成伤害的概率。事件A：张角有【闪】无黑桃张角上手3张牌中，先从15张【闪】中选出一张，则共有选法为，剩下两张牌应在除去黑桃和手上一张【闪】的108-28-1=79张牌中选两张，共有种选法。总的基本事件数中共有种。打出【闪】后，从牌堆顶摸出一张判定牌，为黑桃的概率约。所以事件B：手牌有【闪】有黑桃，此时一定可以雷击成功。先从15张【闪】中选出一张作为手牌,有种选法，再从28张黑桃中选出一张作为手牌，有种选法，最后从106张剩余的牌中选出一张作为手牌，有种选法。总的基本事件数中共有种。所以此时因而,张角被杀后发动技能【雷击】成功的概率为

甄姬图4:甄姬武将技能：【倾国】甄姬可以将一张黑色牌当【闪】打出。【洛神】回合开始阶段，甄姬可以进行判定。若为黑色牌，甄姬获得它。若为红色牌，停止判定。举例:在回合开始时，甄姬发动【洛神】，第一张判定牌为黑色，甄姬获得它；第二张判定牌为黑色，甄姬获得它；第三张判定牌为红色，甄姬就不能获得了，并停止判定。从上面可以看出，甄姬具有“爆发”属性，根据【洛神】可以获得大量黑牌。可到底能获得多少黑牌呢？获得这些牌的概率又是多少？知道了获得牌数的概率，我们就可以算出甄姬摸牌数的期望值了。玩家可以发现，甄姬有一个缺点，就是很容易“洛到桃”（即洛神最后一张判定牌为红色的【桃】），这样的概率又是多少？综上所述，我们对甄姬会对其两个有研究价值的事件进行数学分析。事件一：甄姬用技能【洛神】得到的牌数的概率事件二：甄姬用技能【洛神】最后一张判定牌是“桃”的概率事件一：设甄姬通过【洛神】可以得到k张牌，则应满足的条件是前k张牌为黑牌，第k+1张牌为红牌。因为总的黑牌数为54张，红牌数为54张，所以对于前k张牌，共有种排列方式，对于第k+1张牌，则有种排列方式。而总基本事件数共有个。所以,甄姬洛神得到k张牌的概率为：，得到的牌数下面是PASCAL算法程序，及得出的相关结果:programzhenji;vark:longint;x,y,p,w:extended;functionpailie(a,b:longint):extended;//计算排列vari:longint;g:extended;beging:=1;fori:=bdowntob-a+1dog:=g*i;pailie:=g;end;beginassign(output,'output.txt');//输出为文本文件rewrite(output);w:=0;fork:=1to17do//洛神发动16次以后概率近似为0beginx:=pailie(k,54)*pailie(1,54);//分子y:=pailie(k+1,108);//分母p:=x/y;w:=w+k*p;//计算期望值writeln('P',k,'=',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p:0:5);writeln;end;writeln(‘Ew=’,W:0:5);//输出close(output);end.P1=2916/11556=0.25234P2=154548/1224936=0.12617P3=8036496/128618280=0.06248P4=4098612960.03064P5=20493064800/1377759015360=0.01487P6=1004160175200/140531419566720=0.00715P7=48199688409600/14193673376238720=0.00340P8=2265385355251200/1419367337623872000=0.00160P9=104207726341555200/140517366424763330000=0.00074P10=4689347685369984000/13770701909626806000000=0.00034P11=206331298156279300000/1335758085233800200000000=0.00015P12=8872245820720009700000/128232776182444820000000000=0.00007P13=372634324470240410000000/12182113737332258000000000000=0.00003P14=15278007303279857000000000/1145118691309232200000000000000=0.00001P15=611120292131194270000000000/106496038291758600000000000000000=0.00001P16=23833691393116577000000000000/9797635522841791000000000000000000=0.00000P17=905680272938429910000000000000/891584832578602980000000000000000000=0.00000Ew=0.98181甄姬【洛神】得到手牌数w的分布（部分）见表3和图5。表3:甄姬【洛神】得到手牌数的分布w123456789P0.252340.126170.062480.030640.014870.007150.003400.001600.00074w1011121314151617P0.000340.000150.000070.000030.000010.000010.000000.00000图5:甄姬【洛神】得到手牌数的分布从图5可以看出，甄姬在第17次以及以后的判定后概率已经非常趋向于0了，这里为了方便，就取前17次的判定结果来计算甄姬【洛神】得到手牌数的数学期望。通过以上程序可以看出，甄姬在回合开始内通过【洛神】得到的手牌数期望为Ew=0.98181（张）。事件二：设甄姬通过【洛神】可以得到k张牌，对于前k张牌，共有种排列方式，对于第k+1张牌，因为总共有8张【桃】，所以有种排列方式。而总基本事件数共有个。所以甄姬洛神得到k张牌且洛神结束时判定结果为【桃】的概率为：

陆逊图6:陆逊武将技能:【谦逊】——锁定技，陆逊不能成为【顺手牵羊】和【乐不思蜀】的目标。【连营】——每当陆逊失去最后的手牌时，可立即摸一张牌。举例：比如陆逊现在手上有一张【过河拆桥】，则他可以对场上一名角色使用。他这时失去了最后一张手牌，于是发动【连营】，从牌堆里再摸一张牌。如果摸到的是【乐不思蜀】，那么它可以继续使用，又失去最后一张手牌，发动【连营】。如果这次摸到的是【闪】，无法使用，则连营结束。此处我们讨论【连营】技能:他一开始有一张牌，并开始出牌，使用【连营】技能，并且通过【连营】次数为K。在标准版卡包里面，对于使用【无中生有】，陆逊可以摸到3张牌（【连营】一张，【无中生有】牌技两张），所以因为摸了额外的三张牌，陆逊已经很难再发动【连营】技能，所以他使用【无中生有】时即可视为【连营】结束。而对于陆逊，【诸葛连弩】无非是一个神器，因为可以无限输出【杀】。因此，我们这里就分两种情况讨论陆逊【连营】时的平均摸牌数（摸牌数的数学期望）:事件A:陆逊没有装备【诸葛连弩】事件B：陆逊装备了【诸葛连弩】事件A：1.在k次【连营】中，陆逊既摸不到【无中生有】，也摸不到【诸葛连弩】，同时自身未装备【诸葛连弩】因为陆逊的前k-1张牌是可以用的，而在这k-1张牌中，只有除【诸葛连弩】以外的装备牌17张加上除去【无中生有】，【无懈可击】的28张锦囊牌。对于最后一张牌，就会摸到53张基本牌和4张【无懈可击】。所以【连营】获得的前k张牌中，共有种排列方式，最后一张牌有种排列方式，总的排列方式就有种。摸到的牌数为k这种情况下，，摸到的牌数为k

2.在k次连营中，陆逊摸到【无中生有】，但摸不到【诸葛连弩】，同时自身未装备【诸葛连弩】。因为在前k张牌中，陆逊只有除【诸葛连弩】以外的装备牌17张加上除去【无中生有】，【无懈可击】的28张锦囊牌。对于最后一张牌，就会摸到【无中生有】,所以与“1”同理，由于最后一次的【无中生有】能多获得2张牌，此时由于最后一次的【无中生有】能多获得2张牌，此时共得到k+2张牌所以，当陆逊没有装备【诸葛连弩】时，平均摸牌数为事件B：3.在k次连营中，陆逊摸不到【无中生有】，但自身装备【诸葛连弩】因为在前k张牌中，只有除【诸葛连弩】以外的非武器装备牌8张、除去【无中生有】，【无懈可击】以及【借刀杀人】的26张锦囊牌和30张【杀】可以用。最后一张牌则应该是非【诸葛连弩】的武器牌8张，【无懈可击】4张，【借刀杀人】2张以及非【杀】的基本牌23张。所以与“1”同理，此时能摸k此时能摸k张牌4.在k张牌中，陆逊摸到【无中生有】，同时自身装备【诸葛连弩】因为在前k张牌中，只有除【诸葛连弩】以外的非武器装备牌8张、除去【无中生有】，【无懈可击】以及【借刀杀人】的26张锦囊牌和30张【杀】可以用。最后一张牌则应该是【无中生有】。所以同理，由于最后一次的【无中生有】能多获得2张牌，所以其中共得到k+2张牌。由于最后一次的【无中生有】能多获得2张牌，所以所以，陆逊在装备【诸葛连弩】时，平均摸牌数为下面是PASCAL算法程序,及计算的k从1到10，WA（k）WB（k）的值programluxun;varj,k:longint;WA,WB,SUMWA,SUMWB,x,y,n,m,w,e:extended;p1,p2,p3,p4,p:extended;functionpailie(a,b:longint):extended;//计算排列A（a,b）=b*(b-1)*...(b-a+1);vari:longint;g:extended;beging:=1;fori:=bdowntob-a+1dog:=g*i;pailie:=g;end;beginassign(output,'output.txt');//将运行结果输出为txt文本文件rewrite(output);e:=0;//期望值变量初始值为0WA:=0;WB:=0;SUMWA:=0;SUMWB:=0;fork:=1to10dobeginwriteln('K=',k);x:=pailie(k,45);//分子y:=pailie(k+1,108);//分母p1:=57*(x/y);//P1的值writeln('P1=57',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p1:0:5);x:=pailie(k,45);//计算P2y:=pailie(k+1,108);p2:=4*(x/y);writeln('P2=4',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p2:0:5);x:=pailie(k,64);//计算P3y:=pailie(k+1,107);p3:=37*(x/y);writeln('P3=37',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p3:0:5);x:=pailie(k,64);//计算P4y:=pailie(k+1,107);p4:=4*(x/y);writeln('P4=37',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p4:0:5);p:=p1+p2+p3+p4;writeln('p=',p:0:5);WA:=k*p1+(k+2)*p2;//计算W（A）WB:=k*p3+(k+2)*p4;//计算W（B）writeln('WA',k,'=',wA:0:5);writeln('WB',k,'=',wB:0:5);SUMWA:=SUMWA+WA;//计算W（A）总和SUMWB:=SUMWB+WB;//计算W（B）总和writeln;//空两行，为了输出美观writeln;end;writeln('SUMWA',k,'=',SUMWA:0:5);writeln('SUMWB',k,'=',SUMWB:0:5);close(output);//关文件End.下面是输出内容：K=1P1=5745/11556=0.22196P2=445/11556=0.01558P3=3764/11342=0.20878P4=3764/11342=0.02257p=0.46889WA1=0.26869WB1=0.27649K=2P1=571980/1224936=0.09214P2=41980/1224936=0.00647P3=374032/1190910=0.12527P4=374032/1190910=0.01354p=0.23741WA2=0.21013WB2=0.30471K=3P1=5785140/128618280=0.03773P2=485140/128618280=0.00265P3=37249984/123854640=0.07468P4=37249984/123854640=0.00807p=0.12313WA3=0.12643WB3=0.26441K=4P1=5735758800.01524P2=435758800.00107P3=3715249024/12757027920=0.04423P4=3715249024/12757027920=0.00478p=0.06532WA4=0.06737WB4=0.20560K=5P1=57146611080/1377759015360=0.00607P2=4146611080/1377759015360=0.00043P3=37914941440/1301216847840=0.02602P4=37914941440/1301216847840=0.00281p=0.03532WA5=0.03331WB5=0.14977K=6P1=575864443200/140531419566720=0.00238P2=45864443200/140531419566720=0.00017P3=3753981544960/131422901631840=0.01520P4=3753981544960/131422901631840=0.00164p=0.01939WA6=0.01561WB6=0.10433K=7P1=57228713284800/14193673376238720=0.00092P2=4228713284800/14193673376238720=0.00006P3=373130929607680/13142290163184000=0.00881P4=373130929607680/13142290163184000=0.00095p=0.01075WA7=0.00701WB7=0.07028K=8P1=578691104822400/1419367337623872000=0.00035P2=48691104822400/1419367337623872000=0.00002P3=37178462987637760/1301086726155216000=0.00508P4=37178462987637760/1301086726155216000=0.00055p=0.00600WA8=0.00304WB8=0.04609K=9P1=57321570878428800/140517366424763330000=0.00013P2=4321570878428800/140517366424763330000=0.00001P3=379993927307714560/127506499163211170000=0.00290P4=379993927307714560/127506499163211170000=0.00031p=0.00335WA9=0.00127WB9=0.02955K=10P1=5711576551623436800/13770701909626806000000=0.00005P2=411576551623436800/13770701909626806000000=0.00000P3=37549666001924300800/12368130418831483000000=0.00164P4=37549666001924300800/12368130418831483000000=0.00018p=0.00187WA10=0.00052WB10=0.01858SUMWA10=0.73338SUMWB10=1.46980以上数据整理为表4和图7。表4:陆逊连营中k从1到10,W（k）的值K12345W(A)0.268690.210130.126430.067370.03331W(B)0.276490.30471 0.264410.205600.14977K678910W(A)0.015610.007010.003040.001270.00052W(B)0.104330.070280.046090.029550.01858图7:陆逊连营次数及概率分布由上面可以看出，当k=10时，P与W（A）、W（B）已经非常小了，而陆逊的连营是无限的，所以期望不可能算出精确数。所以这里不妨把陆逊摸牌的期望值用和来表示，得到，。即陆逊在未装备【诸葛连弩】时通过【连营】获得的手牌数期望为0.73338（张），在装备【诸葛连弩】时通过【连营】获得的手牌数期望为1.46980（张）。

总结与感悟我们三人平常就爱打“三国杀”，被其中的奥秘深深地打动，进而思考游戏设计中蕴含的原理，并试图“破译”它。于是我们苦心探索，付诸实践，从而造就了这篇小论文。在玩游戏的时候,我们通常只会考虑下一张牌可能出现的概率是多少，而不会考虑下面一堆牌排列的概率。我们苦思冥想，终于将周泰，甄姬，张角，陆逊四个“三国杀”里依靠概率的主要角色的数学原理分析透彻了，可以说给了我们的爱好一个交代。如甄姬在文中算得洛神期望值约为0.98，即每回合额外摸得的牌非常接近1张，而周瑜，另一个武将，其拥有一个技能为每回合额外摸多一张牌，显然其期望值为1。两个人物比较，从实际上得出经验，玩家倾向于选甄姬多，因为甄姬是运气爆发型武将，运气好可以成为一夜暴发户，拥有数十张牌。但是从理论上分析，周瑜有稳定的1张收入，期望值为1，而甄姬为0.98的期望值。一般地说，在期望值几乎相等时，方差（摸牌收入不稳定度）较小的较为稳定，但“爆发”潜力不高；而方差较大的虽不稳定，但可以“爆发”，在游戏中就会有优势。这与人教版数学必修3中甲乙两人打靶环数的问题类似（在两人都处于劣势的情况下，平均数一样但方差大的冲击高分）。而实战中，往往需要较高的运气，甄姬经常是一翻出就是红牌，洛神得到牌数为0，所以面对周瑜与甄姬的抉择，玩家可要三思而后行。起初，我们以为算出游戏中武将的相关概率问题很容易，仅仅是单纯的排列组合，与课本的习题类似。但真正做了后才发现，用排列组合来分析现实中的问题还是比较困难的。我们有时列出了算式，但带入数据进行检验时发现数据不合常理。如在编写完“陆逊”的程序运行结果时，发现不符实际，回头检验才发现中间漏了一步或者重复了一步。我们的思维就在一次一次的思考中逐渐变得灵活、缜密，这是做多少道高考题都无法比拟的！通过我们对“三国杀”中武将技能的概率分析，一方面可以为该游戏爱好者提供理论指导，让大家能更加客观科学地选将或评论，而不只是凭借玩游戏时的主观感受；另一方面，可以对广大学生乃至科研工作者有所启迪，即有时科研可以来自生活中，来自玩乐中。从身边小事，从自己的兴趣爱好中发现科学问题，运用科学方法予以分析，这样研究才会有价值，才会有乐趣，这就是老师所说的“做数学”，而恰恰也是从理论数学到应用数学的关键。

参考文献[1]/subview/1147207/5