2000-2014考研数二真题及解析

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)(2)设函数由方程所确定，则(3)(4)曲线的斜渐近线方程为(5)设，为4阶单位矩阵，且则.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在内连续，且则常数满足()(A)(B)(C)(D)(2)设函数满足关系式，且，则()(A)是的极大值.(B)是的极小值.(C)点是曲线的拐点.(D)不是的极值，点也不是曲线的拐点.(3)设是大于零的可导函数，且则当时，有()(A)(B)(C)(D)(4)若，则为()(A)0.(B)6.(C)36.(D).(5)具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)设，计算.四、(本题满分5分)设平面上有正方形及直线.若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求.五、(本题满分5分)求函数在处的阶导数.六、(本题满分6分)设函数，(1)当为正整数，且时，证明；(2)求.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中的含量为，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物的含量降至以内(注：设湖水中的浓度是均匀的)八、(本题满分6分)设函数在上连续，且，试证明：在内至少存在两个不同的点，使九、(本题满分7分)已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形.问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、(本题满分8分)函数在上可导，且满足等式(1)求导数；(2)证明：当时，成立不等式成立十二、(本题满分6分)设.其中是的转置，求解方程十三、(本题满7分)已知向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表出，求的值.2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】(2)设函数由方程所确定，则【答案】【详解】方法1：对方程两边求微分，有由所给方程知，当时.将，代入上式，有.所以，.方法2：两边对求导数，视为该方程确定的函数，有当时，以此代入，得，所以.(3)【答案】【详解】由于被积函数在处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令(4)【答案】【公式】为的斜渐近线的计算公式：【详解】所以，方向有斜渐近线.当时，类似地有斜渐近线.总之，曲线的斜渐近线方程为.(5)【答案】【详解】先求出然后带入数值，由于，所以二、选择题(1)【答案】D【详解】排除法：如果，则在内的分母必有零点，从而在处不连续，与题设不符.不选，若，则无论还是均有与题设矛盾，不选和.故选.(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数在出具有二阶导数且，，那么：(1)当时，函数在处取得极大值；(2)当时，函数在处取得极小值；【详解】令等式中，得，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：以代入，有，所以.从而知，存在去心邻域，在此去心邻域内，与同号，于是推知在此去心邻域内当时曲线是凸的，在此去心临域内时曲线是凹的，点是曲线的拐点，选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知想到设函数为相除的形式.【详解】设，则则在时单调递减，所以对，，即得，为正确选项.(4)【答案】【分析】本题有多种解法：(1)将含有的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.【详解】方法1：凑成已知极限而(由于)所以方法2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出，从而所以方法3：将在处按佩亚诺余项泰勒公式展开至项：于是从而(5)【答案】B【详解】由特解，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，为特征方程的二重根；由可知为特征方程的单根，因此特征方程为由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为三【详解】方法1：为了求不定积分，首先需要写出的表达式.为此，令，有分部积分拆项方法2：作积分变量替换，命，分部积分部分分式求和四S(t)S(t)x+y=tO11111当时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：；当时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面积，其中由于与交点的纵坐标为，于是，小三角形的边长为：，所以；当时，图形面积就是正方形的面积：，则当时，当时，当时，因此五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：为了求的阶导数，设，；；；一般地，可得即设，，利用上述公式对函数展开，由于对求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项.代入，得：方法2：带佩亚诺余项的麦克劳林公式：求可以通过先求的的麦克劳林展开式，则展开式中项的系数与的乘积就是在点处的阶导数值.由麦克劳林公式，所以对照麦克劳林公式从而推知得六【详解】因为，且，所以定积分的性质又因为具有周期，所以在长度为的积分区间上的积分值均相等：，从而所以所以即(2)由(1)有，当时，命取极限，，由夹逼定理，得.七【详解】设从2000年初(相应)开始，第年湖泊中污染物的总量为，浓度为，则在时间间隔内，排入湖泊中的量为：，流出湖泊的水中的量为.因而时间从到相应地湖泊中污染物的改变量为：.由分离变量法求解：两边求积分：初始条件为，代入初始条件得.于是，要满足污染物的含量可降至内，命，得.即至多需经过年，湖泊中A的含量降至以内.八【证明】方法1：令，有由题设有.又由题设，用分部积分，有由积分中值定理知，存在使因为，，所以推知存在使得.再在区间与上对用罗尔定理，推知存在，使，即方法2：由及积分中值定理知，存在，使.若在区间内仅有一个零点，则在区间与内异号.不妨设在内，在内.于是由，有当时，，；当时，，仍有，得到：.矛盾，此矛盾证明了在仅有1个零点的假设不正确，故在内至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线在点处的切线方程，首先需要求出在处的导数，即切线斜率.而函数又是以周期为5的函数，且在处可导，则在处可导，且其导数值等于函数在处的导数值.将两边令取极限，由的连续性得故，又由原设在处可导，两边同除，根据导数的定义，得所以，又因，所以，由点斜式，切线方程为以代入得即十【详解】首先联立两式，求直线与曲线的交点：，得：，而，则交点坐标为：.由点斜式，故直线OA的方程为.由旋转体体积公式，要求的体积就是用大体积减去小体积：为了求的最大值，对函数关于求导，命得唯一驻点，所以也是V的最大值点，最大体积为.十一【详解】(1)为了求，将两边同乘，得两边对求导，得即.上述方程为二阶可降阶微分方程，令，化为，即两边求积分：即所以令，则，于是.再以代入原方程，由，有，于是.(2)方法1：用积分证.而两边同乘以，得：，即方法2：用微分学方法证.因，即单调递减，所以当时.要证，可转化为证明，令，则，且()所以，当时，即.结合两个不等式，推知当时，.证毕.十二【详解】由题设得，.所以，；，代入原方程中，得，即其中是三阶单位矩阵，令，代入上式，得线性非齐次方程组(1)显然方程组得同解方程为(2)令自由未知量解得故方程组通解为，(为任意常数)十三【详解】方法1：先求将矩阵作初等行变换，得知故，作初等行变换因为，所以又可由线性表出，故将作初等行变换由，得，解得，及方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出线性无关，且，故，是的极大线性无关组.又，线性相关.从而得计算三阶行列式得，得又可由线性表出，即可由线性表出，线性相关，有行列式展开得，所以，得及方法3：先利用可由线性表出，故方程组有解，即有解.对其增广矩阵施行初等行变化由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知解得又因为和线性无关，且，所以向量组的秩为2，由题设条件知，从而解得2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)(2)设函数由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为.(3)(4)过点且满足关系式的曲线方程为.(5)设方程有无穷多个解,则.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设则等于()(A)0(B)1(C)(D)(2)设当时，是比高阶的无穷小，是比高阶的无穷小，则正整数等于()(A)1(B)2(C)3(D)4(3)曲线的拐点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3(4)已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且则()(A)在和内均有.(B)在和内均有.(C)在内，.在内，.(D)在内，.在内，.(5)设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数的图形为()三、(本题满分6分)求四、(本题满分7分)求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型.五、(本题满分7分)设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值.(在直角坐标系下曲率公式为)六、(本题满分7分)设函数在上可导，，且其反函数为.若，求.七、(本题满分7分)设函数满足，且，求八、(本题满分9分)设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的的截距，且经过点(1)试求曲线的方程(2)求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形面积最小.九、(本题满分7分)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？十、(本题满分8分)设在区间上具有二阶连续导数,,(1)写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明在上至少存在一点，使十一、(本题满分6分)已知矩阵且矩阵满足其中是3阶单位阵，求.十二、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系，试问实数满足什么关系时，也为的一个基础解系.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】(2)【答案】x−2y+2=0.【详解】在等式两边对x求导,其中视为的函数，得，即将x=0,y=1代入上式,得，即故所求法线方程斜率，根据点斜式法线方程为：即x−2y+2=0.(3)【答案】【分析】根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设在有界闭区域上连续，则有，【详解】由题设知在区间上，是奇函数，是偶函数，故，，所以，原式(4)【答案】【详解】方法1：因为，所以原方程可改写为两边直接积分，得又由代入上式，有，解得故所求曲线方程为方法2：将原方程写成一阶线性方程的标准形式由一阶线性微分方程通解公式：这里，代入上式得：又由解得故曲线方程为：(5)【答案】-2【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有由非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件：设是矩阵，方程组有无穷多解.可见，只有当a=−2时才有秩，对应方程组有无穷多个解.方法2:设是矩阵，方程组有无穷多解，则方程组有无穷多解.从而有，即则，.当时，可见原方程组无解.当时，有可知，故当时，原方程组有无穷多解.二、选择题(1)【答案】(B)【详解】因为，所以在整个定义域内，所以，于是，从而(2)【答案】(B)【详解】根据高阶无穷小的定义：如果，就说是比高阶的无穷小，由题设当时，是比高阶的无穷小，所以从而应满足；又由是比高阶的无穷小，所以根据高阶无穷小的定义有：，从而应满足综上，故正整数，故选(B)(3)【答案】(C)【详解】，所以令，即，因为判别式：，所以有两个不相等的实根，且，所以两个实根不为2，因此在使这两点处，三阶导数，(一般地，若，且，则点一定是曲线的拐点)，因此曲线有两个拐点，故选(C)或根据是一条抛物线，且与轴有两个不相同的交点，所以在两个交点的左右符号不相同，满足拐点的定义，因此选(C)(4)【答案】(A)【详解】方法1：令，则由于严格单调减少，因此当时，，则；当时，，则，且在处，根据判定极值的第一充分条件：设函数在处连续，且在的某去心领域内可导，若时，，而时，，则在处取得极大值，知在处取极大值，即在在和内均有，也即.故选(A)方法2：排除法，取，则，，所以满足题设在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且当时或时，均有，因此可以排除(B)、(C)、(D)，选(A)(5)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在轴的左侧，曲线是严格单调增加的，因此当时，一定有，对应图形必在轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又的图形在轴右侧靠近轴部分是单调增，所以在这一段内一定有，对应图形必在轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).三【详解】作积分变量变换，令则原式四【分析】应先求出的表达式，再讨论它的间断点，首先明确间断点的类型分为两大类：第一类间断点和第二类间断点，第一类间断点又可分为：可去间断点(左右极限存在且相等的间断点)和跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点)；第二类间断点又可分为：无穷间断点(有一个极限为无穷的间断点)和振荡间断点(极限值在某个区间变动无限多次).【详解】由又所以由的表达式，可以看出自变量应满足，从而当时，，所以为的第一类间断点(左右极限相等，又进一步可知是可去间断点)；对于非零整数，，故为的第二类间断点(无穷间断点)五【解答】由，有抛物线在点处的曲率半径若已知平面曲线的显式表示为，则弧长为，其中在有连续的导数.根据上述结论，所以抛物线上的弧长故因此六【详解】的反函数是，根据反函数的性质有，两边对求导，有又，所以，两边积分.由于题设在上可导，所以在处连续，故，所以，于是，七【详解】由，得，即此为二阶常系数线性非齐次方程，且右端呈型(其中)，对应的齐次方程为，特征方程为，对应的特征值为，于是齐次方程的通解为：，因为，所以设特解为(为实数)，，代入，，所以，即，从而特解，非齐次方程的通解为，又，所以，又，，所以，，所以原方程的解为：以下计算积分，有两个方法：方法1：方法2：八【详解】(1)设曲线过点的切线方程为，令，则，即它在轴上的截距为，根据两点距离公式，所以原点到点的距离为，由题设到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在轴上的截距，所以：，，即，此为一阶齐次方程，按规范方法解之，命，则，代入，方程变为：积分得把代入上式，得.由题设曲线经过点，代入得，则，故所求方程为：，即(2)由(1)知，则，点，所以在点处的切线方程为：，分别令，，解得在轴，轴上的截距分别为和.此切线与两坐标轴围成的三角形面积为：由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记，于是题中所要求的面积为：求最值点时与无关，以下按微分学的办法求最值点.令得，当时，；当时，，根据极值存在的第一充分条件：设函数在处连续，且在的某去心领域内可导，若时，，而时，，则在处取得极大值，知：是在处的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为：，即九【详解】方法1：半球形雪堆在时刻时设其半径为，则半球体积，侧面积.由题设体积融化的速率与半球面面积成正比，知：，由于是的函数，，代入上式，得：，即，从而，.积分得，把代入，得，所以.又半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，即，其中表示时的.以的公式代入上式，为将代入上式，两边约去，得：，即从而求得：，于是，当时，雪融化完.方法2：半球形雪堆在时刻时设其半径为，则半球体积，侧面积，联立，消去，得：由题设体积融化的速率与半球面面积成正比，知：，从而推知分离变量，积分：，把代入，，所以，.又由，代入上式，得，故.命，解得：，即雪堆全部融化需6小时.十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：设在上连续，，则对之间的任何数，必存在()，使得.【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在零点展开.的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：，其中位于和为端点的开区间内，.(2)方法1：将从到积分而从而有因在上连续，故有在上存在最大值，最小值(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即易得因此同理因此.由连续函数介值定理知，存在，使，即.方法2：观察要证的式子，做变限函数：，易得，(变限积分求导)则有将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：其中，由于在上连续，则由连续函数介值定理，存在，使(因为)于是有，存在，使把代入有：，即即十一【详解】题设的关系式即其中，因为，故由阶矩阵可逆的充要条件，知矩阵可逆，用初等行变换求：故而于是，等式两边左、右乘可得十二【详解】由题设知，均为的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以均为的解.下面证明线性无关.设把代入整理得，由为线性方程组的一个基础解系，知线性无关，由线性无关的定义，知中其系数全为零，即其系数行列式(变换：把原行列式第行乘以加到第行，其中)由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当，即即当为偶数，当为奇数，时，上述方程组只有零解因此向量组线性无关，故当时，也是方程组的基础解系.2002考研数二真题2003年考研数学（二）真题填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若时，与是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）的麦克劳林公式中项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=.（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[]（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[]（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)[]（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有一个极小值点和两个极大值点.两个极小值点和一个极大值点.两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（5）设,,则(A)(B)(C)(D)[]（6）设向量组=1\*ROMANI：可由向量组=2\*ROMANII：线性表示，则(A)当时，向量组=2\*ROMANII必线性相关.(B)当时，向量组=2\*ROMANII必线性相关.(C)当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.(D)当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求五、（本题满分9分）计算不定积分六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.七、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.求曲线y=f(x)的方程；已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限存在，证明：在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点，使；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使十一、（本题满分10分）若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若时，与是等价无穷小，则a=-4.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当时，，.于是，根据题设有，故a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式两边直接对x求导，得，将x=1,y=1代入上式，有故过点(1,1)处的切线方程为，即【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3）的麦克劳林公式中项的系数是.【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是【详解】因为，，，于是有，故麦克劳林公式中项的系数是【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.【分析】利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】所求面积为=.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=3.【分析】本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由=，知，于是【评注】一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则.【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由知，，即，易知矩阵A+E可逆，于是有再两边取行列式，得，因为,所以.【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为==，可见=【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)[A]【分析】将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出.【详解】将代入微分方程，得，即.令lnx=u，有，故=应选(A).【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有一个极小值点和两个极大值点.两个极小值点和一个极大值点.两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设,,则(A)(B)(C)(D)[B]【分析】直接计算是困难的，可应用不等式tanx>x,x>0.【详解】因为当x>0时，有tanx>x，于是，，从而有，，可见有且，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】本题没有必要去证明，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)一定为正确选项.（6）设向量组=1\*ROMANI：可由向量组=2\*ROMANII：线性表示，则(A)当时，向量组=2\*ROMANII必线性相关.(B)当时，向量组=2\*ROMANII必线性相关.(C)当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.(D)当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.[D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组=1\*ROMANI：可由向量组=2\*ROMANII：线性表示，则当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.或其逆否命题：若向量组=1\*ROMANI：可由向量组=2\*ROMANII：线性表示，且向量组=1\*ROMANI线性无关，则必有.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如，则，但线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C).故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三、（本题满分10分）设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即【详解】===令，有，得或.当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当x=9时，可相应地确定参数t的取值.【详解】由，，得所以==当x=9时，由及t>1得t=2,故五、（本题满分9分）计算不定积分【分析】被积函数含有根号，典型地应作代换：x=tant,或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即x=tant.【详解】设，则==又==，故因此==【评注】本题也可用分布积分法：====，移项整理得=本题的关键是含有反三角函数，作代换或tant=x.六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.【分析】将转化为比较简单，=，关键是应注意：==.然后再代入原方程化简即可.【详解】(1)由反函数的求导公式知，于是有==.代入原微分方程得(*)(2)方程(*)所对应的齐次方程的通解为设方程(*)的特解为，代入方程(*)，求得，故，从而的通解是由，得.故所求初值问题的解为【评注】本题的核心是第一步方程变换.七、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.【分析】问题等价于讨论方程有几个不同的实根.本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x轴交点的个数）.【详解】设，y则有4-k不难看出，x=1是的驻点.O1x当时，，即单调减少；当x>1时，，即单调增加，故为函数的最小值.当k<4，即4-k>0时，无实根，即两条曲线无交点；当k=4，即4-k=0时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即4-k<0时，由于；，故有两个实根，分别位于(0,1)与内，即两条曲线有两个交点.【评注】讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.求曲线y=f(x)的方程；已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】(1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程.(2)将曲线y=f(x)化为参数方程，再利用弧长公式进行计算即可.【详解】(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0，则，故Q点的坐标为由题设知，即积分得(C为任意常数).由知C=1，故曲线y=f(x)的方程为(2)曲线y=sinx在[0，]上的弧长为曲线y=f(x)的参数方程为故，令，则=【评注】注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到，而不是从0到九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【分析】液面的面积将以的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为,从而(2)液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得，即解此微分方程，得，其中C为任意常数，由知C=2,故所求曲线方程为【评注】作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限存在，证明：在(a,b)内f(x)>0;在(a,b)内存在点，使；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使【分析】(1)由存在知，f(a)=0,利用单调性即可证明f(x)>0.(2)要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明.(3)注意利用(2)的结论证明即可.【详解】(1)因为存在，故又，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故(2)设F(x)=,,则，故满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使，即.(3)因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2)的结论得，即有【评注】证明(3)，关键是用（2）的结论：（根据(2)结论），可见对f(x)在区间上应用拉格朗日中值定理即可.十一、（本题满分10分）若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使【分析】已知A相似于对角矩阵，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a.至于求P，则是常识问题.【详解】矩阵A的特征多项式为=，故A的特征值为由于A相似于对角矩阵，故对应应有两个线性无关的特征向量，即，于是有由，知a=0.于是对应于的两个线性无关的特征向量可取为，当时，，解方程组得对应于的特征向量令，则P可逆，并有十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线交于一点，则线性方程组(*)有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于=,但根据题设，故充分性：由，则从必要性的证明可知，，故秩由于=，故秩(A)=2.于是，秩(A)=秩=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点，则为Ax=0的非零解，其中于是.而=,但根据题设，故充分性：考虑线性方程组(*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组(**)因为=-,故方程组(**)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.2004年考硕数学（二）真题一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为____..（3）_____..（4）设函数由方程确定,则______.（5）微分方程满足的特解为_______.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则______-.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为（A）.（B）.（C）.（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时,在处可导.（17）（本题满分11分）设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.（19）（本题满分12分）设,证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注表示千克,表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.2004年考硕数学（二）真题评注一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时,,所以,因为故为的间断点.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.【详解】,,令 .又单调增,在时,.(时，时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】.【详解2】.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数由方程确定,则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而,所以【详解2】令则,,,,从而【详解3】利用全微分公式,得即,从而【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为,先求齐次方程的通解:积分得设为非齐次方程的通解,代入方程得从而,积分得,于是非齐次方程的通解为,故所求通解为.【详解2】原方程变形为,由一阶线性方程通解公式得,从而所求的解为.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】,,,.【详解2】由,得【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】,即.又,即.从而按要求排列的顺序为,故选（B）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题.（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论两方,的符号.【详解】,,,从而时,凹,时,凸,于是为拐点.又,时,,从而为极小值点.所以,是极值点,是曲线的拐点,故选（C）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】故选（B）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知,由极限的性质,,使时,有即时,，时,,故选（C）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程的特征方程为,特征根为,对而言,因0不是特征根,从而其特解形式可设为对,因为特征根,从而其特解形式可设为从而的特解形式可设为【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,,,故应选（D）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为（A）.（B）.（C）.（D）.【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意,,,从而,故选（D）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.【分析】将写成行矩阵,可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵,可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设,记（1）由于,所以至少有一(),从而由（1）知,,于是线性相关.又记,则由于,则至少存在一(),使,从而线性相关,故应选（A）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】原式【详解2】原式【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时,在处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】(Ⅰ)当,即时,.(Ⅱ)由题设知..令,得.即当时,在处可导.【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性.（17）（本题满分11分）设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】(Ⅰ),设,则有,故是以为周期的周期函数.(Ⅱ)因为在上连续且周期为,故只需在上讨论其值域.因为,令,得,,且,,又,,的最小值是,最大值是,故的值域是.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值,其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】(Ⅰ),,.(Ⅱ),【评注】在固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设,证明.【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设,则,所以当时,,故单调减小,从而当时,,即当时,单调增加.因此,当时,,即故.【详证2】设,则,时,,从而当时,,时,单调增加.时,.令有即.【详证3】证对函数在上应用拉格朗日定理,得,.设,则,当时,,所以单调减小,从而,即,故【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注表示千克,表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记时,设时刻飞机的滑行距离为,速度为.根据牛顿第二定律,得.又,,积分得,由于,,故得,从而.当时,.所以,飞机滑行的最长距离为.【详解2】根据牛顿第二定律,得.所以,两边积分得,代入初始条件,得,,故飞机滑行的最长距离为.【详解3】根据牛顿第二定律,得,,其特征方程为,解得,，故，由,，得，.当时,.所以,飞机滑行的最长距离为.【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解.（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】,,.【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵作初等行变换,有 当时,,故方程组有非零解,其同解方程组为.由此得基础解系为,,,于是所求方程组的通解为,其中为任意常数.当时,当时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为由此得基础解系为,所以所求方程组的通解为,其中为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式.当,即或时,方程组有非零解.当时,对系数矩阵作初等行变换,有故方程组的同解方程组为.其基础解系为,,,于是所求方程组的通解为,其中为任意常数.当时,对作初等行变换,有故方程组的同解方程组为其基础解系为,所以所求方程组的通解为,其中为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定的值，由线性无关特征向量的个数与秩之间的关系确定是否可对角化.【详解】的特征多项式为.若是特征方程的二重根,则有,解得.当时,的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,从而可相似对角化.若不是特征方程的二重根,则为完全平方,从而,解得.当时,的特征值为2,4,4,矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定的值,对的取值讨论对应矩阵的特征根及对应的秩,进而由的秩与线性无关特征向量的个数关系确定是否可相似对角化.2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设，则=______.（2）曲线的斜渐近线方程为______.（3）______.（4）微分方程满足的解为______.（5）当时，与是等价无穷小，则k=______.（6）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[]（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).[]（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A).(B).(C).(D).[]（11）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A).（B）.(C).(D).[]（12）设函数则x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A).(B).(C).(D).[]（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.[]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且，求极限（16）（本题满分11分）如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象.过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和.记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（18）（本题满分12分）用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（=1\*ROMANI）存在使得；（=2\*ROMANII）存在两个不同的点，使得（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.（21）（本题满