1.3.2-球的表面积与体积(m)

8/16/20241.3.2球的表面积与体积学习目标:1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割—求和—化为准确和”；2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；3、能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。RR一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。一、球的体积:RRR设想一个球由许多顶点在球心,底面在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们看成真正的锥体.二、球的表面积:RS球表=4πR2例1:钢球直径是5cm,求它的体积.4.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是______.练习1:1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是___.内切和外接问题:例2：把直径是5cm的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?侧棱长为5cm两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.球内切于正方体(变式1)把棱长为5cm的正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里,能否装得下?半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系?球外接于正方体两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。（变式2）三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.探究：若正方体的棱长为a，则：(1)正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径=（变式3）半球内有一内接正方体，若正方体的棱长为，求半球的体积。

RCDBAO（变式4）已知球面O上有四个点P、A、B、C，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝PB＝PC＝1，求这个球O的体积。O'OCBAPD分析：解决本题的关键是确定球O的半径。由题意PA、PB、PC两两垂直联想到长方体，直径应该是补形后的对角线。（变式5）一个四面体的棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为()A、3π

B、4π

C、6π

D、DCBA联想：⑴过一点有三条棱两两垂直，补形成长方体；⑵正四面体补形成正方体。练习2：1.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm,则这个球的体积为＿＿＿＿。2.长方体一个顶点上的三条棱的长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在球面上，则这个球的体积是＿＿＿＿＿。3.棱锥P－ABC的三个侧棱两两垂直，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若P、A、B、C都在球面O上，则球O的体积是＿＿＿＿。例3:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm)86618515151111x/y/z/解：这个奖杯的体积为V=V正四棱台+V长方体+V球V正四棱台V长方体=6×8×18=864V球=所以这个奖杯的体积为V≈

1828.76(cm3)