微分方程的最大值原理及应用

重庆邮电学院本科毕业设计(论文)PAGEIII重庆邮电学院本科毕业设计(论文)重庆邮电学院毕业设计（论文）设计（论文）题目：___微分方程的最大值原理及应用___单位（二级学院）：____计算机科学与技术学院学生姓名：____吕坤______________专业：____信息与计算科学______班级：____430103______________学号：____01430323____________指导教师：胡学刚_____________答辩组负责人：_______________填表时间：2005年6月重庆邮电学院教务处制微分方程的最大值原理及应用摘要众所周知，最大值原理是微分方程研究中应用最广而且最为人们熟知的工具之一，它在物理、力学和工程技术中有着广泛的应用。简要地说，微分方程最大值原理就是对于某些类型的微分方程的解必在所定义的空间或时间边界上取得最大值。常微分方程、椭圆型偏微分方程和抛物型偏微分方程相关的定解问题的解在一定条件下通常都满足最大值原理。因此，研究最值原理在何种情况下成立是一个十分具有理论价值和应用价值的重要问题。本文主要讨论有关常微分方程、抛物偏微分方程、椭圆偏微分方程的最大值原理。首先讨论了常微分方程的最大值原理，它涉及到二阶常微分方程，并在此基础上深入讨论了广义最大值原理，给出了六个与最大值原理有关的定理和一些简单的推论；然后讨论抛物型偏微分方程的最大值原理，通过引入强最大值原理和Cauchy问题的最大值原理给出了解的唯一性定理的另一种证明，并把最大值原理应用于讨论比较原理和爆破问题；最后讨论椭圆型偏微分方程的最大值原理，通过强最大值原理和边界点引理给出了两个新的推广结果，并将最大值原理应用于边值问题、最小曲面方程等。关键词：最大值原理；比较原理；爆破；重庆邮电学院本科毕业设计(论文)MaximumprincipleofdifferentialequationAnditsapplicationABSTRACTAsisknown,themaximumprincipleisoneoftoolswhichareusedinmanyareasandfamiliartopeopleintheresearchofpartialdifferentialequation.Anditalsoisappliedintheareasofphysics,mechanicsandengineeringtechnique.Shortly,themaximumprincipleofdifferentialequationmeansthatforsomekindsofdifferentialequations,theycangetthemaximumsolutionintheboundaryofdefinedtimeorspace.Parabolictypeandelliptictypepartialdifferentialequationsareveryimportanceinallkindsofdifferentialequations.Thesolutionoftheirrelationdefinedsolutionquestiongenerallysatisfiesmaximumprinciple，soitisavaluableoftheoreticandpracticalitythingtostudythatinwhichsituationmaximumprinciplecomesintoexistence.Thispaperisfocusonthemaximumprincipleofordinarydifferentialequations,ellipticpartialdifferentialequationandparabolicpartialdifferentialequations.Firstly,Iintroducethemaximumprincipleoftwoorderordinarydifferentialequation,followedbysixtheoremsandfivereferences;Toparabolicpartialdifferentialequation，wegottwouniqueaxiomsofsolutionindoublesituationsbyimportingthestrongmaximumprincipleandmaximumprincipleofCauchy.Andweusethemaximumprincipleincomparisonprincipleandblowingupquestions.Inthelast,wediscussthemaximumprincipleofellipticpartialdifferentialequation.ByimportingthestrongmaximumprincipleandHopflemmaofboundary，andpresentstworesultswhichareunknownbefore.AndappliedmaximumtotheproblemofPoissonandtheminimalsurfaceequation.【keywords】maximumprinciple；comparisonprinciple；blowup重庆邮电学院本科毕业设计(论文)目录HYPERLINK\o"中文摘要"中文摘要……………………Ⅱ英文摘要…………………Ⅲ1绪论…………………………12常微分方程的最大值原理及应用………………42.1一维最大值原理…………………42.2一维广义最大值原理及其应用…………43抛物型偏微分方程的最大值原理及应用…………………113.1偏微分方程的基本理论…………………113.2非负最大值原理和比较原理……………123.3抛物型偏微分方程的最大值原理的应用………153.3.1最大值原理证明唯一性定理……………153.3.2最大值原理应用于爆破问题………164椭圆型偏微分方程的最大值原理及应用…………………194.1椭圆型偏微分方程的基本理论………19 4.1.1椭圆型方程的非负最大值原理和边界点引理………194.2椭圆型偏微分方程的最大值原理的应用………204.2.1最大值原理应用的两个例子………………204.2.2最大值原理推广的两个新推论………………214.2.3最大值原理结合第三恒等式的应用……225结论与展望………………25致谢……………………26参考文献……………………27附件……………28一、英文资料译文……………28二、英文资料原文……………43PAGE11绪论所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数以及它的导数的等式。只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程。微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，几乎在自然科学和工程技术的每一个部门都与微分方程有关。为了解决实际问题，有必要建立微分方程自身的基础理论，这需要用到数学其它分支学科的知识，有时甚至感到很不够用，这些因素不仅丰富了微分方程学科的理论体系，而且促进了数学的发展。反过来，微分方程学科的发展又能更好地解决生产实际和工程技术中的问题。在常微分方程和偏微分方程的研究中所用到的最有用而且最为人们熟知的工具之一就是最大值原理。这个原理是微积分学中下述事实的推广：若在区间上满足不等式的任何函数必在该区间的一个端点达到它的最大值，则称不等式的解满足最大值原理。更一般地，若函数在区域中满足一个微分不等式，并在的边界上达到它的最大值，则称该函数具有最大值原理。在微分方程的定性理论研究中，不需要求出解本身而对于某些方程要求出解是不可能的，但是利用最大值原理就使我们得到有关微分方程解的信息。人们常常利用最大值原理来证明解的唯一性，估计解的范围，研究解的爆破模式，爆破速率，解的一致有界性等，因此对于所给定的定解问题，其解是否满足最大值原理是一个是至关重要的问题。我们知道，常微分方程、椭圆型偏微分方程和抛物型偏微分方程相关的定解问题的解在一定条件下最大值原理成立。所以，研究常微分方程、椭圆型偏微分方程和抛物型偏微分方程的最值原理在何种条件下成立具有十分重要的意义。本文主要讨论有关常微分方程、抛物型偏微分方程、椭圆型偏微分方程的最大值原理。首先讨论了二阶常微分方程的最大值原理，并在此基础上给出了六个定理和五个推论；对于抛物型偏微分方程，通过引入强最大值原理和Cauchy问题的最大值原理证明了二种情形下解的唯一性定理，并将其应用于比较原理和解的爆破问题；最后讨论椭圆型偏微分方程的最大值原理，通过强最大值原理和边界点引理给出了两个新的结果，并将其应用于边值问题、最小曲面问题。PAGE3PAGE2本文各部分的具体安排如下：第二节讨论二阶常微分方程的最大值原理；第三节主要介绍抛物型偏微分方程的最大值原理，给出解的唯一性定，并应用于比较原理、爆破问题；第四节主要研究绍椭圆型偏微分方程的最大值原理及其应用。本文中用到的主要记号如下：1.1导数记号(1)，；(2)设，其中每个分量都是非负整数，则称的重指标的阶为；(3)；(4)表示的梯度，即。(5)设为中的开集合，为其边界则（=1\*romani）如果是，则沿指向外向的单位法向量定义为；（=2\*romanii）令，则为u的法向导数。(6)；1.2函数空间记号(1)={|是次连续可微的}，={|是对所有一致连续}，其中是非负整数；(2)={|无穷可微}=，；(3)、表示这些函数在、上并且具有紧支集；(4)表示在内对第一个变量具有2阶连续偏导数，对第二个变量具有一阶连续偏导数的函数空间。(5)={|是勒贝格可测度，}。(6)1.3其它符号定义(1)设和都是定义在上的函数所组成的集合，.如果对任意的常数，所有的函数，都有成立，则称是线性的。(2)设为一个正数，,抛物柱体，那么有以及定义抛物边界,即为抛物柱体的边界除去上顶.(3)表示在内以点为中心,半径的开球；表示在内以点为中心,半径的闭球PAGE42常微分方程的最大值原理及应用2.1一维最大值原理我们知道，闭区间上连续的函数必在该区间的某一点处取得它的最大值。容易发现以下事实：如果函数在区间上有连续的二阶导数，而且存在，使得在点处取得最大值，则有，（2.1）假设在开区间内，是有界函数，且函数满足，（2.2）的微分不等式，那么，在中的任何点关系式（2.1）不能成立。因此满足微分不等式（2.2）的函数在闭区间的最大植必在区间的边界（端点）处取得。这一事实为常微分方程的最大值原理最简单的情形。在（2.2）中要求不等式严格成立，在微分方程的研究和应用中，这样的要求太强了。然而非严格的不等式，（2.3）若容许，显然最大值原理不成立。但是下列结论是成立的。定理（一维最大值原理）假设在区间内是有界函数，且函数满足微分不等式（2.3），如果函数在内的一点取得最大值，则。我们称定理2.1为一维最大值原理，它的实质是满足（2.3）的非常数函数不能在内点达到最大值。在定理2.1中，若用替代则有相应的一维最小值原理。2.2一维广义最大值原理及应用对于更一般的严格微分不等式，（2.4）在开区间内成立，则不能在的内点取得非负最大值。事实上，在任意这样的最大值点，我们有，，，与上面的严格不等式矛盾。对于这样的非严格不等式，我们将定理2.1的证明方法进行改进，来证明下面的定理。定理（一维广义最大值原理）设函数在区间内满足微分不等式，（2.5）其中，且函数和在区间的每一闭子区间上有界。若在内点上达到非负的最大值,则，。证明假设不恒为常数，至少存在一点使得，不妨令。构造辅助函数（2.6）其中为待定正常数，注意到当时，当时，而。经计算给出因为，以及和的有界性，只要充分的大，可以使得（2.7）式成立。，（2.7）此时有当时。现在我们定义，其中是一个选定的正常数，满足不等式。由于以及从（2.6）式可知，因此这样的是存在的。于是有因为时，所以，（2.8）由的定义可以知道：，（2.9）然而在点有，（2.10）因此不妨在取一内点，有，则在区间上，根据（2.4）式的结论，的非负最大值在端点或取到。然而，，，矛盾。所以注：在上面的证明中，若，则定义辅助函数和当时取满足，则用类似上面的证法可以得出同样的结论。根据定理2.2容易得到：推论2.1如果不恒等于零，则满足定理2.2条件的非负常数只有。推论2.2如果在内，且函数和在区间的每一闭子区间上有界，且不恒为常数并满足微分不等式（2.4），则在上的最大值必在边界,或处取得。证明若不然，存在，使得在内点上达到最大值。因为，所以0，根据定理2.2知，，，矛盾。推论2.2得证。推论2.3如果在内，且函数和在区间的每一闭子区间上有界，且不恒为常数并满足微分不等式（2.4），则在上的最小值必在边界,或处取得。证明在推论2.2中，用替代即得证。推论2.4如果在内，且函数和在区间的每一闭子区间上有界，是下列微分方程的一个非负解则在上的最大值必在边界,或处取得。在微分不等式（2.4）中，若函数在点取得非负的最大值，则。下面的定理说明的情况不会发生。定理2.3设是微分不等式（2.4）的非常数解，在和有单侧导数，在区间内，且函数和在区间的每一闭子区间上有界。如果在点有非负的最大值，且函数有下界，则；若在点取得非负的最大值，且函数有上界，则有。证明假设和当时，又假设有一内点使得，现定义，其中为待定正常数。当时选取满足，（2.11）使得。事实上，这样的是存在的。由于，只要，（2.12）那么（2.11）就成立。又因为函数有下界和在区间的每一闭子区间上有界，则在上存在一个下界不设为，因此可以选取充分大的满足，现在我们构造函数，其中是一个选定的正常数。满足不等式，又因为，故在区间的非负最大值必在某个端点上达到。我们有，和，所以最大值点在点取到，则在的单侧导数不可能是正的。有，（2.13）可是则有。同理可证，。推论2.5如果在内，是满足微分不等式（2.4）而且为不恒为零的连续函数，的非常数解，且。那么，在在内。在上面的定理2.2和定理2.3中，都要求在区间内。现在考虑去掉这个限制后的最大值原理定理2.2和定理2.3会发生怎样的变化。定理2.4假设在上的一个正值函数满足：，，（2.14）其中有界而有下界。如果函数满足，。那么，函数满足在定理2.2和定理2.3所给出的最大值原理。证明因为则，代入可以得到，（2.15）又因为为正值函数，式（2.15）两端同时除于可得令和，将上式变为，（2.16）根据题设条件有界而有下界以及具有二阶可导性，推知和在区间的每一闭子区间上有界，另外有，这样满足定理2.2和定理2.3的条件，因此函数满足在定理2.2和定理2.3所给出的最大值原理。注：满足定理2.4的条件的函数是存在的。事实上如果适当的选取常数则函数可以选，（2.17）为证明这一点我们计算，（2.18）根据假设，和都有界，因此存在常数和使得和，，如果区间充分小，使得（2.19）成立。和，（2.19）又由于也有上界，我们可以选取使得（2.20）成立，（2.20）从而在上和。定理2.5假设在区间内满足常微分方程不等式,另外和在区间的每一子区间上有界。此时如果在内点有一个极大值，则该内点实际上为区间上的最小值。证明因为内点极大值点，则存在一个包含c的区间满足。由定理2.2可知，另外分别把定理2.3用于区间可得由的任意性可知实际上为区间上的最小值。定义2.1(水平拐点)：如果而在某个包含为內点的区间上严格增加或严格减少，则称在有水平拐点。定理2.6假设在区间内满足常微分方程不等式,另外和在区间的每一子区间上有界，则在区间内不可能有水平拐点。证明反证，假设存在这样一个內点使得，由水平拐点的定义若存在区间为而且严格增加，当时有和，选取区间，显然在取得最大值，利用定理2.3可知与假设矛盾。若存在区间为而且严格减少，当时有和，选取区间，显然在取得最大值，利用定理2.3可知与假设矛盾。综述和可知结论成立。定理2.7令，其中和在区间的每一子区间上有下界。假设在中满足而满足如果在中又若和则在内，。证明定义，根据定理2.5存在其大小只依赖于和，并存在一个正函数，使得在区间中的最大值必在端点处达到．又，（2.21）利用定理2.3可知在，恒为常数，且。特别有和，（2.22）继续下去，经过有限次重复可以推出在内。即有在在内，。重庆邮电学院本科毕业设计(论文)3抛物型偏微分方程的最大值原理及应用抛物型偏微分方程是一种典型的偏微分方程之一，它的最大值原理在整个微分系统里面占有相当重要的地位。3.1偏微分方程的基本理论为了引入最大值原理和叙述方便，本小节先给出一些定义和记号。定义3.1（k阶偏微分方程）关于一个含有两个或两个以上变量的未知函数及各阶偏导数的方程称为偏微分方程；记为。若方程中出现的最高阶偏导数为k阶，则称为k阶偏微分方程。形如：即为k阶PDE。定义3.2（线性偏微分方程）：关于未知函数及其各阶导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程。形如：，其中是给定函数。定义3.3（完全非线性偏微分方程）方程中含有最高阶导数的非线性项的偏微分方程称为完全非线性偏微分方程。定义3.4（半线性偏微分方程）关于最高阶的导数为线性的，且其系数仅为自变量的函数的偏微分方程称为半线性偏微分方程。形如：定义3.5（拟线性偏微分方程）关于最高阶的导数为线性的，但其系数可含低阶导数的偏微分方程称为拟线性偏微分方程。形如：其中完全非线性偏微分方程、半线性偏微分方程和拟线性偏微分方程统称为非线性偏微分方程。在中，二阶线性偏微分方程的一般形式为：，其中，都是的函数，现在对一般的二阶方程（3.1）进行分类。设表示中的一点，表示矩阵在点的值。则分类如下：定义如果在点，是正定或负定，则方程在点称为椭圆型的。如果的特征值除一个为0其余个特征值同为正或为负，方程在点称为抛物型的。如果的特征值皆非0且有个特征值同号时，方程称为双曲型方程。定义（一致抛物型算子）方程（3.1）称为区域中是抛物型的：如果在中的每一点都是抛物型的。在中是一致抛物型的，如果对中的每一点都是抛物型的并且存在一个正常数使得个特征值同时满足或同时满足对中的所有成立。（为特征值）3.2非负最大值原理和比较原理，其中，都是的函数，若则称齐次的热传方程，否则为非齐次的热传导方程。下面一个定理给出非齐次的热传导方程的一般的最大值原理和强最大值原理。定理:(热传导方程的非负最大值原理)假如是方程（3.2）的解，且在中是一致抛物型的和,则在上的非负最大值必在的抛物边界上达到,即。若单连通且存在使得，则有。通常把称为热传导方程的最大值原理,为热传导方程的强最大值原理.从物理上看，如果物体内部没有“热源”，则在整个热传导的过程中，温度总是趋于平衡，温度最高处热量向周围传递，温度最低处的温度趋于上升，因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到。物理上的这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”。定理3.1给出了一个一般的最大值原理，然而对于一具体的问题可能所得出的最大值原理有它独特的地方，不妨看一下问题的最大值原理并给出证明。定理3.2(问题的最大值原理)如果是下面问题的解,，（3.3）而且还满足和为大于0的常数.则有证明（）首先假设;则存在一个满足（3.4）固定并且定义w函数为,t>0其中函数为热传导方程的基础解,则显然满足（3.3）式的齐次方程.适当地选取一个正数r和集合这样根据热传导方程的最大值原理有如果时，（3.5）当时.由（3.4）式知代入计算得，（3.6）其中，r的选取要使（3.6）式成立。综合（3.5）（3.6）两式并让有（）当（3.4）式不成立时，只要把区间分细，总可以找到使得式成立。另外在微分方程中与极大值原理地位同等重要的另一个原理是比较原理，下面用最大值原理给出其中一类抛物方程的比较原理证明。定理（一类反应扩散方程的比较原理）定义其中为有界域上的有界函数。如果还存在两个函数满足：初始边界上，初始边界表示为则有结论：。证明因为为有界域上的有界函数，令则有：令和代入算子可得令，则满足下式，若在内点取得非负的最大值设为有矛盾因此不存在非负最大值，即有结论成立注：和是偏微分方程描述两条曲线的变形，而且第一条曲线严格在第二条曲线内，那么这两条曲线间的距离满足极值原理。3.3抛物型偏微分方程的最大值原理的应用3.3.1最大值原理证明唯一性定理极值原理是偏微分方程理论的一个基本而且重要的结论。这个原理有助于证明解得唯一性和其它一些微分方程的性质。定理3.4（有界域上解的唯一性）设则下面的初值或边值问题至多存在一个解。证明设是满足的两个解，令代入方程得，利用定理3.1可知，结论得证。定理3.5（Cauchy问题解的唯一性）设,则至多存在一个解满足Cauchy问题并且还有和为大于0的常数.证明设是满足的两个解，令代入方程得，利用定理3.2可知，结论得证。现阶段人们研究得最多的方面是结合最大值原理运用于泛函极值和爆破问题，下面对最大值原理运用于爆破问题进行一点讨论。3.3.2最大值原理用于爆破问题为了说明爆破现象，我们首先引入爆破的定义，然后举一个例子进行说明。定义3.8（爆破）一个含有时间参数的解在有限时间内失去正规性，而产生奇性，即解的本身或某些导数在有限时间内趋于无穷，这种现象称为解的爆破。例子3.1如下非线形热传导方程的混合初值-问题求解区域是柱形区域，其侧边界为，而为中的有界区域，为其边界且适当光滑。证明当时该混合边界问题不可能在上存在整体的经典解，即在有限时间域内解发生爆破（blowup）。为了证明本问题，我们引入文献[6]中的一个定理。即定理设是下述热传导方程的边界问题的解，当满足下列条件成立时，，其中存在参数满足。则在有限的时间内爆破。现在我们来证明例3.1。证明容易验证：，，，其中取参数时因此满足定理3.6的条件，故在有限时间域内解发生爆破注：事实上，例3.1也可以采用下面的方法来证明。证明令对方程（3.13）式两端对积分可得，利用散度定理并注意到边界条件（3.14）有：，所以就可以得到，注意利用不等式有：其中表示区域的体积，代入式可得，而，若记为下述方程的问题的解显然有解，然而问题有解其中时当时就有，即解发生破裂，只有在时间区间上有局部解。因此必在有限时间内趋于无穷，从而原始混合问题的解必在有限时间内爆破。重庆邮电学院本科毕业设计(论文)4椭圆型偏微分方程的最大值原理及应用振动趋于平衡、热传导趋于稳定以及保守场等的数学描述方程可以归结为椭圆型偏微分方程的最大值原理。下面具体考虑此类方程的最大值原理及其应用。4.1椭圆型偏微分方程的基本理论为了充分展示最大值原理的应用，我们首先对相关理论进行介绍。4.1.1椭圆型方程的非负最大值原理和边界点引理定义4.（一致椭圆型算子）在点称为椭圆型的，当且仅当存在一个非负函数使得对所有的n维实数组成立。算子称为区域中是椭圆型的，如果在中的每一点都是椭圆型的。在中是一致椭圆型的，如果对中的每一点都是椭圆型的并且存在一个正常数使得对中的所有成立。定理(非负最大值原理)假设为（4.2）式的任意一个解，且满足在中是一致椭圆型的和及的系数一致有界,则u在上的非负最大值必在的边界上达到,即若单连通而且存在一点,使得则有通常把称为椭圆型方程的最大值原理,为椭圆型方程的强最大值原理注：对于一个稳定温度场，内部有热汇，那么温度的最大值必在边界达到，物理上的这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”。定理（边界点引理）如果为方程（4.2）的任一解且在中是一致椭圆型的和以及的系数一致有界,假设存在使得在内连续且满足内部球条件即存在一个球使得.如果是点任意外方向矢量,则,除非在内如果在点处的导数不存在,则外方向导数可以表示：。4.2椭圆型偏微分方程的最大值原理的应用4.2.1应用最大值原理的两个例子例4.1单位圆上的方程的边值问题：因为，显然满足椭圆型偏微分方程的最值原理，如图1所示.图1图2注：对于一个稳定温度场，内部有热汇，那么温度的最大值必在边界达到，又因为边界对称，所以在边界各点均达到最大值。例4.2最小曲面问题：在平面区域的边界上给定函数值，即给定空间一条曲线：，那么最小值问题就是求一张曲面使曲面的面积最小，数学表述为：利用变分原理可以把该问题转换为一个非线性的椭圆型偏微分方程。注：因为方程和同时成立，并且和-也同时满足方程，则解在边界可以取到最大值和最小值。又因为在边界上大于0，因此。如图2。4.2.2最大值原理推广的两个新推论定理4.1和定理4.2都要求满足的条件。我们发现取消的限制，并将定理的某些条件做相应改变，仍有一些结论，且此推广了定理4.1和定理4.2。定理4.3设为开集，而且其中算子的主部在中一致椭圆型的和的系数在U中一致有界，若在中的某内点处的值为0，则。证明令，很显然有而且有关系等式，从而乘以可得，所以，有强最大值原理可得定理4.4设为开集，而且其中算子的主部在中一致椭圆型的和的系数在U中一致有界。如果存在一个点,若，则u在P处的任何外方向的偏导数都是正的，即证明：令，从而令，则式子变为，根据题目所给条件推知存在使得，和，并且在为一个最大值，这样有使得，由于，有边界点引理可知在P处的任何外方向的导数为正。因此证毕。下面我们给出最大值原理在第三恒等式的应用。4.2.3最大值原理结合第三恒等式的应用下面考虑三维空间的方程（4.3），，（4.3）假设方程（4.3）的任一解和引入和为函数以及考虑边界条件，则它还可以表示出具体的公式形式（4.4）即为第三恒等式。，考虑下面的一般三维空间的边值问题，把最大值原理运用于第三恒等式得出一些结论。定理4.5假设是下面边值问题的一个解，为函数，运用第三恒等式和最大值原理证明下面结论。结论：若，若不全部恒等于0，则。证明设为函数也就是调和函数（事实上不要求整个区域调和可以除去一点），由定义有，（4.8）函数满足：（为到的距离，取代入（4.4）式有（4.12）（4.13）（4.14）将代入（4.12）则结论得证。由为函数的定义知道当趋近于时趋近于，作为以为中心的充分小的球，在中除了以外是正的。于是有则由非负最大值原理可知中，因此当，除无定义外。并且由边界引理知的外法向导数为负。由结论很容易推知结论：若不全部恒等于0，则。因此从上面的证明过程知下面的任意多个自变量的椭圆型方程有大于0的解。重庆邮电学院本科毕业设计(论文)5结论与展望1主要结论：前面我们详细讨论了常微分方程最大值原理、抛物型偏微分方程最大值原理、椭圆型偏微分方程最大值原理。在讨论常微分方程最大值原理中，首先讨论了二阶常微分方程的最大值原理，证明了广义最大值原理并在此基础上做了一些详细的讨论，最后给出了6个有用定理和5个简单的推论；对于抛物型偏微分方程，通过引入强最大值原理和Cauchy问题的最大值原理得到出了二种情形下解的唯一性定理，并把最大值原理应用于比较原理、爆破问题；最后讨论椭圆型偏微分方程的最大值原理，通过强最大值原理和边界点引理给出了2个新的推广结果，并将最大值原理应用于边值问题、最小曲面方程和第三恒等式。。由于双曲型偏微分方程最大值原理问题要视边界条件而定，一般来说，它是比较复杂的，所以只会出现在一些特殊的问题中，因此本文没有给出相关讨论。2后续研究工作的展望：加强对最大值原理的研究，如证明解的唯一性，估计解的范围，研究解的爆破模式，爆破速率，解的一致有界性，以及研究泛函极值等问题。3在下面一些方面拓宽它的应用：①应用最大值原理对梯度的更进一步估计，因为很多物理问题的参数与梯度的模有关②最大值原理应用于抛物型方程解的爆破问题，分析整体解得存在性和爆破时刻的上界估计，以及解得爆破率的上界估计③最值原理讨论偶数阶微分方程的周期解的存在条件，上下界估计并且构造极值解④最值原理在控制中的应用，如选择化学反应的最佳温度分布，飞行器在垂直平面内的最优上升轨迹⑤最大值原理应用于定性理论的讨论，泛函极值问题和临界点问题重庆邮电学院本科毕业设计(论文)致谢本文的研究工作是在我的导师胡学刚老师的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学业和论文的研究工作中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血。胡老师严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受的启迪。从他身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。在大学四年的学习生活中，还得到了许多领导和老师的热情关心和帮助，如朱伟、杨春德、张清华、罗燕、张杰、李玲等老师。在写这篇论文的过程中