奥数第10讲加法原理和乘法原理综合运用例题和详解

10加、乘原理综合应用10加、乘原理综合应用趣味故事加乘原理与干支纪年大家都知道20XX年是乙丑年，就是我们的“加乘原理与干支纪年大家都知道20XX年是乙丑年，就是我们的“干支纪年”法．那同学们知道它是怎么算出来的吗？我们把天干分成十个，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支共十二个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．那年份是通过怎样的排列得到的呢？下面就是排列的方法：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉；甲戌、乙亥……从“甲子”重新开始，直到“癸亥”结束．以此纪年，一个循环60年．称为“六十甲子”，或者“六十花甲”．根据这种推算，我们可以算出任意一年是什么组合喽，读完这个故事，讲给你的父母听，告诉他们我们祖辈的纪年其实是利用了奥数知识啊．能力培养思维/能力例1例2例3例4例5例6例7例8例9思维☺☺☺☺☺☺☺☺☺能力☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺教学目标本讲的两个教学要点：1．复习乘法原理和加法原理；2．培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力；在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．经典精讲生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．简单加乘原理综合运用简单加乘原理综合运用11(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；第二类，两种颜色：第三类，三种颜色：所以，根据加法原理，一共可以表示种不同的信号．(二)白棋打头的信号，后两面旗有种情况．所以白棋不打头的信号有种．［铺垫］某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有种表示法；第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有种表示法．根据加法原理，一共可以表示出种不同的信号．2(走进美妙数学花园少年数学邀请赛)如图，将2(走进美妙数学花园少年数学邀请赛)如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．因为要求“填在黑格里的数比它旁边的两个数都大”，所以填入黑格中的数不能够太小，否则就不满足条件．通过枚举法可知填入黑格里的数只有两类：第一类，填在黑格里的数是5和4；第二类，填在黑格里的数是5和3．接下来就根据这两类进行计数：第一类，填在黑格里的数是5和4时，分为以下几步：第一步，第一个黑格可从5和4中任选一个，有2种选法；第二步，第二个黑格可从5和4中剩下的一个数选择，只有1种选法；第三步，第一个白格可从1，2，3中任意选一个，有3种选法．第四步，第二个白格从1，2，3剩下的两个数中任选一个，有2种选法；第五步，最后一个白格只有1种选法．根据乘法原理，一共有种．第二类，填在黑格里的数是5和3时，黑格中有两种填法，此时白格也有两种填法，根据乘法原理，不同的填法有种．所以，根据加法原理，不同的填法共有种．加乘原理与数论加乘原理与数论3用这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数？3用这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数？无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个．而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法．方法一：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法．第二步：从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种．十位有8种，个位有7种方法．由乘法原理，共有满足条件的四位数个．方法二：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有个．第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，(让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种)第二步让其余9个数占位有种占法．所以含0的四位数有个．由加法原理，共有满足条件的四位数个．方法三：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为，其中0在千位的排列数有个，所以共有满足条件的四位数：个．［拓展］用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？分为两类：个位数字为0的有个，个位数字为2的有个，由加法原理，一共有：个没有重复数字的四位偶数．［拓展］用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为个，三位数时，为：个，由加法原理，一共可以组成个小于1000的没有重复数字的自然数．4从14从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有个．所以一共有个不含4的自然数．［巩固］从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有个数不含4．三位数只有100．所以一共有个不含4的自然数．55将1～100按照除以3的余数分为3类：第一类，余数为1的有1，4，7，…100，一共有34个；第二类，余数为2的一共有33个；第三类，可以被3整除的一共有33个．取出两个不同的数其和是3的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有种取法；第二种，从第三类中取两个数，有种取法．根据加法原理，不同取法共有：种．［铺垫］在这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2．1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有种取法．根据加法原理，共有取法：种．［拓展］三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3整除，余1余2余0的数各有1个，四类情况分别有4种、1种、1种、种，所以一共有种．6有两个骰子，每个骰子的六个面分别有16有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？方法一：要使两个骰子的点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，可以分为两步：第一步第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的3种可能的点数．根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有（种）．方法二：要使两个骰子点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，所以，可以分为两类：第一类：两个数字同为奇数．有（种）不同的情形．第二类：两个数字同为偶数．类似第一类，也有（种）不同的情形．根据加法原理，向上一面点数之和为偶数的情形共有（种）．方法三：随意掷两个骰子，总共有（种）不同的情形．因为两个骰子点数之和为奇数与偶数的可能性是一样的，所以，点数之和为偶数的情形有（种）．有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？方法一：要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数．可以分为三步：第一步，第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步，当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数还是奇数偶数都有可能所有也有6种可能的点数；第三步，当前两个骰子的点数即奇偶性都确定了之后第三个骰子点数的奇偶性就确定了所以只有3种可能的点数．根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有（种）．方法二：要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数．所以，要分两大类来考虑：第一类：三个点数同为偶数．由于掷骰子可认为是一个一个地掷．每掷一个骰子出现偶数点数都有3种可能．由乘法原理，这类共有（种）不同的情形．第二类：一个点数为偶数另外两个点数为奇数．先选一个骰子作为偶数点数的骰子有3种选法，然后类似第一类的讨论方法，共有（种）不同情形．根据加法原理，三个骰子向上一面点数之和为偶数的情形共有（种）．加乘原理与图论加乘原理与图论7用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?7用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有种．所以，根据加法原理，共有种不同的涂法［铺垫］地图上有，，，四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？有3种颜色可选；当，取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有种；当，取不同的颜色时，有2种颜色可选，仅剩1种颜色可选，此时也只有1种颜色可选(与相同)．根据乘法原理，不同的涂法有种．综上，根据加法原理，共有种不同的涂法．［注意］［拓展］将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？如右上图，当，，，的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求，，，有多少种不同涂法．按先，再，，后的顺序涂色．按的顺序涂颜色：有3种颜色可选；当，取不同的颜色时，有2种颜色可选，仅剩1种颜色可选，此时也只有1种颜色可选(与相同)，不同的涂法有(种)．所以，根据加法原理，共有种不同的涂法．8分别用五种颜色中的某一种对下图的，8分别用五种颜色中的某一种对下图的，，，，，六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？先按，，，，的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意与的颜色搭配有(种)，其中有3种和同色，有6种和异色．最后染，当与同色时有3种颜色可选，当与异色时有2种颜色可选，所以共有种染法．9在一个圆周上均匀分布109在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形)．由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之间仅相隔一个点，这样的三角形有个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形有个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有个，所以一共可以画出个钝角三角形．［铺垫］在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点再加上圆心一共11个点为端点，可以画出多少长度小于直径的线段．由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段一共有45种方法，其中包括5条直径，应当舍去，其余线段的长都小于直径，一共有40种方法．以圆心为端点的线段一共有10条，所以一共可以画出条线段．［铺垫］第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有种；第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有种；第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有种；根据加法原理，一共可以画出种．附加题1假如电子计时器所显示的十个数字是“1假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“⑴容易验证在1、2、10、11、12月内没有“十全时”．⑵3月里只有形式0321□□符合条件．其中两个方格中可以填4或5，四条横线上可以填6或7或8或9，于是共有个“十全时”．同理4、5月内也分别各有48个“十全时”．⑶6月里有两种形式：06123□□①或0621□□②符合条件．对于形式①两个方格中可以填4或5；三条横线上可以填7或8或9，于是共有个“十全时”．②两个方格中可以填3或4，或5中的任意两个数，三条横线上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一个数．于是共有个“十全时”．所以6月里共有“十全时”个．同理7、8、9月内也分别各有156个“十全时”．综上所述，20XX年一共有个“十全时”．2用红、橙、黄、绿、蓝52用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？我们来看正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）．按使用了的颜色种数分类：第一类：用了4种颜色．第一步，选4种颜色，相当于选1种不用，有5种选法．第二步，如果取定4种颜色涂于4个面上，有2种方法．这一类有（种）涂法；第二类：用了3种颜色．第一步，选3种颜色，相当于选2种不用，有（种）选法；第二步，取定3种颜色如红、橙、黄3色，涂于4个面上，有6种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄3色）．这一类有（种）涂法；第三类：用了2种颜色．第一步，选2种颜色，有（种）选法；第二步，取定2种颜色如红、橙2色，涂于4个面上，有3种方法，如下图④⑤⑥．这一类有（种）涂法；第四类：用了一种颜色．第一步选1种颜色有5种方法；第二步，取定1种颜色涂于4个面上，只有1种方法．这一类有（种）涂法．根据加法原理，共有（种）不同的涂色方式．3三条平行线上分别有23三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？(方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况⑴三个顶点在两条直线上，一共有个⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线，所以一共有：个根据加法原理，一共可以画出个三角形．(方法二)个点任取三个点有种取法，其中三个点都在第二条直线上有种，都在第三条直线上有种，所以一共可以画出个三角形．魔幻数学——页码中的数学小空最近迷上了小说，每天除了护送师傅，空闲时都要捧着一本挺厚的书读．一天，猪坚强看到正在看书的小空就走过去问道：“你看的这本书好像很长啊，有多少页？”“一共是页呢！”小空的回答里都带着自豪，“是很长，不过我每天都读，肯定能读完的！”“就怕你这只猴子没耐心啊……”猪坚强想着．“对了，最近怎么没见你和师傅讨论奥数题呢？”“说到奥数题，我今天就给你出一道，就以你看的这本书出题．”猪坚强回应道，“你刚才说这本书一共有页，那么我的问题是，所有这些页码的各位数字里面，一共有多少个、、、、呢？”那么，同学们也一起来帮小空算算吧！这也是对我们刚学会的加乘原理的综合应用哦．答案：把页码看成到，也就是说在不足三位的页码前面补上，直到补足三位．在到中，偶数和奇数出现的次数是一样的，所以、、、、出现的次数总共是（次）．而、、、、在到中出现次，从到出现次．因此，、、、、在所有页码中一共出现（次）．我与竞赛零距离（20XX年（20XX年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）由数字、、（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．排在第

个．【分析】比小的位数有和，比小的位数有（种），比小的位数有（种），比小的位数有（种），所以排在第

（个）．家庭作业**练习1*如右图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有种方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有种方法．根据加法原理，一共有种走法．**练习2*商店里有种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友．⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各种，他有几种选法？⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从种巧克力糖中选一种⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有种、种方法，因此有种方法．**练习3*用数字0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的自然数？小于1000的自然数有三类．第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，十位数有4种选法，个位数有5种选法，根据乘法原理，可组成有个；第三类是三位数，百位数有4种选法，十位数有5种选法，个位数有5种选法，根据乘法原理，可组成个自然数．根据加法原理，共可以组成个满足条件的自然数．**练习4*五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分3种情况：⑴取出一面，有5种信号；⑵取出两面：可以表示种信号；⑶取出三面：可以表示：种信号；由加法原理，一共可以表示：种信号．**练习5*如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？第一步，首