§10-3-单自由度体系的强迫振动(简谐)解析

§10-1动力计算的特点和动力自由度§10-2单自由度体系的自由振动§10-3单自由度体系的强迫振动§10-4阻尼对振动的影响§10-5两个自由度体系的自由振动§10-7两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动§10-11近似法求自振频率第10章结构的动力计算▲结构的刚、柔度系数复习

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§10-3单自由度体系的强迫振动一、列振动微分方程mEIl/2l/2δEI1FP(t)I(t)1.刚度法2.柔度法动平衡方程：位移方程：即：即：（动荷载即干扰力F(t)）动荷载惯性力二、简谐荷载mtFyyqwsin2=+&&1.振动方程2.微分方程通解（数学步骤略）

齐次通解

特解由初始条件：得得伴生自由振动部分，因阻尼，会很快消逝纯受迫振动（瞬态）（稳态）3.纯受迫振动——

F

作为静力引起的静位移——放大系数若干扰力作用在质量运动方向上，则位移、动力放大系数相同。

（这里是位移放大）只有干扰力与质量运动方向共线，才有相同的位移、动力放大系数β●结构的最大动荷载动位移●结构的最大应力位移（自重引起）4.稳态的重要特性——惯性力与干扰力两者同步、同频、同达幅值。证明：与干扰力相比较即证（1）θ<ω5.讨论当(θ/ω)→0时,β→1(荷载变化很慢，可当作静荷载处理)

当0

<(θ/ω)<

1时,β>1，（β随θ的增大而增大）（2）θ→ω

振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75<(θ/ω)<1.25称为共振区。（3）θ>ω（β随θ的增大而减小，当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。）m1mPsinθt解：6.例题[例1]在悬臂梁上有一电动机，干扰力P

sinθt，P

=4.9kg，n=1200转/分。I

=78cm4、E

=2.1×106kg/cm2。电动机质量123kg。求：振幅、最大弯矩。1）求放大系数（柔度法）统一量纲N.m

4）最大动弯矩2）动力荷载幅值所引起的静位移3）振幅(最大动力位移)5）最大弯矩m1mPsinθt[例2]已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,P=20kN,

θ=80s-1,求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求yDmax

，

MDmax

（柔度法）[例3]求刚架的振幅、柱中剪力和弯矩幅值。

EIEIlmPsinθt16EI/l2解：（单位弯矩图）（刚度法）振幅:剪力:弯矩:[例4]列出体系的振动方程，求点1的位移放大系数和点0的弯矩放大系数，并加以比较。mFsinθt解：（柔度法）1

2

1）求1

2

11

2

12）列振动方程整理得：其中：0

(注意:干扰力不作用于质点）惯性力动荷载3）求位移放大系数解振动方程得：位移放大系数：4）求弯矩放大系数加速度：静力F作用于2点时：0点最大动弯矩：位移放大与内力放大系数不相同。[例5]一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN,P

的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：1）求自振频率和荷载频率

2）求动力系数β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.35对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。325149.2ω与θ接近,动力系数大,需调整设计.必须