2.3.1-2.3.2-空间直角坐标系的建立-空间直角坐标系中的坐标-课件(北师大必修2)

[读教材·填要点]1．空间直角坐标系

(1)右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，四指先指向

正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向

正方向，此时大拇指指向

正向，这样的坐标系称右手系．x轴y轴Z轴(2)坐标系中相关概念．如图所示的坐标系中，

叫作原点，

轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为

、

、

．x，y，zxOy平面yOz平面zOx平面O2．空间直角坐标系中点的坐标

(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是

坐标，第二个是

坐标，第三个是z坐标．

(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了

的关系．xy一一对应[小问题·大思维]1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成

夹角为90°？提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．[研一题]

[例1]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．

[自主解答]如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．[悟一法]

1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．[通一类]1．如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E

是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，

试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的

坐标．[研一题][例2]求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[自主解答]如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB.则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)．A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．[悟一法][通一类]2．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适

当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如右图)．正四棱锥S－P1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．

[错解]

如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．显然A(0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，

B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，

A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．[错因]因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC