2.2周期信号与离散频谱汇编VIP

2.2周期信号与离散频谱

2.2.1周期信号的傅里叶级数三角函数展开2.2.2周期函数的奇偶特性2.2.3周期信号的傅里叶级数复指数函数展开2.2.4傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系2.2.5周期信号的强度表述返回2013年9月1/46页在有限区间上，任何周期信号，只要满足狄里赫利(Dirichlet)条件，都可以展开为傅里叶级数的三角函数展开式：余弦分量的幅值正弦分量的幅值式中：常值分量2.2.1周期信号的傅里叶级数三角函数展开2013年9月2/46页在一周期内，函数如果满足：狄里赫利(Dirichet)条件:连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点。我们称这样的信号满足狄里赫利(Dirichet)条件。只有满足狄里赫利(Dirichet)条件的信号才可以应用上述傅里叶级数展开式。一般的周期信号均满足上述条件，较为典型的不满足狄氏条件的信号我们还将以例题的形式进行讲解。(不要求自己去证明)P172013年9月3/46页前面所得到的傅里叶级数展开式:可以写成另外的形式：其中：这是傅里叶级数三角函数展开式的另外一种写法，与前述公式完全相同。与教材的上公式写法上不同，但实质上是一样的2013年9月4/46页前面所得到的傅里叶级数展开式可以写成另外的形式。其中：这是另外一种写法，思想与教材相一致。将之称为第二种写法吧。2013年9月5/46页……0tx(t)例:方波信号的频谱描述在时域中该周期方波的表达式为:解由图可见，这是一个周期信号，满足狄氏条件（不证）可以应用傅里叶级数展开。只需应用前面讲过的公式计算各系数即可。P20例2.3与之类似2013年9月6/46页……0tx(t)2013年9月7/46页将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。与教材相一致的写法2013年9月8/46页将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。{第二种写法（正弦）}2013年9月9/46页在工程中为了更加形象地描述信号，常采用绘图的方式。幅频谱相频谱①只包括基波及各奇次谐波，偶次谐波为0；②谐波的幅值以的规律衰减。由表达式可以看出，不会出现负值。4A

4A3

4A5

0

A(

)

03

05

0幅值谱相位谱0

03

05

0qn(

)

/22013年9月10/46页x(t)0tT0n=1n=3n=52013年9月11/46页%%%周期方波的分解clearall;closeall;tic;A=5;f0=1;omiga_0=2*pi*f0;t=0:0.01:2;figure;S=0;%N=10001;%这个变量可以修改N=17000fori=1:2:N

part=4.*A/pi./i*sin(i.*omiga_0*t);h1=plot(t,part);%,'[0.1.*i,0.1.*i]','b');set(h1,'linewidth',2);holdon;S=S+part;i=i+1;endholdon;h2=plot(t,S,'r');set(gca,'fontsize',16,'fontweight','bold')set(h2,'LineWidth',5);gridontoc;MATLAB演示程序：(周期方波分解)2013年9月12/46页周期方波信号的时、频域描述4A

4A3

4A5

0

A(

)

03

05

0幅值谱相位谱0

03

05

0q

(

)

/22013年9月13/46页例:画出教材式2-3所示信号的三角频谱图。+=2013年9月14/46页x1(t)=10sin(2p·

3·t+p/6)x2(t)=5sin(2p·

2·t+p/3)x3(t)=10sin(2p·

3·t+p/6)+5sin(2p·

2·t+p/3)

+=答案：A(w)-wq(w)-wA(w)-wq(w)-w+A(w)-wq(w)-w=2013年9月15/46页若周期函数x(t)为奇函数，即x(t)=-x(-t)2.2.2周期函数的奇偶性若周期函数x(t)偶函数，即x(t)=x(-t)2013年9月16/46页分析：若x(t)为奇函数，则有若x(t)为偶函数，则有可见这些系数并不需要都去求，如果不掌握可能出差错的。这里分部积分法应用得较多，请多做练习。应用傅里叶级数的三角函数展开式得到的是周期信号的单边频谱。奇偶性小总结：2013年9月17/46页例2.2周期性三角波的傅氏级数。x(t)0T0/2-T0/2At解该三角波在时域中表达式为：奇偶？？2013年9月18/46页x(t)0T0/2-T0/2At$$$$$$$$$$自己做一遍！2013年9月19/46页将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。2013年9月20/46页

20

03

05

0

(

)相频谱A(

)4A

24A9

24A25

20

03

05

0A2幅频谱2013年9月21/46页4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0方波幅值谱4A

24A

9

24A

25

20

03

05

0

A

2三角波幅频谱A(

)2013年9月22/46页利用欧拉公式可推导出如下两式：实际是两式：代入：2.2.3周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开式2013年9月23/46页整理，周期信号可以写为：P20式222013年9月24/46页按实频谱和虚频谱形式幅频谱和相频谱形式利用它们与频率间的关系做图：幅频谱图实频谱图虚频谱图相频谱图双边频谱其中：2013年9月25/46页……0tx(t)例方波信号应用傅里叶级数的复指数形式进行频谱描述在时域中该周期方波的表达式为解=02013年9月26/46页这种写法是数学上的经验，有点难度。2013年9月27/46页幅值谱2A

2A3

2A5

0

A(

)

03

05

02A

2A3

2A5

-

0-3

0-5

0相位谱0

j(

)

03

05

0-

0-3

0-5

02013年9月28/46页AA/2

0-

00Re

-

负频率的说明Im

负频率“负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数；从向量旋转的角度：一个向量的实部可以看成两个旋转方向相反的矢量在其实轴上的投影之和，虚部为其在虚轴上的投影之差。在傅里叶级数的复指数函数表达式中的频率范围为也就是出现了“负频率”。我们来看一下负频率是什么含义。所以负频率仅是向量的旋转方向不同而已，没有其它的特殊含义。2013年9月29/46页例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。解：由欧拉公式将正弦函数写为正弦波用正弦波说明负频率的含义：2013年9月30/46页余弦波由欧拉公式将余弦函数写为：2013年9月31/46页1x(t)=sin

0tt0cnR0

0-

0

0

-

0-1/2cnI0

0-

0双边幅频谱1x(t)=cos

0t0tcnR0

0-

01/21/2

01/2cnI0

0-

0

0

0-

01/21/21/21/2An0

0

1单边幅频谱An0

0

1单边幅频谱双边幅频谱2013年9月32/46页例2-3：画出的频谱幅值频谱图1.三角频谱(正弦形式)相位频谱图单边双边2013年9月33/46页幅值频谱图1.三角频谱(余弦形式)相位频谱图2013年9月34/46页在-f0处：即n=-1时实频图虚频图双边幅频图双边相频图2.复指数频谱在f0处：即n=1时2013年9月35/46页2.2.4傅立叶级数复指数与三角函数展开的关系2013年9月36/46页=>CnR＝an/2，CnI＝-bn/2

C0=a0=>2013年9月37/46页三角函数展开表达式复指数展开表达式常值分量a0=C0复指数常量C0=a0余弦分量幅值an=2CnR复数Cn的实部CnR=an/2正弦分量幅值bn=-2CnI复数Cn的虚部CnI=-bn/2振幅An=2|Cn|复数Cn的模|Cn|=An/2相位qn=arctan(bn/an)相位jn=arctan(bn/an)傅立叶级数的复指数与三角函数展开的关系2013年9月38/46页几点结论复指数函数形式的频谱为双边谱（

从-

到+

）两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数一般周期函数的复指数傅氏展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。通过以上分析及举例，可以得出以下几点结论：2013年9月39/46页周期信号的频谱是离散谱；（离散性）每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；（谐波性）综上所述，周期信号频谱的特点如下：4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0方波幅值谱4A

24A

9

24A

25

20

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0

A

2三角波幅频谱A(

)2013年9月40/46页一般周期信号展开成傅氏级数后，在频域上是无限的，但从总体上看，工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。（收敛性）4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0方波幅值谱4A

24A

9

24A

25

20

03

05

0

A

2三角波幅频谱A(

)2013年9月41/46页2.2.5周期信号的强度表述峰值XF

绝对均值m|x|

有效值Xrms

平均功率Pav1、峰值XF一个周期内信号出现的最大瞬时幅值的绝对值。峰—峰值XF-F一个周期内信号出现的最大瞬时值与最小瞬时值之差。峰值作用：正确估计测试系统的动态工作范围，不至于产生削波现象，从而能真实地反映被测信号的最大值。x(t)0tT0XFXrmsmxXF-F2013年9月42/46页均值：——信号的常值分量2、均值mx与