1数学数理方程建立讲解

数学物理方程与特殊函数2015年3月

数学物理方程通常是从物理问题导出的函数方程，主要是偏微分或积分方程。它描述了许多自然界的物理现象，并能解决生产及科学技术上的重要问题。其处理问题的大致步骤是：1、将物理问题根据有关定律建立数学模型，即定解问题（泛定方程+定解条件）2、解定解问题3、对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并解释解得物理意义。

1、波动方程

2、输运方程3、稳定场方程

除这些典型方程外，由于研究对象和目的不同，还有其他形式。数学物理方程按照所代表的物理过程一般分为三类：第一章典型方程与定解条件一、弦的微小横振动方程的建立

本节以弦振动为例，讨论如何把物理规律转化为数学物理方程，要求掌握这种方法.

数学物理方程的导出步骤为：

1、确定研究的物理量u.2、从研究的系统中任取一部分，根据物理规律分析邻近部分和这小部分的相互作用，并略去不重要的因素.3、将相互作用在短时间内如何影响物理量u，用算式表达出来.

4、化简整理得数学物理方程.

设弦的长度为，密度为，把它绷紧固定在上，在不振动时是一条直线，取直线的方向为x轴，如图所示，当它在平衡位置附近作垂直于x

轴的微小振动时，研究弦上各点的位移u与坐标x及时间t的关系即

(2)其中是横向加速度，对于小振动，

令时，则有其中：令

当无外力作用：说明：设弦是完全柔软的弹性体无弯曲刚度，所以张力总是沿着弦线振动的切线方向.

即便设在振动时弦的截面的变化可忽略不计，弦的线密度满足下式：

均匀杆纵振动方程建立设杆的截面积为S,杨氏模量为E，用表示在X位置在t时刻杆的纵向位移。杆的应变（相对伸长）为：杆的轴向应力与轴向应变：设杆的横截面在振动过程中始终保持为平面，即每一截面内诸质点仅沿杆的轴线运动。实际上，由于纵向伸长或压缩横向是有变形的，但假设纵波的波长比杆的横截面积大，横向位移对纵向运动影响可以忽略。根据牛顿第二定律：膜的横振动方程设膜是均匀的；膜是柔软的弹性体，其张力总是在膜的切平面内；膜的重量与张力相比忽略；膜作微小振动，即膜的偏移与直径相比小得多；振动时膜上任意点沿任一方向的斜率小于1；只作横振动。考虑膜上任意微元，采用隔离法受力分析设表示膜相对于平衔位置(在xy平面内)的垂立方向的位移。可以完全仿照弦的横振动方程的建立过程中的推导研究微元质量T为单位长度张力，则在X方向受到的切向张力

的横向（垂直）分量为：

在Y方向受到的切向张力的横向（垂直）分量

电报方程

在非常长的两条平行传输线(或同轴电缆)的输入端加上交变电源时，线间电压和线间电流的分布可由图所示的等效电路求得，因中L、R、C、G分别为往返线路每单位长度的电感、电阻、静电电容和漏电导的值。若设传传输线(或电缆)是均匀的，则这些值可视作常数。例如通信电缆在20℃时R=56Ω/km，L=0.7mL/km，C=0.36PF/km，G=o.6S/km。由于输入端交变电源(或交变讯号)，所以电压及电流将沿着传输线的长度X变化，通常还是时间T的函数。下面我们来确立分布于传输线上的电压与电流所满足的数理方程。用由于存在线间漏电，在研究微元左端与右端电流不相等，由于导线电阻和电感，电压也发生变化。由于高频作用（不考虑超高频）讨论：

(1)无损耗线如果R和G很小，我们可以忽略损耗，这种传输线称为无损耗线。在高频情况下，若也可视作无损耗线，即。这时电报方程将简化为:(2)无失真线当信号无失真线传播时，不会发生畸变(失真)现象，因此也是一种理想的长传输线。无失真的条件为RC＝LG，这时电报方程简化为:(3)无漏导．无电感线如果传输线的G和L都可忽略不计，即G=L=0(同轴电缆情况可这样认为）则有均匀梁的横振动方程建立：几个名词：一般说当梁受垂直于轴线的外力．或在其轴线平面内有外力偶作时．梁的轴线将由直线变为曲线。以轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲。作用在梁上的外力，包括载荷与支反力，最常见的载荷个以下三种。(1)集中载荷通过微小梁段作用在梁上的横向力。例如作用在火车轮袖上的外力P。(2）集中力偶通过微小梁段作用在梁轴平面内的外力偶(3)分布载荷沿梁全长或部分长度连续分布的横向力。分布载荷的大小用载荷集度友示。设梁段Δx上的分布载荷为Δp,载荷集度

梁弯曲时横截面上必然同时存在两种内力分量：剪力Q与弯矩M。凡企图使微段沿顺时针方向转动的剪力为正；使微段弯曲呈凹形的弯矩为正。

剪力、弯矩与裁荷集度间的微分关系上述关系式表明：剪力图某点处的切线率等于相应截面处的载荷集度；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面处的剪力；而弯矩图某点处的二阶导数，则等于相应截面处的载荷度。

弯构变形的结果如图，横截面mn和pq彼此相对地绕垂直于xy平面的轴线旋转，因面在梁的凸侧上的纵向纤维伸长，而凹侧的纵向纤维缩短．因此，梁的上部的纤维受压，而底部的纤维受拉．

变形之后，两个相邻横截面mn和pq平面交于O点处，该点为梁的纵轴的曲率中心。这两平面之间的夹角用表示，曲率半径用表示则：由材料力学知识有：其中M称为湾矩，E为杨氏模量，I为惯性矩，Q为剪力

当梁发生微小振动时，绕度很小，挠度曲线将是很平坦的。其角和曲线的斜度均为很小的量，假设由如果梁的横振动振幅较大，则挠度曲线斜度较大利用材料力学公式：真空中的电磁波方程真空中麦克斯韦方程微分形式第二节热传导方程与扩散方程一、热传导方程在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物质。假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交换，研究物体内部温度的分布规律。物理模型：均匀物体：物体的质量密度为常数，设为各向同性：物体的比热和热传导系数均为常数设为

由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫作热传导.热传导的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的热量”表示，这叫做热流强度，记作热传导的起源是温度的不均匀，温度不均匀可用温度梯度表示．根据实验结果，热传导定律是

k—热传导系数数学模型的建立设：u(x,y,z,t)表示物体于时刻t在位置

x,y,z处的温度C

表示是比热

(焦耳/度·千克)f0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克·秒)

表示密度

(千克/米3)，k

表示导热系数数学模型二维的情形：一维的情形：其中：a2=k/C，f(x,y,z,t)=f0/C，

当研究对象内部没有热源，即

其热传导方程为：二、扩散方程的建立由于浓度(单位体积内的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象叫做扩散。扩散运动的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的原子或分子数”表示，这叫做扩散强度，记作.扩散运动的起源是浓度不均匀，浓度不均匀的程度可用浓度梯度表示，根据实验结果，扩散定律为：

(负号表示扩散转移的方向为浓度减少的方向)，D为扩散系数．在扩散问题中研究的是浓度在空间中的分布及在时间中的变化，仿照热传导问题，可导出扩散方程物理模型考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻t的分布规律。数学模型其中：u(x,y,z,t)表示于时刻t在(x,y,z)

处的物质浓度f(x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的物质量D为扩散系数描述扩散运动有两个基本定律：

1、质量守恒定律；2、菲克定律将菲克定律表达式代入：若三维空间中各向均匀、同性物体，则D为常数非饱和土壤水运动方程建立1、非饱和土壤水流动的达西定律q为单位时间内通过单位面积土壤的水量

式中，z前的正负号，视z坐标的方向而定，z坐标向上为正时取正号，z坐标向下为正时取负号．在直角坐标系中，达西定律沿三个方向的表达式为：根据物质量守恒：将q代人得到：由于导水率一般是含水率的函数，因此方程是比较复杂的，求解一般是困难的。一般采用数值求解。方程的几种形式：1、以基质势为因变量的基本方程非饱和土壤导水率k和比水容量C均可表示为土壤含水