考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷10（共75题）

考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷10（共5套）（共75题）考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、确定a，b，使得当x→0时，a—cosbx+sin3x与x3为等价无穷小．标准答案：a=1，b=0知识点解析：暂无解析2、设f(x)是满足的连续函数，且当x→0时，∫0xf(t)dt是与xn同阶的无穷小量，求正整数n．标准答案：由可知：即当x→0时，f(x)是x2的同阶无穷小．对n>0，有由此可见，当n=3时，就有所以，n=3．知识点解析：关于无穷小量的比较，有下面一般性的结论：(1)当x→a时，若f(x)是g(x)的同阶无穷小，g(x)是h(x)的同阶无穷小，则当x→a时，f(x)也是h(x)的同阶无穷小．(2)当x→a时，若连续函数f(x)是x－a的n阶无穷小，则∫axf(t)dt必为(x－a)的n+1阶无穷小．(3)当x→a时，g(x)是(x一)的n阶无穷小，当u→a时，f(u)是u的m阶无穷小，则f[g(x)]必是(x一a)的nm阶无穷小．3、设n阶矩阵A和B满足等式AB=aA+bB，其中a和b为非零实数。证明：(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆；(Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆；(Ⅲ)AB=BA。标准答案：(Ⅰ)由AB=aA+bB得到(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，从而A-bE和B-aE都可逆。(Ⅱ)由AB=aA+bB得，A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆，b不为0，那么A可逆(B-aE)可逆bB可逆b可逆。(Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE，得，根据逆矩阵的定义，从而有即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式两端展开并化简，结合已知条件AB=aA+bB，得AB=BA。知识点解析：暂无解析4、设非齐次线性方程组Aχ＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为χ＝k1η1＋…＋kn-r+1ηn-r+1(其中k1＋…kn-r+1＝1)．标准答案：设χ为Aχ＝b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn-r+1线性无关且均为Aχ＝b的解．取ξ1＝η2－η1，ξ2＝η3－η1，…，ξn-r＝ηn-r+1－η1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次方程Aχ＝0的解．下面用反证法证：设ξ1，ξ2，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln-r使得l1ξ1＋l2ξ2＋…＋ln-rξn-r＝0，即l1(η2－η1)＋l2(η3－η1)＋…＋ln-r(ηn-r+1－η1)＝0，亦即－(l1＋l2＋…＋ln-r)η1＋l1η2＋l2η3＋…＋ln-rηn-r+1＝0．由η1，η2，…，ηn-r+1线性无关知－(l1＋l2＋…＋ln-r)＝l1＝l2＝…＝ln-r＝0，与与l1，l2，…，ln-r不全为零矛盾，故假设不成立．因此ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，是Aχ＝0的一组基．由于χ，η1均为Aχ＝b的解，所以χ－η1，为Aχ＝0的解，因此χ－η1，可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，一线性表示，设χ－η1＝k2ξ1＋k3ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r＝k2(η2－η1)＋k3(η3－η1)＋…＋kn-r+1(ηn-r+1－η1)，则χ＝η1(1－k2－k3－…－kn-r+1)＋k2η2＋k3η3＋…＋kn-r+1ηn-r+1＝0，令k1＝1－k2－k3－…－kn-r+1，则k1＋k2＋k3＋…＋kn-r+1＝1，从而χ＝k1η1＋k2η2＋…＋kn-r+1ηn-r+1恒成立．知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、设a，b，c为非零常数，求以曲线为准线，母线平行于l=(a，b，c)的柱面S的方程．标准答案：1°过点(x0，y0，0)，以l=(a，b，c)为方向向量的直线方程是x=x0+ta，y=y0+tb，z=tc，→cx0=cx一az．cy0=cy—bz→这些直线即柱面S上的点(x，y，z)满足F(cx0，cy0)=F(cx一az，cy—bz)=0．即S上点(x，y，z)满足F(cx一az，cy—bz)=0．2°设(x0，y0，z0)满足方程F(cx0一az0，cy0—bz0)=0，要证(x0，y0，z0)在柱面S上．令→(x2，y2，0)在准线上j(x0，y0，z0)在直线上．该直线的方向向量→(x0，y0，z0)在柱面S上．因此，柱面S的方程是F(cx一az，cy—bz)=0．知识点解析：暂无解析8、设随机变量X的分布函数为求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(χ)．标准答案：P{0．4＜X≤1．3}＝F(1．3)－F(0．4)＝(1．3－0．5)－＝0．6，P{X＞0．5}＝1－P{X≤0．5}＝1－F(0．5)＝1－＝0．75，P{1．7＜X≤2}＝F(2)－F(1．7)＝1－1＝0；知识点解析：暂无解析9、计算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1一x}}．标准答案：如图6一13所示，在极坐标中知识点解析：暂无解析10、设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。标准答案：(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0.α1，Aα2=0.α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。(Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2-再将α，β2，β2单位化，得令Q=(η1，η2，η3)，则Q-1=QT，且QTAQ==Λ。知识点解析：暂无解析11、设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，－1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．标准答案：由r(A)=1，知AX=b的通解应为k1ξ1+k2ξ2+η，其中对应齐次方程组AX=0的解为ξ1=(η1+η2)－(η2+η3)=η1－η3=[－1，3，2]T，ξ2=(η2+η3)－(η3+η1)=η2－η1=[2，－3，1]T．因ξ1，ξ2线性无关，故是AX=0的基础解系．取AX=b的一个特解为η=(η3+η1)=[0，1，0]T．故AX=b的通解为k1[－1，3，2]T+k2[2，－3，1]T+[0，1，0]T，k1，k2为任意常数．知识点解析：暂无解析12、求函数μ=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的点(x0，y0，z0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?标准答案：球面x2+y2+z2=1在点(x0，y0，z0)处的外法向量为n=｛2x0，2y0，2z0｝，知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=．13、求随机变量X，Y的边缘密度函数；标准答案：fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy．当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫0＋∞2e－(x+2y)dy=e－x∫0＋∞e－2yd(2y)=e－x，则fX(x)=．fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx，当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫0＋∞2e－(x＋2y)dx=2e－2y∫0＋∞e－xdx=2e－2y，则fY=．知识点解析：暂无解析14、判断随机变量X，Y是否相互独立；标准答案：因为f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以随机变量X，Y相互独立．知识点解析：暂无解析15、求随机变量Z=X+2Y的分布函数和密度函数．标准答案：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+2Y≤z)=f(x，y)dxdy，当z≤0时，FZ(z)=0；当z＞0时，知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设AB是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A-1B＝B－4E．证明A－2E可逆．标准答案：用A左乘2A-1B＝B－4E两侧得2B＝AB－4A．即(A－2E)B＝4A．由A可逆，得A－2E可逆．知识点解析：暂无解析2、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．标准答案：令F(x)=x∫1xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=1．∫11f(t)dt=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即∫1ξf(t)dt+ξf(ξ)=0，故ξf(ξ)一∫ξ1f(x)dx=0．知识点解析：欲证ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx=>xf(x)=∫x1f(t)dt，如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，则F(0)=0f(0)一∫01f(t)dt出≤0，F(1)=1．f(1)－∫11f(t)dt=f(1)≥0，难以验证F(x)在[0，1]上有F(0)<0，F(1)>0．于是，可作辅助函数F(x)，使得F’(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，即F’(x)=[x∫1xf(t)dt]’，即F(x)=x∫1xf(t)dt，再用洛尔定理证明．用辅助函数法证明存在点ξ，使得F(ξ)=0，若将待证结论中的ξ换为x不能作为辅助函数时，可考虑用其原函数作为辅助函数．3、求曲线x=acos3t，y=asin3t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积．标准答案：如图3．29，曲线关于y=±x对称，只需考察t∈一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(x(t)，y(t))=(acos3t，asin3t)，它到直线y=x的距离为l(t)=．曲线微元的弧长ds==3a｜sintcost｜dt，它绕y=x旋转所得曲面微元的面积为dS=2πl(t)ds=2π．3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为知识点解析：暂无解析4、计算(1)∑为的上侧．(2)∑为上半椭球面(z≥0)的上侧．标准答案：(1)2π，(2)2π知识点解析：暂无解析5、求两曲面x2+y2=z与一2(x2+y2)+z2=3的交线在xOy平面上的投影曲线方程。标准答案：在方程组中消去z，得(x2+y2)2一2(x2+y2)一3=0，等价变形为(x2+y2—3)(x2+y2+1)=0，即有x2+y2=3，故所求投影曲线方程为知识点解析：暂无解析6、已知平面П：x－4y+2z+9=0，直线L：试求在平面П内，经过L与П的交点且与L垂直的直线方程．标准答案：(Ⅰ)先求L的方向向量(Ⅱ)求L与П的交点M0．由解得M0(x，y，z)=(－3，－1，－5)．(Ⅲ)所求直线的方向向量L1=l×n所求直线方程为或求出过L与П的交点M0且与L垂直的平面方程，它是2(x+3)+3(y+1)+2(z+5)=0，即2x+3y+2z+19=0．于是，所求直线方程为知识点解析：暂无解析7、已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分标准答案：将二重积分转化为累次积分可得首先考虑，注意这里是把变量y看作常数，故有由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=fx(x，1)=0。故所以对该积分交换积分次序可得再考虑积分注意这里是把变量x看作常数，故有因此知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析9、已知随机变量X的概率密度(I)求分布函数F(x)；(II)若令Y＝F(X)，求Y的分布函数FY(y)·标准答案：直接应用F(x)＝P{X≤x}，FY(y)＝P｛F(X)≤y｝求解．(Ⅱ)令Y＝F(X)，则由0≤F(x)≤1及F(x)为x的单调不减连续函数知(如图2．1)，当y<0时FY(y)＝0；当y≥1时，FY(y)＝1；当0≤y<[*284]时!FY(y)＝P{F(X)≤y}＝P{F(X)≤0}＋P{0Y(y)＝P{F(X)≤y}＝P｛F(X)≤0｝＋P｛0－1(y)}知识点解析：暂无解析10、假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=。求：(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。标准答案：(Ⅰ)根据题意P{Y=-1}=，P{Y=1}=，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=I}=P{Y=-1}P{-X≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z}即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为(Ⅱ)由于V=｜X-Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P{X-Y≤v}=0；当v≥0时，FV(v)=P{-v≤X-Y≤v}=P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=-1}+P{Y=1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=1}综上计算可得，由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为知识点解析：暂无解析11、设二维正态随机变量(X，y)的概率密度为f(x，y)，已知条件概率密度fX｜Y(x｜y)=求：(1)常数A和B；(2)边缘概率密度fX(x)和fY(y)；(3)f(x，y)．标准答案：(1)由性质∫－∞+∞fX｜Y(x｜y)dx=1可以定出常数A，也可以更简单地把看成形式－∞＜x＜+∞．(2)从而将x，y的函数分离．(3)f(x，y)=fX｜Y(x｜y).fY(y)．(1)知识点解析：暂无解析设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．12、求A的其他特征值与特征向量；标准答案：因为A的每行元素之和为5，所以有3218，即A有特征值λ2=5，对应的特征向量为．又因为AX=0有非零解，所以r(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值0对应的特征向量为，根据不同特征值对应的特征向量正交得知识点解析：暂无解析13、求A．标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求函数的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，在x=1处没有定义，且极限不存在，故x=1是函数F(x)的振荡间断点．当x＜0时，k=0，1，2，…处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对于点有故是函数F(x)的可去间断点；而点k=1，2，…显然是函数F(x)的无穷间断点．知识点解析：暂无解析2、解齐次方程组标准答案：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由n-R(A)=4-2=2，基础解系由2个向量组成，每个解中有2个自由变量。令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2。令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=-22。得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(-22，0，15，2)T，因此通解是k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析3、设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞-f(x)，∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．标准答案：要证f(x)＞0，exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)，exf(x)在[0，+∞)单调上升exf(x)＞exf(x)|x=0=0(x＞0)，f(x)＞0(x＞0)．知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)≤a，｜f"(x)≤b．苴中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点．证明｜f’(c)≤2a+．标准答案：对f(x)在x=c处应用泰勒公式展开，可得f(x)=f(c)+f’(c)(x—c)+(x—c)2(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0＜θ＜1．在(*)式中令x=0，则有知识点解析：暂无解析5、已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，证明α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是该方程组的一个基础解系．标准答案：根据A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝0＋0＝0可知，α1＋α2是方程组Aχ＝0的解．同理可知α2＋α3，α1＋α3也是Aχ＝0的解．假设k1(α1＋α2)＋k2(α2＋α3)＋k3(α1＋α3)＝0，则(k1＋k3)α1＋(k1＋k2)α2＋(k2＋k3)α3＝0，因为α1，α2，α3是基础解系，它们是线性无关的，因此由于此方程组系数行列式D＝＝2≠0，则有后。k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3线性无关．根据题设，Aχ＝0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是方程组Aχ＝0的基础解系．知识点解析：暂无解析6、作自变量与因变量变换：u＝x＋y，v＝x—y，w＝xy—z，变换方程为w关于u，v的偏导数满足的方程，其中z对x，y有连续的二阶偏导数．标准答案：由于z＝xy—w，则知识点解析：暂无解析7、求．标准答案：知识点解析：暂无解析8、求．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy。(Ⅰ)设M(x0，y0)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式；(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。标准答案：(Ⅰ)函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向(Ⅱ)求g(x，y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点与求g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)，则有联立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。若y=-x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。若y=x，则由(3)式得x2=75，即。于是得可能的条件极值点M1(5，-5)，M2(-5，5)，。现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy在这些点的函数值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点。知识点解析：暂无解析10、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析11、验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装．统计资料表明，每箱最多有2只残品，且含0，1，2件残品的箱各占80％，15％，5％．现在随意抽取一箱，随意检验其中4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换．试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率．标准答案：(1)设Ai={抽取的一箱中含有i件次品)(i=0，1，2)，则A0，A1，A2构成完备事件组，且P(A0)=0．8，P(A1)=0．15，P(A2)=0．05．设B={一次通过验收}，则(2)由贝叶斯公式得知识点解析：暂无解析12、求微分方程的通解．标准答案：此为齐次方程，只要作代换即得原方程通解为其中C为任意正常数．知识点解析：暂无解析一种资产在未来的支付事先是未知，这样的资产称为风险资产．设一种风险资产未来的支付为X，它的取值依赖于未来的自然状态，设未来所有可能的自然状态为Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5}，X对状态的依赖关系如下：13、如果在未来我们观察到该资产的支付为2，那么我们能够断定哪些事件一定发生了，哪些事件一定没有发生，举例说明不能确定哪些事件是否发生；标准答案：{ω3，ω4，ω5}，Ω两个事件发生了，{ω1，ω2}，?两个事件没有发生，{ω3}，{ω4}，{ω5}，{ω3，ω4}，{ω3，ω5}，{ω4，ω5}等事件是否发生不能确定；知识点解析：暂无解析14、在未来，观察X的取值能够确定是否发生的事件有哪些?标准答案：{ω1，ω2}，{ω3，ω4，ω5}，?，Ω等事件通过观察X的取值一定能知道是否发生了．知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…，是[a，b]上一个点列，求标准答案：由f(x)在[a，b]上连续知，ef(x)在[a，b]上非负连续，且0f(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由根据夹逼准则，得知识点解析：暂无解析2、证明下列不等式：标准答案：(Ⅰ)设f(x)=，则f(x)在区间[0，1]上连续，且可见函数f(x)在点x=处取得它在区间[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，从而知识点解析：暂无解析3、已知3阶矩阵有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．标准答案：(1)求a．A的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：①2是二重根，即2是λ2一8λ+18+3a的根，即4一16+18+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6．②2是一重根，则λ2一8λ+18+3a有二重根，λ2一8λ+18+3a=(x一4)2，求出a=一2／3．此时三个特征值为2，4，4．(2)讨论A是否相似于对角化矩阵．①当a=一2时，对二重特征值2，考察3一r(A一2E)是否为2?即r(A一2E)是否为1②当a=一2／3时，对二重特征值4，考察3一r(A一4E)是否为2?即r(A一4E)是否为1．r(A一4E)=2，此时A不相似于对角矩阵。知识点解析：暂无解析4、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：(1)直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a，a2)．知识点解析：暂无解析5、设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得f’(ξ)=f’(η)．标准答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，ヨ∈η(a，b)，使将②式入①式，即得知识点解析：暂无解析6、设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，在X=x(一∞＜x＜+∞)的条件下，随机变量Y服从正态分布N(x，1)．求在Y=y条件下关于X的条件概率密度．标准答案：依题意，X的概率密度为在X=x的条件下，关于Y的条件概率密度为根据条件概率密度的定义可得X与Y的联合概率密度为根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，Y)的边缘分布是一维正态分布，于是Y的概率密度为从上面式子可以看出，在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布知识点解析：暂无解析7、求极限标准答案：方法一(分子有理化)：方法二(等价无穷小代换)：当x→0，y→0时，则知识点解析：暂无解析8、求函数f(x，y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值。标准答案：先求D内的驻点及相应的函数值，由得f(x，y)在D内有一个驻点=2。再求f(x，y)在D的边界上的最大值与最小值，D的边界由三部分组成：一是线段Γ1：y=0，0≤x≤2，在Γ1上f(x，y)=x2(0≤x≤2)，最小值为0，最大值为4。二是线段Γ2：x=0，0≤y≤2，在Γ2上f(x，y)=2y2(0≤y≤2)，最小值为0，最大值为8。三是上半圆周Γ3：y2=4-x2(0≤x≤2)，在Γ3上f(x，y)=x2+2(4-x2)-x2(4-x2)=8-5x2+x4h’(x)=，由h’(x)=0得x=0或x2=，且于是f(x，y)在D的边界上的最大值为8，最小值为0。最后通过比较知f(x，y)在D上的最大值为8，最小值为0。知识点解析：暂无解析9、计算，其中S为圆柱x2+y2=a2(a＞0)位于z=－a与z=a之间的部分．标准答案：令S1：y=－，Dxz={(x，z)|－a≤x≤a，－a≤z≤a}，知识点解析：暂无解析10、设随机变量X的分布律为求X的分布函数F(x)，并利用分布函数求P{2＜X≤6}，P{X＜4}，P{1≤X＜5}．标准答案：X为离散型随机变量，其分布函数为F(x)=Pi，这里和式是对所有满足xi≤x的i求和，本题中仅当xi=1，4，6，10时概率P{X=xi}≠0，故有当x＜1时，F(x)=P{X≤x}=0；当1≤x＜4时，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}=2／6；当4≤x＜6时，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}=3／6；当6≤x＜10时，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}=5／6；当x≥10时，F(x)=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}+P{X=10}=1．于是P{2＜X≤6}=F(6)一F(2)=5／6—1／3=1／2，P{X＜4}=F(4)—P{X=4}=1／2—1／6=1／3，P{1≤X＜5}=P{1＜X≤5}+P{X=1}一P{X=5}=F(5)一F(1)+1／3—0=1／2—1／3+1／3=1／2．知识点解析：暂无解析设随机变量U在[-2，2]上服从均匀分布，记随机变量求：11、Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性；标准答案：X，Y的全部可能取值为-1，1，且P{X=-1，Y=-1)=P{U≤-1，U≤1}=P{U≤-1)=P{X=-1，Y=1}P{U≤-1，U＞1}=0，P{X=1，Y=-1}=P{U＞-1，U≤1}=P{-1＜U≤1}=P{X=1，Y=1}=P{U＞-1，U＞1}=P{U＞1}=所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为知识点解析：暂无解析12、D[X(1+Y)]．标准答案：D[X(1+Y)]=D(X+XY)DX+D(XY)+2Cov(X，XY)=DX+D(XY)+2E(X2Y)-2EXE(XY)．①此外，由于XY及X2Y的分布律分别为D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2=1-0=1，⑤将②～⑥代入①得知识点解析：暂无解析13、设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大?标准答案：设球面S：x2+y2+(z—a)2=R2．知识点解析：暂无解析14、求下列函数的微分：标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第5套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设函数y=y(x)由方程y—xey=1所确定，试求标准答案：2e2知识点解析：暂无解析2、设，A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+y．标准答案：由已知得又A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，递推地A4=23A．代入原方程，得16Ax=8Ax+16x+y，即8(A-2E)x=y(其中E是3阶单位矩阵)．令X=(x1，x2，x3)’，代人上式，得到非齐次线性方程组解其对应的齐次方程组，得通解ξ=k(1，2，1)T(k为任意常数)．显然，非齐次线性方程组的一个特解为η*=(0，0，-1/2)T，于是所求方程的解为x=ξ+η*，即x=k(1，2，1)T+(0，0，-1/2)T，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析3、求星形线L：x2／3+y2／3=a2／3(a＞0)所围区域的面积A．标准答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤a，0≤y≤4∫0π／2cos3t．3asin2tcostdt=12a2∫0π／2cos4t(1－cos2t)dt=3／8πa2．知识点解析：暂无解析4、设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．标准答案：(定义法)若有一组数k,k1，k2，...，kt，使得kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0，①则因α1，α2，...，αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，用A左知识点解析：(用秩)经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)→(β，α1，α2，...，αt)．因此r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=r(β,α1，α2，...，αt)．由于α1，α2，...，αt是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α1，α2，...，αt)=t，又β必不能由α1，α2，...，αt线性表出(否则Aft=0)，故r(α1，α2，...，αt,β)=t+1．所以r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=t+1．即向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．5、设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．标准答案：必要性：设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0于是Bx≠0．因此，取=0只有零解，从而有r(B)=n．充分性：因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为实对