考研数学一（高等数学）模拟试卷1（共259题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共259题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、∫｜x｜dx等于()．A、｜x｜+cB、x｜x｜+cC、D、标准答案：D知识点解析：关于求分段函数的原函数，分段求完后要利用连续性在分段点处粘合起来．2、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题主要考查直线的标准方程、一般方程及两条直线的夹角的概念与求法．由于直线L1的方向向量为s1={1，一2，1}，直线L2的方向向量为S2=空间中两条直线的夹角的余弦为其中(1)si={mi,ni,pi}是第i条直线Li的方向向量(i=1,2)；而向量a={m1,n1,p1}与b={m2,n2,p2}的夹角是a与b所夹不超过π的角，所以当a．b≥0时，(2)直线L1与L2互相垂直的充分必要条件是m1m2+n1n2+p1p2=0；直线L1与L2互相平行(或重合)的充分必要条件是二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设f(x)连续，且当x→0时，是与x3等价的无穷小量，则f(0)=______．标准答案：应填知识点解析：由等价无穷小量的定义及洛必塔法则，可得含参数的变限积分，不能直接求导，必须经变量替换将参变量提至积分号外再求导．4、函数f(x)=sinx在[0，π]上的平均值为______．标准答案：应填知识点解析：平均值为一般地，函数f(x)在区间[a，6]上的平均值为5、标准答案：应填知识点解析：函数u(x，y，z)沿单位向量n=一{cosα，cosβ，cosγ}的方向导数为本题直接用上述公式即可．本题若，n={m，n，l)非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为6、设则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π收敛于______．标准答案：应填知识点解析：设S(x)为函数f(x)以2π为周期的傅里叶级数的和函数，根据狄利克雷收敛定理，有7、设二阶线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)有三个特解y1=ex，y3=ex+e－x，则该方程为______．标准答案：应填知识点解析：本题主要考查线性微分方程解的结构．因为y2一y1，y3—y1，是对应齐次方程的解，代入齐次方程可求得再将y1代入原方程可得f(x)=ex．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)8、设f(x)=nx(1－x)n(n=1，2，…)，Mn是f(x)在[0，1]上的最大值，求极限标准答案：f’(x)=n(1一x)n一n2x(1一x)n－1．令f’(x)=0，得n2x(1一x)n－1=n(1一x)n，即nx=1一x．于是得驻点又为f(x)在(0,1)内的极大值．比较f(0)=0，f(1)=0和Mn可知，f(x)在[0，1]上的最大值为Mn=知识点解析：先求f(x)在[0，1]上的最大值Mn，再求极限．本题的极限是“1∞”型未定式，其一般形式为limf(x)g(x)，其中limf(x)=1，limg(x)=∞．为求极限，也可先将幂指函数f(x)g(x)化为指数型复合函数eg(x)lnf(x)，利用等价无穷小量替换定理：lnf(x)=ln[1+(f(x)－1)]～f(x)－1，可得：limf(x)g(x)=elimg(x)lnf(x)=elimg(x)[f(x)－1]．于是，将求幂指函数的极限limf(x)g(x)转化为求积函数的极限limg(x)[f(x)－1]．9、设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且(β≠0)，求α、β(其中β≠0)．标准答案：由0．所以α>0．又可得f(0)=0,f’(0)=0．(1)若0＜α＜1，则有与题设矛盾(2)α＞1，则有从而有与题设矛盾．(3)当α=1时，满足题设条件，故α=1，β=f’’(0)．知识点解析：含待定常数的极限问题，一般可在待定常数的取值范围内求出极限，再与题设条件对比，符合题设条件的参数值即为所求的参数值或取值范围．10、设f(x)连续，且求φ’(x)．标准答案：令x2一t=u，则知识点解析：含参变量的积分，先将参变量提至积分号外，再求导．(1)含参变量的变限积分∫axf(x,t)dt求导时，应该先通过变量替换将参数提至积分号外再求导．(2)幂指函数f(x)g(x)(x∈dg且f(x)>0)在求导时，应将它写成指数型复合函数eg(x)lnf(x)，然后用复合函数求导法求导，即[f(x)g(x)]’=eg(x)lnf(x)[g(x)lnf(x)]’=f(x)g(x)[g’(x)lnf(x)+],这个公式称为幂指函数求导公式．该公式也可以用对数求导法得到．11、已知y=y(x)由方程标准答案：方程两边对自变量x求导，得知识点解析：隐函数求导法的基础是：若方程F(x，y)=0在区间I上确定隐函数y=y(x)，则恒等式F(z，y(x))≡0在区间I上成立．因此当F(x，y)可微时，可由≡0解出y’(x)．12、设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．标准答案：作辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，又0=∫xf(x)dx=∫01xdF(x)=xF(x)｜01—∫01F(x)dx=0，由积分中值定理，存在点η∈(0，1)，使得F(η)=0．于是，在[0，η]和[η，1]上分别对F(x)应用洛尔定理，存在点ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．在[ξ1，ξ2]上对f(x)再应用洛尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得f’(ξ)=0．知识点解析：证明存在点ξ，使得f’(ξ)=0，可对f(x)用一次洛尔定理，也可对f(x)的原函数∫axf(t)dt用两次洛尔定理．13、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(x)=0，f(x)=1，试证：对任意给定的正数a，b，在(0，1)内存在不同的点ξ，η，使标准答案：因为a>0，b>0，所以又f(x)在[0，1]上连续，由介值定理，存在点c∈(0，1)，使得将f(x)在[0，c]，[c，1]上分别用拉格朗日中值定理得f(c)一f(0)=f’(ξ)c，ξ∈(0，c)，f(1)一f(c)=f’(η)(1一c)，η∈(c，1)．由f(0)=0，f(1)=1，可得知识点解析：暂无解析14、设f(x)连续，=∫0xf(x—t)costdt，求∫01f(x)dx．标准答案：因为所以e2x=∫0xf(x—t)costdt∫0xf(u)cos(x—u)du=cosx∫0xf(u)cosudu+sinx∫0xf(u)sinudu，且2e2x=一sinx∫0xf(u)cosudu+f(x)cos2x+cosx∫0xf(u)sinudu+f(x)2sinx，4e2x=f’(x)一cosx∫0xf(u)cosudu一f(x)sinxcosx—sinx∫0xf(u)sinudu+f(x)sinxcosx=f’(x)一e2x，从而f’(x)=5e2x．于是，有∫01f(x)dx=xf(x)｜01一5∫01xe2xdx知识点解析：暂无解析15、设φ(x)=∫0xf(t)g(x－t)dt，其中，f(x)=x，求φ(x)．标准答案：知识点解析：是分段函数的变限积分，在分段积分时，关键是看分段点是否在积分区间内．分段函数的变限积分，关键是确定分段点x0是否在积分区间[a，x]内．例如：在本题中，当不在[0，x]内，所以∫0x(x一u)g(u)du=∫0x(x一u)sinudu．16、求的极值．标准答案：(1)当x＞0时，y=x2x=e2xlnx，y’=e2xlnx(2lnx+2)．令y’=0，得(3)在x=0处，因为所以f(x)在x=0处连续，且f(0)=1．又由知f(x)在x=0处不可导．但当｜x｜很小时，对x<0有y’>0；对x>0有y’<0，故f(x)在x=0处取极大值1．知识点解析：先分段求极值，再讨论分段点处的函数值．求极值的一般步骤为：第一步，求f(x)在[a，b]内的驻点(f’(x)=0的点)：和f’(x)不存在的点，设为x<i(i=1，2，…，k)．第二步，用充分条件判定点xi是否是极值点．第三步，若xi为极值点，则f(xi)即为极值．对于分段函数求极值问题，要分段求，当函数在分段点处连续时，要判定分段点处的函数值是否是极值．17、设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，并有求f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt的拐点．标准答案：由由题设可知，f’(x)=一2x2+∫0xg(u)du，f’’(x)=一4x+g(x)，f’’(0)=0．所以，当x>0时，f’(x)<0；当x<0时，f’’(x)>0，故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．知识点解析：求曲线y=f(x)拐点的步骤为：第一步：求f’’(x)=0的点和f’’(x)不存在的点x0．第二步：判定．若f’’(x)在x0左、右两侧异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．18、有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直于水平面，而其短半轴与水平面相齐，求水对薄板的侧压力．标准答案：建立坐标系，如图1－5－6所示．椭圆方程为在[0,a]中任取一个小区间[x,x+dx]，对应的小横条薄板上水对它的压力为dF=压强×面积=rx．2ydx=其中r为水的比重，从0到a积分得椭圆形薄板所受的压力知识点解析：本题也可用以下方法求解．如图1－5－7所示，在[一b，b]中任取一小区间[y，y－dy]，对应小竖条薄板上水对它的压力为19、求直线绕z轴旋转一周所得曲面S的方程，并说明s为何种曲面．标准答案：设旋转曲面上任意一点为M(x，y，z)，该点是曲线L上对应点M0(z0，y0，z0)绕z轴旋转所得，于是消去x0，y0,z0，得x2+y2=42+(2z)2，即这是单页双曲面方程．知识点解析：曲面上任意一点M(x，y，z)与曲线L上对应点M0(z0，y0，z0)到z轴的距离相等．20、设函数其中函数f、φ具有连续的二阶可导，求二阶混合偏导数标准答案：常规求偏导数的方法．因为知识点解析：这是一个半抽象函数的求二阶混合偏导数的问题．21、一页长方形白纸，要求印刷的面积为Dcm2，并使所留的页边距分别为：上部与下部的宽度之和为a+b=kcm，左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数)．试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的面积S为最小．标准答案：如图1—7—2所示，由题意知，其目标函数为S=xy，且x>l，y>k，约束条件为(x—l)(y一k)=C不妨设拉格朗日函数为L(x，y，λ)=xy+λ(x—l)(y—k)一D](x>l，y>k)．代入到约束条件中，得Dλ2+2Dλ+(D—kl)=0．为了满足条件x>l，y>k，则应取由实际意义知，当x→l+时，y→+∞；同理当y→k+时，x→+∞．这都导致目标函数为S=xy→+∞．所以，这个条件极值问题是不存在最大值的，故上述的驻点就是所求的解．知识点解析：本题是条件极值的问题，应用拉格朗日乘子法求解．22、设分段函数其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≥2x}．标准答案：知识点解析：本题主要考查分段函数的二重积分．本题的关键在于确定积分区域的范围．23、计算其中0＜a＜b．标准答案：知识点解析：本题直接用常规的定积分去求解是无法进行的．因此，需要考虑用二重积分的方法．本题的关键在于将被积分函数中的因子24、计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R>0，R≠1)，取逆时针方向．标准答案：当R＞1时，点(0,0)∈D，为D的奇点．作足够小的椭圆曲线当ε＞0充分小时，C取逆时针方向，使得于是，由格林公式，有知识点解析：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件．因为本题中的R(R>0，R≠1)是分段的，故应分01两种情形来讨论．25、设空间区域Ω由曲面z=a2一x2一y2与平面z=0所围成，其中a为正常数．记Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V，证明：x2yz2dydz—xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=V．标准答案：因为Ω关于xOz坐标平面对称，xyz是区域Ω上关于y的奇函数，则故结论成立．知识点解析：因为空间区域Ω是封闭的，故可用高斯公式证明．本题的证明用到了空间区域Ω的对称性．26、讨论级数的敛散性．标准答案：根据比值判断法，因为所以当｜a｜＜1时，级数绝对收敛；当｜a｜＞1时，由于发散；当a=1时，级数为由p一级数的敛散性知：由交错级数的布莱尼兹判别法与取绝对值后的正项级数判敛法知：知识点解析：本题首先要讨论常数a的取值情况．当｜a｜=1时，还要进一步讨论p的取值情况．27、求解微分方程满足条件y(0)=0的特解．标准答案：很显然，y=0是其一个特解．当y＞0时，原微分方程为当y＜0时，原微分方程为因此，满足条件y(0)=0的特解为其中c1≥0，c2≤0为任意常数，原初值问题有无穷多的解．知识点解析：本题主要考查分段函数的微分方程的求解方法．本题的关键在于函数分段，并分别求其满足条件的特解．28、设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足求函数f(x)的表达式．标准答案：因为f(t)为偶函数，故只需讨论t≥0的情形．由于f(t)=2∫02πdθ∫0tr2f(r)．rdr+t4=4π∫0tr3f(r)dr+t4．在等式两边同时对变量t求导，得f’(t)=4πt3f(t)+4t3．且f(0)=0．这是一个一阶线性微分方程．解此微分方程，得知识点解析：在已给出的积分方程中，因被积函数厂具有因子x2+y2，且积分区域为圆域，故应用极坐标，将二重积分化为累次积分，再通过微分，即得关于变量t的一个微分方程．由一般的变限积分方程所得到的微分方程，均有一个隐含的初始条件f(x0)=0．29、已知函数y=e2x+(x+1)ex是线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．标准答案：先将函数y代入到微分方程中，比较等式两端同类项前的系数，得a=一3，b=2，c=一1．先求齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的通解，得由于非齐次微分方程y’’一3y’+2y=一ex有一个特解y*=e2x+(x+1)ex，于是，原微分方程的通解为y=c1’e2x+c2’ex+e2x+(1+x)ex=c1e2x+c2ex+xex，其中c1=(c1’+1)、c2=(c2’+1)为任意常数．知识点解析：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构．30、已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(—1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．标准答案：计算得y’2(x)=[u’(x)+u(x)]ex，y’’2(x)=[u’’(x)+2u’(x)+u(x)]ex，将y2(x)=u(x)ex代入方程(2x－1)y’’一(2x+1)y’+2y=0有(2x一1)u’’(x)+(2x一3)u’(x)=0，两边积分lnu’(x)=一x+ln(2x一1)+lnC1，即u’(x)=C1(2x—1)e－x．故u(x)=一C1(2x+1)e－x+C2由条件u(一1)=e，u(0)=一1，得C1=1，C2=0，即u(x)=一(2x+1)e－x．y1(x)，y2(x)是二阶微分方程(2x一1)y’’一(2x+1)y’+2y=0的两个线性无关的解，所以通解为y(x)=C1e+C2(2x+1)．知识点解析：根据已知的关系式，变形得到关于u(x)的微分方程，解微分方程求得u(x)．考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、方程y’sinx＝ylny满足条件的特解是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：这是变量可分离的方程．2、设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是A、y＝C1x2＋C2x＋C3．B、x2＋y2＝C．C、y＝ln(C1x)＋ln(C1xsinx)．D、y＝C1xsin2x＋C2cos2x．标准答案：D知识点解析：仅有(D)含有两个独立的任意常数C1与C2，选(D)．3、方程y’’一2y’＋3y＝exsin的特解的形式为A、ex[Acos＋Bsin]B、xex[Acos＋Bsin]．C、Aexsin．D、Aexcos．标准答案：B知识点解析：关键是求特征根：由λ2—2λ＋3＝0非齐次项f(x)＝eαxsinβx，a±iβ＝1±是特征根．选(B)．4、设y1(x)，y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝0的两个特解，则C1y1(x)＋C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A、y1(x)y2’(x)一y2(x)y1’(x)＝0．B、y1(x)y2’(x)一y2(x)y1’(x)≠0·C、y1(x)y2’(x)＋y2(x)y1’(x)＝0．D、y1(x)y2’(x)＋y2(x)y1’(x)≠0·标准答案：B知识点解析：根据题目的要求，y1(x)与y2(x)应该线性无关，即≠λ(常数)．反之，若这个比值为常数，即y1(x)＝λy2(x)，那么y1’(x)＝λy2’(x)，利用线性代数的知识，就有y1(x)y2’(x)一y2(x)y1’(x)＝0．所以，(B)成立时，y1(x)，y2(x)一定线性无关，应选(B)．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、下列微分方程中(填序号)______是线性微分方程．标准答案：②、③知识点解析：这四个方程中只有②、③对未知函数y及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的．6、已知(x一1)y’’一xy’＋y＝0的一个解是y1＝x，又知y＝ex一(x2＋x＋1)，y*＝一x2—1均是(x一1)y’’一xy’＋y＝(x一1)2的解，则此方程的通解是y＝______·标准答案：C1x＋C2ex一x2一1知识点解析：由非齐次方程(x一1)y’’一xy’＋y＝(x一1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解一y*＝ex一x，事实上y2＝(e2一x)＋x＝ex也是该齐次方程的解，又ex与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y＝C1x＋C2ex一x2一1，其中C1，C2为任意常数．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)7、求从点A(10，0)到抛物线y2＝4x的最短距离．标准答案：抛物线上点P(，y)到A(10，0)的距离的平方(如图4．4)为问题是求d(y)在[0，＋∞)上的最小值(d(y)在(一∞，＋∞)为偶函数)．由于在(0，＋∞)解d’(y)＝0得y＝±．于是d(±)＝36，d(0)＝100．又d(y)＝＋∞d(y)在[0，＋∞)的最小值为36，即最短距离为6．知识点解析：暂无解析8、求圆x2＋y2＝1的一条切线，使此切线与抛物线y＝x2一2所围面积取最小值，并求此最小值．标准答案：如图4．5，圆周的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ．圆周上点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是，于是切线方程是它与y＝x2一2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x2＋xcotθ—2一＝0的根，并且切线与抛物线所围面积为为求(β一α)3最小值，只要求(β一α)2最小值，由一元二次方程根与系数关系得所以，当＋2＝0时取最小值3．由因此，所围面积最小值为所求切线有两条：知识点解析：暂无解析9、要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V0m3．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低?标准答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元/m2，水池总造价为y，则y＝2πrha＋2aπr2．又知V0＝πr2h，代入上式得y＝2πa，0＜r＜＋∞．现求y(r)在(0．＋∞)上的最小值点．求y’(r)．因此，当时，y取最小值，即水池造价最低．知识点解析：暂无解析10、设f(x)在[0，b]可导，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，问t取何值时，图中阴影部分的面积最大?最小?标准答案：由于在[0，b]可导，且S’(t)＝tf’(t)＋f(t)—f(t)—f(t)＋f(t)＋(t—b)f’(t)则S(t)在，因此t＝时，S(t)取最小值·S(t)在[0，b]连续，也一定有最大值，且只能在t＝0或t＝b处取得·S(0)＝∫0bf(x)dx—bf(0)，S(b)＝bf(b)—∫0bf(x)dx，不能肯定．即t取何值时S(t)最大不能确定，但只能在t＝0或t＝b处取得．知识点解析：暂无解析11、求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)＝excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)＝(Ⅲ)f(x)＝，其中a＞0(x2)标准答案：(Ⅰ)相乘得(II)(Ⅲ)知识点解析：暂无解析12、求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(I)f(x)＝sinx3；(Ⅱ)f(x)＝xln(1一x2)．标准答案：知识点解析：暂无解析13、确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)＝ex—1—x—xsinx；(Ⅱ)f(x)＝cosx—1．标准答案：(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶。所以x→0时ex—1—x—sxinx是x的3阶无穷小．(Ⅱ)用泰勒公式确定无穷小的阶。所以x→0时cosx＋cosx—1是x的4阶无穷小．知识点解析：暂无解析14、求下列极限：标准答案：用洛必达法则(I)(II)由于f(x)＝arctanx在点x＝0有如下导数因此当x→0时于是原式＝知识点解析：暂无解析15、确定常数a和b的值，使得．标准答案：(用泰勒公式)因为由此即得a一2＝0，b＋1＝6，故a＝2，b＝5．知识点解析：暂无解析16、设f(x)＝x2sinx，求f(n)(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)在x＝0处二阶可导，又，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．标准答案：用洛必达法则(否则该极限为0)f’’(0)＝—1．因此f(0)＝0，f’(0)＝0，f’’(0)＝一1．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x＝0处n(n≥2)阶可导，且当x→a时是x一a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n—1阶无穷小．标准答案：连续用n一2次洛必达法则知识点解析：暂无解析19、设f(x)在x＝a处四阶可导，且f’(a)＝f’’(a)＝f’’’(a)＝0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞O(＜0)时x＝a是f(x)的极小(大)值点．标准答案：连续用三次洛必达法则，及f(4)(a)的定义得再由极限的不等式性质δ＞0，当0＜｜x一a｜＜δ时因此f(4)(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．知识点解析：暂无解析20、设f(x)，g(x)在x＝x0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(x)和y＝g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)一g(x)＝o((x一x0)2)(x→x0)．标准答案：相交与相切即f(x0)＝g(x0)，f’(x0)＝g’(x0)．若又有曲率相同，即由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)＝g’’(x0)＝0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是f’’(x0)＝g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y＝f(x)，y＝g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率即当x→x0时f(x)一g(x)是比(x一x0)2高阶的无穷小．知识点解析：暂无解析21、求f(x)＝3x带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．标准答案：由于f(m)(x)＝3x(ln3)m，f(m)(0)＝(ln3)m，得知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：ξ∈(a，6)使得标准答案：在处展开成由导函数的中间值定理在η1，η2之间(ξ∈(a，b))，使得知识点解析：暂无解析23、设f(x)为n＋1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n＋1)(x)＝0，fn(x)≠0．标准答案：由带拉格朗日余项的n阶勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋若f(n＋1)(x)≡0，f(n＋1)(x)≠0，由上式f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋fn(0)xn是n次多项式．反之，若f(x)＝anxn＋an—1xn—1＋…＋a1x＋a0(an≠0)是n次多项式，显然fn(x)＝ann!≠0，f(n＋1)(x)≡0．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在(0，＋∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(O，＋∞)上有界，求证：f’(x)在(0，＋∞)上有界．标准答案：按条件，联系f(x)，f’’(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．x＞0，h＞0有f(x＋h)＝f(x)＋f’(x)h＋f’’(ξ)h2，其中ξ∈(x，x＋h)．特别是，取h＝1，ξ∈(x，x＋1)，有f(x＋1)＝f(x)＋f’(x)＋f’’(ξ)，即f’(x)＝f(x＋1)—f(x)—f’’(ξ)由题设，｜f(x)｜≤M0，｜f’’(x)｜≤M2(x∈(0，＋∞))，M0，M2为常数，于是有即f’(x)在(0，＋∞)上有界．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)>0，f’’(x)＜0((x∈(a，6))，求证：标准答案：联系f(x)与f’’(x)的是泰勒公式．x0∈[a，b]，f(x0)＝f(x)．将f(x0)在x∈[a，b]展开，有f(x0)＝f(x)＋f’(x)(x0一x)＋f’’(ξ)(x0一x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)＋f’(x)(x0一x)(x∈[a，b]，x≠x0)．两边在[a，b]上积分得因此f(x0)(b一a)＜2f(x)dx，即知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、已知f(χ)＝，g(χ)＝∫01-cosχtantdt和h(χ)＝tanχ－sinχ当χ→0时都是无穷小量，若按照它们关于χ的阶数从低到高的顺序排列起来，则是A、f(χ)，g(χ)，h(χ)．B、h(χ)，f(χ)，g(χ)．C、f(χ)，h(χ)，g(χ)．D、h(χ)，g(χ)，f(χ)．标准答案：C知识点解析：利用当χ→0时的等价无穷小关系：tanχ～χ，1－cosχ～和ln(1＋χ)～χ，不难得出当χ→0时，f(χ)＝g(χ)＝∫01-cosχtantdt＝－ln(cost)｜01-cosχ＝－ln[cos(1－cosχ)]＝1－cos(1－cosχ)～(1－cosχ)2～，h(χ)＝tanχ－sinχ＝(1－cosχ)tanχ～．由此可知当χ→0时，f(χ)是关于χ的二阶无穷小，g(χ)是关于χ的四阶无穷小，而h(χ)是关予χ的三阶无穷小．故应选C．2、f(χ)＝χ(2－cosχ)在(－∞，＋∞)上是A、有界的偶函数．B、无界的偶函数．C、有界的奇函数．D、无界的奇函数．标准答案：C知识点解析：在(－∞，＋∞)上，χ是奇函数，(2－cos)是偶函数，于是它们的乘积f(χ)在(－∞，＋∞)上是奇函数．又因为｜2－cosχ｜≤3，从而f(χ)，在(－∞，＋∞)是否有界取决于g(χ)＝χ在(－∞，＋)上是否有界．因g(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且这表明g(χ)在(－∞，＋∞)上有界．综合得f(χ)是(－∞，＋∞)上有界的奇函数，应选C．3、设函数f(χ)＝，则函数f(χ)有A、两个第一类间断点．B、三个第一类间断点．C、两个第一类间断点与一个第二类间断点．D、一个第一类间断点与一个第二类间断点．标准答案：C知识点解析：利用当｜χ｜＜1时，χ2n＝0，当｜χ｜＞1时，χ2n＝＋∞，不难得出由此可见，χ＝－1与χ＝1都是f(χ)的第一类间断点，而χ＝0是f(χ)的第二类间断点．故应选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、＝_______．标准答案：知识点解析：5、＝_______．标准答案：e-2知识点解析：求数列极限不可以直接用洛必达法则．为了应用洛必达法则求本题中的极限，可引入函数极限，而所求的数列极限是这个函数极限中变量χ取数列的特例．引入函数f(χ)＝与数列χn＝(n＝1，2，3，…)，则＝f(χn)且χn＝0．由洛必达法则可得6、＝_______．标准答案：1知识点解析：先用等价无穷小因子替换：ln(1＋χ)＝lnχ＝(χ→＋∞)然后用分项求极限法可得7、若存在，则常数a＝_______．标准答案：知识点解析：注意｜χ｜是以χ＝0为分界点的分段函数，且＝0，可见应分别求当χ→0时的左、右极限．因为所以，题中极限存在a＝3－aa＝．8、设＝0，则＝_______．标准答案：知识点解析：9、已知＝_______．标准答案：－(ln2)2知识点解析：＝ln2．此时必有＝0利用当χ→0时的等价无穷小关系ln(1＋χ)～z和1－cos～，把分子换为，把分母换为－，即得＝ln2．又4χ－1～χln4，从而三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)本题是求“”型未定式的极限，可先用等价无穷小因子替换：，然后利用洛必达法则，得(Ⅱ)本题也是求“”型未定式的极限．从分子和分母的表达式不难发现，若直接利用洛必达法则会碰到复杂的计算．为简化计算过程，应当在分子和分母中分别利用等价无穷小因子代换．当χ→0时，有eχ－esinχ＝esinχ(eχ－sinχ－1)．又因eχ－sinχ－1～χ－sinχ，esinχ＝1，于是，分子可用χ－sinχ代换．当χ→0时，丽是无穷小量，于是分母可作等价无穷小因子代换，即知识点解析：暂无解析11、求下列极限：(Ⅰ)(Ⅱ)，其中常数a≠0．标准答案：(Ⅰ)所求极限是“∞－∞”型未定式，但现在无法经过通分化为“”或“”型的未定式这时可从括号内提出无穷大因子χ，先化为“0.∞”型的未定式，最后再通过换元y＝化为“”型未定式求极限．(Ⅱ)所求极限也是“∞－∞”型未定式，首先应通过变形化为“”型未定式后，再用洛必达法则求极限．令＝t，由以及洛必达法则可得知识点解析：暂无解析12、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)因，又(Ⅱ)本题也是“00”型未定式．y＝，＝0(χχ－1～ln(1＋χχ－1)＝χlnχ(χ→0＋))其中于是所求极限为e0＝1．知识点解析：暂无解析13、求极限标准答案：利用当χ→0时的等价无穷小关系sinχ～χ与ln(1＋χ)～χ可知当χ→0时ln(1＋sin2χ)～sin2χ～χ2，再利用极限的四则运算法则即知其中I＝用洛必达法则可得I＝＝2．代入即知所求极限＝1＋2＝3．知识点解析：暂无解析14、确定常数a与b的值，使得标准答案：作换元t＝，并利用洛必达法则求极限，可得由此可见，符合题目要求的常数a和b是方程组的解，即b＝知识点解析：暂无解析15、已知常数a＞0，bc≠0，使得＝c，求a，b，c．标准答案：记I(a，b)＝由于b≠0，计算可得从而，当a≠2时对任何b≠0以及当a＝2且b≠1时都有，(a，b)＝∞．当a＝2且b＝1时，I(a，b)＝I(2，1)是“∞.0”型未定式，化为型并作变量替换t＝，再利用洛必达法则可得故符合题目要求的常数a，b，c分别是a＝2，b＝1，c＝－．知识点解析：暂无解析16、确定常数a和b＞0的值，使函数f(χ)＝，在(－∞，＋∞)上连续．标准答案：当χ＜0时，f(χ)等于初等函数，由初等函数连续性知f(χ)在(－∞，0)连续，且当χ＞0时f(χ)等于初等函数(eχlnb－1)，由初等函数的连续性知f(χ)在(0，＋∞)连续，且f(0＋0)＝＝ln6．从而，为使f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，必须且只需f(χ)还在点χ＝0处连续，即f(0－0)＝a＝f(0＋0)e＝a＝ln6．故当a＝e且b＝ee时f(χ)在(－∞，＋∞)上连续．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在χ＝1处连续，＝－3．证明：f(χ)在χ＝1处可导，并求f′(1)．标准答案：由题设知，当χ→1时，f(χ)＋χχ－3是χ－1的同阶无穷小，从而0＝[f(χ)＋χχ－3]＝f(1)＋1－3＝f(1)f(1)＝2．又由极限的四则运算法则，等价无穷小代换ey－1～y(y→0)和洛必达法则可得综合即得即f(χ)在χ＝1处可导，且f′(1)＝－4．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)是周期为3的连续函数，f(χ)在点χ＝1处可导，且满足恒等式f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)，其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量．求曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程．标准答案：曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程是y＝f(4)＋f′(4)(χ－4)．由f(χ)的周期性以及f(χ)在χ＝1处的可导性知f(4)＝f(1)，f′(4)：f′(1)，代入即得所求切线方程为y＝f(1)＋f′(1)(χ－4)．由f(χ)的连续性可知[f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)]＝[26χ＋g(χ)]f(1)－4f(1)＝0f(1)＝0．再由f(χ)在χ＝1处的可导性与f(1)＝0可得在①式左端中作换元tanχ＝t，则有而①式右端从而有f′(1)＝2．于是曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程为y＝2(χ－4)，即y＝2χ－8．知识点解析：暂无解析19、设直角坐标(χ，y)与极坐标(r，θ)满足χ＝rcosθ，y＝rsinθ．若曲线г的极坐标方程是r＝3－2sin0，求г上对应于θ＝处的切线与法线的直角坐标方程．标准答案：曲线г的参数方程为，由θ＝可得切点M的直角坐标为(，1)．在点M处г的切线的斜率为故所求切线方程为y＝1－，即χ＋5y－8＝0．所求法线方程为y＝1＋，即5χ－＝0．知识点解析：暂无解析20、设函数f(χ)在[0，＋∞)上具有二阶连续导数，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．若对任意的χ＞0，用函数u(χ)表示曲线在切点(χ，f(χ))处的切线在χ轴上的截距，如图4—1．(Ⅰ)写出函数u(χ)的表达式，并求u(χ)与u′(χ)；(Ⅱ)求标准答案：(Ⅰ)如图4—2，设点M的坐标为(χ，f(χ))，点Ⅳ的坐标为(χ，0)，点P的坐标为(u(χ)，0)．则MN的长度是f(χ)。NP的长度是χ－u(χ)。从而由导数的几何意义知用洛必达法则可得又因u′(χ)＝1－，故(Ⅱ)由洛必达法则及(Ⅰ)可知知识点解析：暂无解析21、设y＝χχ＋求y′．标准答案：因为χχ＝eχkbχ，于是(χχ)′＝(eχlnχ)′＝eχlnχ(χlnχ)′＝χχ(1＋lnχ)．又因为，于是所以y′＝χχ(1－lnχ)＋χχ(ln2χ＋lnχ＋)知识点解析：暂无解析22、设函数f具有二阶导数，且f′≠1．求由方程χ2ey＝ef(y)，确定的隐函数y＝y(χ)的一、二阶导数．标准答案：将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程2ln｜χ｜＋y＝f(y)．将新方程两边对χ求导数，得＋y′＝f′(y)y′．(*)可解出y′＝将(*)式两边再对χ求导数，又得－＝f〞(y)(y′)2＋f′(y)y〞．于是，可解出知识点解析：暂无解析23、设y＝y(χ)是由方程2χ－＝χy确定的隐函数，求y′．标准答案：将方程两边对χ求导数，利用变上限定积分求导公式得2－(1＋y′)＝χy′＋y．可解出y′＝知识点解析：暂无解析24、求摆线的曲率半径．标准答案：故摆线的曲率半径知识点解析：暂无解析25、求下列函数的n阶导数：(Ⅰ)y＝ln(6χ2＋7χ－3)，(n≥1)；(Ⅱ)y＝sin2(2χ)，(n≥1)；(Ⅲ)y＝标准答案：(Ⅰ)因为6χ2＋7χ－3＝(3χ－1)(2χ＋3)，所以y＝ln(6χ2＋7χ－3)＝ln[(3χ－1)(2χ＋3)]＝ln｜3χ－1｜＋1nln｜2χ＋3｜．其中0!＝1．(Ⅱ)因为y＝sin2(2χ)＝(1－cos4χ)，所以y(n)(n)＝．(Ⅲ)题目中的函数可分解为最简分式之和：从而y(n)(n)＝(－1)(－1－1)…[－1－(n－1)](χ－4)－1－n－(－1－1)…[－1－(n－1)](χ＋1)－1－n＝(－1)n.n!(χ－4)－1－n－(－1)n.n!＋(χ＋1)－1－n＝知识点解析：暂无解析26、已知当｜χ｜＜1．时函数f(χ)满足f〞(χ)＋a[f′(χ)]2＝g(χ)，且f′(0)＝0，其中常数a＞0，函数g(χ)在｜χ｜＜1可导且g(0)＝0，g′(0)＞0．试问f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0))是不是曲线y＝f(χ)的拐点?标准答案：由题设知f〞(χ)＝g(χ)－a[f′(χ)]2当｜χ｜＜1时成立，且f(3)(χ)在｜χ｜＜1存在，在上式中令χ＝0得f〞(0)＝0，将上式求导得f(3)＝g′(χ)＝2af′(χ)f〞(χ)令χ＝0得f(3)(0)＝g′(0)＞0，从而点(0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点．又因f(3)(0)＝＞0，在0＜｜χ｜＜δ时＞0，即在(－δ，0)中f〞(χ)＜0，在(0，δ)中f〞(χ)＞0．利用f′(0)＝0即知f′(χ)在(－δ，0)与(0，δ)中都取正值，故f(0)不是函数f(χ)的极值．知识点解析：暂无解析27、设k为参数，试确定方程χ2＋4χ＝keχ的根的个数以及每个根所在的区间．标准答案：转化为函数方程F(χ)＝(χ2＋4χ＋1)e－χοk，为此需讨论函数F(χ)的增减性，极值与值域．由F′(χ)＝(2χ＋4－χ2－4χ－1)e－χ＝(3－2χ－χ2)e－χ＝(3＋χ)(1－χ)e－χ可知，函数F(χ)有两个驻点χ＝－3与χ＝1，结合F(χ)＝＋∞与F(χ)＝0可列表讨论F(χ)的单调性与极值如下：函数F(χ)的示意图如图6—1．由此可得结论：(1)当k＞时直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有一个交点，其横坐标χ1＜－3，即当k＞时方程χ2＋4χ＋1＝keχ有唯一根，此根位于区间(－∞，－3)内．(2)当k＝时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有两个交点，一个交点的横坐标χ1＜－3，而另一个交点的横坐标χ2＝1，即当k＝时，方程χ2＋4χ＋1＝keχ有两个根，一个位于区间(－∞，－3)内，另一个是χ2＝1．(3)当0＜k＜时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有三个交点，其横坐标分别为χ1＜－3，－3＜χ2＜1，χ3＞1，即当0＜k＜时，方程χ2＋＋4χ＋1＝keχ有三个根，分别位于区间(－∞，－3)，(－3．1)．(1．＋∞)内．(4)当－2e3＜k≤0时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有两个交点，其横坐标分别为χ1＜－3，－3＜χ2＜0，即当－2e3＜k≤0时方程χ2＋4χ＋1＝keχ有两个根，分别位于区间(－∞，－3)，(－3，0)内．(5)当k＝－2e3时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有一个交点，其横坐标为χ1＝－3，即这时方程χ2＋4χ＋1＝keχ有唯一根χ1＝－3．(6)当k＜－2e3时，直线y＝k与曲线y＝(y2＋4χ＋1)e－χ无交点，即此时方程χ2＋4χ＋1＝keχ无根．知识点解析：暂无解析28、如图6—2，设曲线段L是抛物线y＝6－2χ2在第一象限内的部分．在L上求一点M，使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小．标准答案：设曲线L上点M的坐标为(χ，6－2χ2)，则L在该点的切线方程Y＝6－2χ2－4χ(X－χ)，令Y＝0，可得点A的横坐标为a＝，令X＝0可得点B的纵坐标为b＝2(3＋χ)2，从而所求图形的面积为S＝(6－2χ2)dχ由于(6－2χ2)dχ为一常数，可见S与ab将在同一点处取得最小值．记f(χ)＝ab＝，不难得出故当χ＝1时面积S最小，即所求点M为(1，4)．知识点解析：暂无解析29、设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续导数且满足f(0)＝0，f〞(χ)＜0在(0，＋∞)成立，求证：对任何χ1＞χ2＞0有χ1f(χ2)＞χ2f(χ1)标准答案：令g(χ)＝，于是g′(χ)＝g′(χ)与h(χ)χf′(χ)＝f(χ)同号．由h(χ)在[0，＋∞)连续，h′(χ)＝χf〞(χ)＜0(χ＞0)h(χ)在[0，＋∞)单调下降，h(χ)＜h(0)＝0(χ＞0)，即g′(χ)＜0当χ＞0时成立．从而对χ1＞χ2＞0有g(χ2)＞g(χ1)，即原不等式成立．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、两个无穷小比较的结果是()A、同阶B、高阶C、低阶D、不确定标准答案：D知识点解析：如β(x)=x，当x→0时，二者都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．2、设当x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小，则n为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：则n=3，此时3、f(x)=xex的n阶麦克劳林公式为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为f(x)=xex，f(0)=0，f’(x)=ex(1+x)，f’(0)=1，…，f(n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f(n+1)(x)=ex(n+1+x)，f(n+1)(θx)=eθx(n+1+θx)，依次代入到麦克劳林公式，即得B．4、设f(x)在x=a处连续且存在．则在x=a处()A、f(x)不可导，但｜f(x)｜可导B、f(x)不可导，且｜f(x)｜也不可导C、f(x)可导，且f’(a)=0D、f(x)可导，但对不同的f(x)，f’(a)可以等于0，也可以不等于0标准答案：C知识点解析：由存在知所以再由f(x)在x=a处连续，故f(a)=0．于是以下证明在x=a的去心邻域内，即f’(a)=0．选C．5、设N=∫－aax2sin3xdx，P=∫－aa(x3ex2－1)dx，Q=∫－aacos2x3dx，a≥0，则()A、N≤P≤QB、N≤Q≤PC、Q≤P≤ND、P≤N≤Q标准答案：D知识点解析：x2sin3x是(－a，a)上的奇函数，故N=0，x3ex2是(－a，a)上的奇函数，cos2x3是(－a，a)上的偶函数，故P=∫－aa(－1)dx=－2a≤0，Q=2∫0acos2x3dx≥0，所以P≤N≤Q．6、设f(x)=min{x2，－3x+10}，两个结果中()A、①与②都错B、①与②都对C、①错②对D、①对②错标准答案：C知识点解析：第1步，写出f(x)的分段表达式，由两曲线y=x2与y=－3x+10拘图形及交点知，第2步，由定积分的性质∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，a＜c＜b，经计算有∫－6－4f(x)dx=∫－6－5f(x)dx+∫－5－4f(x)dx=∫－6－5(－3x+10)dx+∫－5－4x2dx=∫－64f(x)dx=∫－6－5f(x)dx+∫－52f(x)dx+∫24f(x)dx，=∫－6－5(－3x+10)dx+∫－52x2dx+∫24(－3x+10)dx=①错；②对．所以选C．7、函数f(x，y)=exy在点(0，1)处带佩亚诺余项的二阶泰勒公式是()A、1+x+[x2+2x(y－1)]B、1+x+[x2+2x(y－1)]+o(x2+(y－1)2)C、1+x+(x2+2xy)+o(x2+y2)D、1+(x－1)+[(2－1)2+2(x－1)y]+o((x－1)2+y2)标准答案：B知识点解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知B正确．8、设∑：x2+y2+z2=a2(z≥0)，∑1为∑在第一卦限的部分，则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：∑关于yOz面，zOx面对称，当f(x，y，z)关于变量x或变量y是奇函数时，f(x，y，z)dS=0，但f(x，y，z)=z关于变量x，y都是偶函数，因此9、设D是由曲线y=x3与直线所围成的有界闭区域，则[y2cos(xy)+sin(xy)]dσ=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图1．6—3所示，作曲线y=－x3，连同x轴与y轴，将D分成4块，按逆时针方向，这4块分别记为D1，D2，D3与D4．故应选D．10、当级数()A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、可能收敛，也可能发散标准答案：B知识点解析：因级数都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法知，绝对收敛．11、级数()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：D知识点解析：当a=0时，为交错级数，当n＞3时满足莱布尼茨定理，所以收敛．当a=1时，不趋于零，发散，所以敛散性与a有关．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、定积分=______．标准答案：知识点解析：x2sinx是上的定积分值为0．13、点(－1，2，0)在平面x+2y－z+1=0上的投影为______．标准答案：知识点解析：过点(－1，2，0)且与平面x+2y－z+1=0垂直的直线为L：它和平面的交点应满足方程组解得交点坐标为14、设x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y为邻边的平行四边形面积为6，则k的值为______．标准答案：－1或5知识点解析：以x，y为邻边的平行四边形的面积其中｜x｜2=x.x=(2a+b).(2a+b)=4a｜2+b｜2=8，｜y｜2=y.y=(ka+b).(ka+b)=k2｜a｜2+｜b｜2=k2+4，x.y=(2a+b).(ka+b)=2k+4，所以由题设知2｜k－2｜=6，于是k=－1或5．15、设Ω为曲面z=1－x2－y2，z=0所围的立体，如果将三重积分化为先对z再对y最后对x积分，则I=______．标准答案：知识点解析：在直角坐标系下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分．Ω在xOy面上的投影域Dxy={(x，y)｜x2+y2≤1}，Ω的上、下边界曲面方程为z=1－x2－y2，z=0．于是16、微分方程的通解为______．标准答案：x2=y(ln｜y｜+C)，其中C为任意常数知识点解析：将x看成未知函数，y看成自变量，问题就迎刃而解了．将x看成未知函数(实际上就是作反函数变换)，原方程改写为这是一个伯努利方程，令z=x2，有17、微分方程(y2+1)dx=y(y－2x)dy的通解是______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：原方程写为(y2+1)dx+(2x－y)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y2+1)dx+xd(y2+1)－y2dy=0，即d[x(y2+1)]=y2dy，积分得通解x(y2+1)=y3+c，或其中C为任意常数．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)18、求函数的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，在x=1处没有定义，且极限不存在，故x=1是函数F(x)的振荡间断点．当x＜0时，k=0，1，2，…处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对于点有故是函数F(x)的可去间断点；而点k=1，2，…显然是函数F(x)的无穷间断点．知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)．标准答案：由f’(x)=ef(x)两边求导数得f’’(x)=ef(x).f’(x)=e2f(x)，两边再求导数得f’’’(x)=e2f(x).2f’(x)=2e3f(x)，两边再求导数得f(4)(x)=2e3f(x).3f’(x)=3!e4f(x)，由以上导数规律可得n阶导数f(n)(x)=(n－1)!enf(x)．所以f(n)(2)=(n－1)!en．知识点解析：暂无解析20、设F(x)=∫－11｜x－t｜e－t2dt－(e－1+1)，讨论F(x)在区间[一1，1]上的零点个数．标准答案：F(x)=∫－1x(x－t)e－t2dt+∫x1(t－x)e－t2dt－(e－1+1)=x∫－1xe－t2dt－∫－1xte－t2dt+∫x1te－t2dt－x∫x1e－t2dt－1(e－1+1)，F’(x)=∫－1xe－t2dt+xe－x2xe－x2－xe－x2－∫x1e－t2dt+xe－x2=∫－1xe－t2dt－∫x1e－t2dt．对第二个积分作变量变换t=－u，有F’(x)=∫－11e－t2dt+∫－x－1e－u2du=∫－xxe－t2dt=∫0xe－t2dt．所以，当0＜x≤1时，F’(x)＞0；当－1≤x＜0时，F’(x)＜0．所以在区间[－1，0]内F(x)严格单调减少，在区间[0，1]内F(x)严格单调增加．此外，由连续函数零点定理知，f(x)在区间(－1，0)与(0，1)内各至少有一个零点，再由单调性知，在这两个区间内正好各有一个零点，共有且仅有两个零点．知识点解析：暂无解析21、证明：标准答案：因此，当时，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)＜f(0)=1，得证．知识点解析：暂无解析22、设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．标准答案：V=π∫0π(sinx+1)2dx=知识点解析：暂无解析23、计算标准答案：知识点解析：暂无解析24、如图1．3一1所示，设曲线方程为y=x2+，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析25、已知函数u=u(x，y)满足方程试确定参数a，b，利用变换u(x，y)=v(x，y)eax+by将原方程变形，使新方程中不含有一阶偏导数项．标准答案：等式u(x，y)=V(x，y)eax+by两边同时对x，y求一阶，二阶偏导数，由题意可知，应令2a+k=0，－26+k=0，解得则原方程变为知识点解析：暂无解析26、设D为xOy平面上由摆线与x轴所围成的区域，求D的形心坐标标准答案：由对称性知记摆线的纵坐标为y(x)，于是其中y=y(x)是由摆线的参数式确定的y关于x的函数．作变量变换，令x=a(t－sint)，于是=∫02πadx∫0y(x)dy=∫02πay(x)dx=∫02πa(1－cost).a(1－cost)dt=a2∫02π(1－cost)2dt所以知识点解析：暂无解析27、计算∫г(x2+y2+z2)ds，其中标准答案：先写出参数式，故∫г(x2+y2+z2)ds=∫02π(a2+1)adt=2πa(a2+1)．知识点解析：暂无解析28、设(1)将f(x)展开为x的幂级数；(2)分别判断级数的敛散性．标准答案：(1)把f(x)作初等变换，并利用几何级数｜x｜＜1，得f(x)展开为x的幂级数(2)根据幂级数展开式的唯一性得f(x)在x0t=0处的高阶导数则所考虑的都为正项级数．故由比较审敛法的极限形式知，发散．知识点解析：暂无解析29、求解y’’=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．标准答案：令y’=p(y)，则代入方程，有pp’=e2y+ey，p2=e2y+2ey+C，即y’2=e2y+2ey+C．又y(0)=0，y’(0)=2，有C=1，所以y’2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，即y’=ey+1(y’(0)=2＞0)，则有则y－1n(ey+1)=x+C1，代入y(0)=0，得C1=－ln2，所以，该初值问题的解为y=ln(1+ey)=x－ln2．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、由曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴围成平面图形的面积为()．A、∫01x(x一1)(2—x)dx—∫12x(x一1)(2一x)dxB、－∫02x(x一1)(2—x)dxC、－∫01x(x一1)(2—x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2—x)dx标准答案：C知识点解析：曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴的交点是(0，0)，(1，0)，(2，0)且0＜x＜1时，y＜0；1＜x＜2时，y＞0．因此所求面积为一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx．故选C．2、当u>0时f(u)有一阶连续导数，且f(1)=0，又二元函数z=f(ex—ey)，)满足则f(u)=()．A、lnuB、一lnuC、lnu+1D、1一lnu标准答案：A知识点解析：因为即f(u)=lnu+c，又f(1)=0，所以c=0．故f(u)=lnu．故选A．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)3、设______．标准答案：应填1．知识点解析：4、设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，则a=______，b=______．标准答案：应填一1，一1．知识点解析：由导数的几何意义求出公切线的斜率，又点(1，一1)在两条曲线上，由y=x2+ax+b，得y’=2x+a．又由2y=一1+xy3，得由题设可知即2+a=1，得a=一1．又点(1，一1)在曲线y=x2+ax+b上，即一1=1+a+b，得b=一1．两条曲线y=f(x)，y=g(x)在点(x0，y0)处有公切线，由导数的几何意义和曲线上点的坐标满足曲线方程可得方程组解方程组可求出f(x)或g(x)中所含的两个参数．当曲线的方程不能解出y时，由隐函数求导法也可以解决这类问题．5、=______．标准答案：应填2π．知识点解析：4｜x｜—x2为偶函数，则是以(2，0)为圆心，2为半径的上半圆周，由定积分的几何意义，原式==2π．利用定积分的几何意义，经常可方便地计算一些定积分．6、交换累次积分的积分次序：=______．标准答案：应填知识点解析：三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)7、设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限标准答案：由已知条件∫0xtf’(x－t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．两边对x求导，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+xf’(x)－xf’(x)=1+f(x)－f(0)=1+f(x)(f(0)=0)于是，f(x)=ex一1．所以知识点解析：f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限．∫0xtf’(x－t)dt∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．(1)本题的关键是求出f(x)的表达式．当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出f(x)所满足的微分方程：f’(x)一f(x)=1，f(0)=0．由通解公式，可得通解为：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为：y=e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c](2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算．8、设f(x)是满足的连续函数，且当x→0时，∫0xf(t)dt是与xn同阶的无穷小量，求正整数n．标准答案：由可知：即当x→0时，f(x)是x2的同阶无穷小．对n>0，有由此可见，当n=3时，就有所以，n=3．知识点解析：关于无穷小量的比较，有下面一般性的结论：(1)当x→a时，若f(x)是g(x)的同阶无穷小，g(x)是h(x)的同阶无穷小，则当x→a时，f(x)也是h(x)的同阶无穷小．(2)当x→a时，若连续函数f(x)是x－a的n阶无穷小，则∫axf(t)dt必为(x－a)的n+1阶无穷小．(3)当x→a时，g(x)是(x一)的n阶无穷小，当u→a时，f(u)是u的m阶无穷小，则f[g(x)]必是(x一a)的nm阶无穷小．9、设求f(2010)(0)．标准答案：知识点解析：直接用定义求f(2010)(0)很困难，若能把f(x)展开成麦克劳林级数，问题就迎刃而解．若10、设φ(x)=sinx2∫01f(tsinx2)dt，且存在，证明：当x→0时，dφ是xsinx2dx的同阶无穷小量．标准答案：所以x→0时,dφ与xsinx2dx是同阶无穷小量．知识点解析：暂无解析11、设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．标准答案：假若f(x)在(a，b)内有两个零点x1，x2(不妨设x1＜x2)，即f(x1)=f(x2)=0．作辅助函数F(x)=f(x)－g(x)，则F(x)在[x1，x2]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x1，x2)(a，b)内至少存在一点ξ，使F’(ξ)=e－g(x)[f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)]=0，这与已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，x∈(a，b)矛盾，故f(x)在(a，b)内至多存在一个零点．知识点解析：由已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，可知f’(x)一f(x)g’(x)≠0，即e－g(x)[f’(x)一f(x)g’(x)]≠0，即F’(x)=[f(x)e－g(x)]’≠0，假若f(x)有两个零点x1，x2，则有F(x1)=F(x2)=0．于是，由洛尔定理得出的结论与已知条件矛盾．可用反证法证明．在本题中，我们将已知条件的变形f’(x)一f(x)g’(x)≠0转化为函数F(x)=f(x)e－g(x)的导数没有零点，从而得到应用洛尔定理所需要的辅助函数，然后由洛尔定理得到与已知条件相矛盾的结论．12、试证明：方程有且只有一个实根．标准答案：令F(x)=则F(x)在(－∞,+∞)内可导，且由价值定理，至少存在一点所以，F(x)在(一∞，+∞)内单调增加，故F(x)=0的根存在并且唯一．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：求有理分式函数的不定积分，理论上总可用化为部分分式的方法去求，但有时会变得很繁杂，根据题目的特点作适当的变形后，再积分可能会更方便一些．14、设f(x)在[a，b]上连续，且对求f(x)．标准答案：可得2∫xyf(t)dt=(y－x)[f(x)+f(y)]．令x=a,得2∫ayf(t)dt=(y－a)[f(a)+f(y)]．由变限积分的可导性知，f(y)可导，两边对y求导得2f(y)=f(a)+f(y)+(y－a)f’(y)．分离变量得积分得ln[f(y)－f(a)]=ln(y－a)+lnc，即f(y)－f(a)=c(y－a)．令y=b，得知识点解析：建立关于f(x)的微分方程，解方程可求出f(x)．15、设f(x)在[0，+∞)上连续且单调增加，试证：对任意的a、b>0，恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx]．标准答案：作辅助函数F(x)=x∫0xf(t)dt，则F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)．于是，F(b)一F(a)=∫abF’(x)dx=∫ab[∫0xf(t)dt+xf(x)]dx≤∫ab[xf(x)+xf(x)]dx=2∫abxf(x)dx，即知识点解析：待证结论的右边b∫0bf(x)dx－a∫0af(x)dx可看作是函数F(x)=x∫0xf(t)dx在a、b两点函数的差，所以可考虑用积分基本公式进行放缩．涉及某两点函数值之差的问题，一般可考虑先用微分中值定理或牛顿一莱布尼兹公式处理．16、设由曲线线y=e－x(x≥0)，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围平面图形绕x轴旋转一周所得立体图形的体积为V(ξ)，求使标准答案：由旋转体体积公式得知识点解析：先求旋转体的体积V，再求极限以确定a．17、已知抛物线y=ax2+bx(其中a<0，b>0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?标准答案：将方程①代入方程②得ax2+(b+1)x－5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0，得得b=3．因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值知识点解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题．18、求平面x+2y一2z+6=0和平面4x—y+8z一8=0的交角的平分面方程．标准答案：利用点到平面的距离公式．设M(x，y，z)为所求平面上的任意一点，根据题意，点M到两个已知平面的距离相等，则即3｜x+2y一2z+6｜=｜4x—y+8z—8｜．因此，3(x+2y一2z+6)=±(4x—y+8z一8)．于是，所求平面的方程为x一7y+14z一26=0，或7x+5y+2z+10=0．知识点解析：本题主要考查两个平面的交角的平分面的概念以及点到平面的距离．两平面的夹角(两平面的法向量的夹角)的余弦为其中：(1)ni={Ai，Bi，Ci)是第i个平面πi的法向量(i=1，2)．(2)平面π1与π2互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B219、设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy一y=0和ez一xz=0所确定，求标准答案：将上述结果分别代入①式中，得知识点解析：暂无解析20、求二重积分其中积分区域D是由曲线y=—a+和直线y=—x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算方法．本题若用直角坐标计算，则较为繁琐．21、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，n>1为自然数，证明：标准答案：知识点解析：凡是遇到逐项积分，一般均应先交换二重积分的次序．22、求由抛物面x2+y2=2az(a>0)及球面x2+y2+z2=3a2所围成的均匀立体的重心．标准答案：由先用“先二后一”的方法计算下列积分：因为Ω=Ω1+Ω2，其中Ω1={(x，y，z)｜x2+y2≤2az，0≤z≤a}再计算体积V．用三重积分计算．知识点解析：根据题意，先求出两个曲面的交线方程，再利用对称性求出相应的重心坐标．为空间物体的质量，ρ=ρ(x,y,z)为空间物体在点(x,y,z)处的密度．若空间物体是均匀的，则ρ=1．23、计算曲线积分标准答案：利用积分的轮换对称性，有知识点解析：因为曲线г是一个圆，故可利用曲线积分的轮换对称性进行计算．利用曲线积分的轮换对称性计算往往能达到事半功倍的效果．24、计算曲面积分的上侧，a为大于0的常数．标准答案：利用直接分块法．设其中Dyz为yOz坐标平面上的半圆其中Dxy为xOy坐标平面上的圆域x2+y2≤a2．因此I=I1+I2=知识点解析：先将∑分片后，投影到相应的坐标平面上化成二重积分，再逐块进行计算．25、讨论级数的敛散性．标准答案：设且当n→∞时，有cn=an－bn=(1)当的一般项所构成的数列{bn}不单调，故级数可以发散．(2)当绝对收敛，由an=bn+cn，得｜an｜≤｜bn｜+｜cn｜，则级数绝对收敛，与已知条件矛盾．(3)对于任意项级数，由收敛，推不出级数收敛．知识点解析：暂无解析26、已知a0=3，a1=5，对任意的n＞1，有证明：当｜x｜＜1时，幂级数收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：由条件知所以当｜x｜＜1时，幂级数则解此微分方程，得知识点解析：暂无解析2