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考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷1(共9套)(共225题)考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷第1套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设x→0时ax2+bx+c—cosx是比x2高阶的无穷小,其中a,b,c为常数,则()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:由题意得(ax2+bx+c—cosx)=0,得c=1,又因为所以得b=0,a=。故选C。2、在命题①若f(x)在x=a处连续,且|f(x)|在x=a处可导,则f(x)在x=a处必可导,②若φ(x)在x=a处连续,则f(x)=(x—a)φ(x)在x=a处必可导,③若φ(x)在x=a处连续,则f(x)=(x一a)|φ(x)|在x=a处必不可导,④若f(x)在x=a处连续,且存在,则f(x)在x=a处必可导中正确的是A、①②.B、①③.C、①②③.D、②④.标准答案:A知识点解析:①是正确的.设f(a)≠0,不妨设f(a)>0,由于f(x)在x=a处连续,故存在δ>0,当x∈(a一δ,a+δ)时f(x)>0,于是在此区间上f(x)≡|f(x)|,故f’(a)=[|f(x)|]’x=a存在.若f(a)<0可类似证明.若f(a)=0,则所以由夹逼定理得②是正确的.因为③是错误的.由②正确即知③是错误的.无妨取反例:φ(x)=x2,则,即f(x)在x=a处可导.④也不正确.可取反例:f(x)=|x|,显然f(x)在x=0处不可导,但综上分析,应选A.3、设函数f(x)任点x=a处可导,则函数丨f(x)丨在点x=a处不可导的允分条件是A、f(a)=0且f(a)=0.B、f(a)=0且f(a)≠0.C、f(a)>0且f(a)>0.D、f(a)<0且f’(a)<0.标准答案:B知识点解析:暂无解析4、设函数,其中函数φ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有()A、B、C、D、标准答案:B知识点解析:先分别求出,再比较结果。因为于是可见有。故选B。5、设其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处()A、极限不存在B、极限存在,但不连续C、连续,但不可导D、可导标准答案:D知识点解析:故f’+(0)=0,从而f’(0)存在,且f’(0)=0,应选(D).6、设事件A,C独立,B,C也独立,且A,B不相容,则().A、A+B与独立B、A+B与C不相容C、A+B与不独立D、A+B与对立标准答案:A知识点解析:因为事件A,C独立,B,C也独立,且A,B不相容,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),且AB=.而P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),所以P[(A+B)]=[P(A)+P(B)]P()=P(A+B)P(),即A+B与独立,正确答案为(A).7、设f(x)在(一∞,+∞)内可导,且对任意x1,x2,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),则()A、对任意x,f’(x)>0B、对任意x,f’(一x)≤0C、函数f(一x)单调增加D、函数一f(一x)单调增加标准答案:D知识点解析:根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确.8、设函数f(x)在|x|<δ内有定义且|(x)|≤x2,则f(x)在x=0处().A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案:C知识点解析:9、设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是().A、f(x0,y)在y=y0处导数为零B、f(x0,y)在y=y0处导数大于零C、f(x0,y)在y=y0处导数小于零D、f(x0,y)在y=y0处导数不存在标准答案:A知识点解析:可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则有f’x(x0,y0)=0,f’y(x0,y0)=0,于是f(x0,y0)在y=y0处导数为零,选(A).10、函数f(x)=x3-3x+k只有一个零点,则k的范围为().A、|k|<1B、|k|>1C、|k|>2D、k<2标准答案:C知识点解析:f(x)=-∞,f(x)=+∞,令f’(x)=3x2=3x2-3=0,得x=±1,f’’(x)=6x,由f’’(-1)=-6<0,得x=-1为函数的极大值点,极大值为f(-1)=2+k,由f’’(1)=6>0,得x=1为函数的极小值点,极小值为f(1)=-2+k,因为f(x)=x3-3x+k只有一个零点,所以2+k<0或-2+k>0,故|k|>2,选(C).11、函数f(x,y)在(0,0)点可微的充分条件是()A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:由可知,f(x,y)的两个一阶偏导数fx’(x,y)和fy’(x,y)在(0,0)点连续,因此f(x,y)在(0,0)点可微。故选D。12、已知A是三阶矩阵,r(A)=1,则λ=0()A、必是A的二重特征值.B、至少是A的二重特征值.C、至多是A的二重特征值.D、一重、二重、三重特征值都有可能.标准答案:B知识点解析:A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数.r(A3×3)=1,即r(0E-A)=1,(0E-A)x=0必有两个线性无关特征向量.故λ=0的重数≥2.至少是二重特征值,也可能是三重.例如A=,r(A)=1,但λ=0是三重特征值.所以应选B.13、A,B,C三个随机事件必相互独立,如果它们满足条件A、A,B,C两两独立.B、P(ABC)=P(A)P(B)P(C).C、P(A一B)=1.D、P(A一B)=0.标准答案:C知识点解析:由三个事件相互独立的条件可知,(A)与(B)显然不对.由以上1),2),3)可知A,B,C两两独立.4)由P(ABC)≤P(B)=0→P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C).由以上可知,A,B,C满足四个等式,故选(C).14、已知,y1=x,y2=x2,y3=ex为方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x。+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x—ex)+x。D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。标准答案:C知识点解析:方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程,则(x一x2)和(x-ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解,则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x,故选C。15、设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为α1,α2,α3,令P=(3α2,-α3,2α1),则P-1AP等于().A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:显然3α2-α3,2α1也是特征值1,2,-1的特征向量,所以P-1AP=.选C.16、假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min{X,2}的分布函数A、是连续函数.B、至少有两个间断点.C、是阶梯函数.D、恰好有一个间断点.标准答案:D知识点解析:由于Y=min{X,2}=所以Y的分布函数为计算得知FY(y)只在y=2处有一个间断点,应选D.17、设A是三阶矩阵,B是四阶矩阵,且|A|=2,|B|=6,则为().A、24B、一24C、48D、一48标准答案:D知识点解析:,选D.18、设f(x))连续,且满足f(x)=+ln2,则f(x)=()A、exln2B、e2xln2C、ex+In2D、e2x+ln2标准答案:B知识点解析:原方程求导得f’(x)=2f(x),即,积分得f(x)=Ce2x,又f(0)=ln2,故C=ln2,从而f(x)=e2xln2.19、方程y(4)一2y"’一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式(其中a,b,c,d为常数)是()A、axe-3x+bxe-x+cxe3B、ae-3x+bxe-x+cx+dC、ae-3x+bxe-x+cxe3+dx2D、axe-3x+be-x+cx3+dx标准答案:C知识点解析:特征方程r2(r2一2r一3)=0,特征根为r1=3,r2=一1,r3=r4=0,对f1=e-3x,λ1=一3非特征根,y1*=ae-3x;对f2=一2e-x,λ2=一1是特征根,y2*=bxe-x;对f3=x,λ3=0是二重特征根,y3*=x2(cx+d),所以特解y*一y1*+y2*+y3*=ae-x+bxe+cx3+dx2.20、已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组2α1+α3+α4,α2一α4,α3+α4,α2+α3,2α1+α2+α3的秩是()A、1B、2C、3D、4标准答案:C知识点解析:r(2α1+α3+α4,α2一α4,α3+α4,α2+α3,2α1+α2+α3)r(β1,β2,β3,β4,β5).[β1,β2,β3,β4,β5]=[α1,α2,α3,α4]因r(α1,α2,α3,α4)=4,故r(β1,β2,β3,β4,β5)=21、设随机变量X在[0,1]上服从均匀分布,记事件A=则()A、A与B互不相容B、B包含AC、A与B对立D、A与B相互独立标准答案:D知识点解析:由图3—2—1可立即得到正确选项为D,事实上,根据题设可知22、设A,B,C为随机事件,且A发生必导致B与C最多有一个发生,则有()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:B与C最多有一个发生(即B与C同时发生的反面)等价于事件。当A发生时必导致B与C最多有一个发生,说明A故选C。23、已知(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=g(x)h(y),其中g(x)≥0,h(y)≥0,a=存在且不为零,则X与Y独立,其密度函数fX(x),fY(y)分别为A、fX(x)=g(x),fY(y)=h(y).B、fX(x)=ag(x),fY(y)=bh(y).C、fX(x)=bg(x),fY(y)=ah(y).D、fX(x)=g(x),fY(y)=abh(y).标准答案:C知识点解析:显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项.由于所以f(x,y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=fX(x)fY(y),X与Y独立,故选(C).24、二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx’(x0,y0),fy’(x0,y0)存在,是f(x,y)在该点连续的()A、充分条件而非必要条件.B、必要条件而非充分条件.C、充分必要条件.D、既非充分条件又非必要条件.标准答案:D知识点解析:暂无解析25、A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:暂无解析考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷第2套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设x→a时,f(x)与g(x)分别是x—a的n阶与m阶无穷小,则下列命题中,正确的个数是()①f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小。②若n>m,则是x—a的n—m阶无穷小。③若n≤m,则f(x)+g(x)是x—a的n阶无穷小。A、1B、2C、3D、0标准答案:B知识点解析:此类问题要逐一进行分析,按无穷小阶的定义:关于①:故x→a时,f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小;关于②:若n>m,故x→a时,f(x)/g(x)是x—a的n—m阶无穷小;关于③:例如,x→0时,sinx与—x均是x的一阶无穷小,但即sinx+(—x)是x的三阶无穷小。因此①,②正确,③错误。故选B。2、设函数f(x)=在(一∞,+∞)内连续,且f(x)=0,则常数a,b满足()A、a<0,b<0B、a>0,b>0C、a≤0,b>0D、a≥0,b<0标准答案:D知识点解析:因f(x)连续,故a+ebx≠0,因此只要a≥0即可。再由可知x→一∞时,a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在),此时需b<0,故选D。3、当x→0时,ex一(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小,则()A、B、a=1,b=1.C、D、a=一1,b=1.标准答案:A知识点解析:显然要使上式为x2高阶的无穷小(x→0时),只要故选A.4、设则必有()A、AP1P2=B.B、AP2P1=B.C、P1P2A=B.D、P2P1A=B.标准答案:C知识点解析:由于对矩阵Am×n施行一次初等变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对Am×n作一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵,而经过观察A、B的关系可以看出,矩阵B是矩阵A先把第1行加到第3行上,再把所得的矩阵的第1、2两行互换得到的,这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的P2与P1,因此选项C正确.5、设ξ为f(x)=arctanx在[0,a]上使用微分中值定理的中值,则为().A、1B、C、D、标准答案:C知识点解析:6、设f(x+1)=af(x)总成立,f’(0)=b,其中a≠1,b≠1为非零常数,则f(x)在点x=1处A、不可导.B、可导且f’(1)=a.C、可导且f’(1)=b.D、可导且f’(1)=ab.标准答案:D知识点解析:按定义考察=af’(0)=ab,ab≠a,ab≠b.因此,应选(D).7、设其中f(x)在x=0处可导,f’(0)≠0,f(0)=0,则x=0是F(x)的()A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、连续点或间断点不能由此确定标准答案:B知识点解析:8、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数是A、1+sinx.B、1一sinx.C、1+cosx.D、1一cosx.标准答案:B知识点解析:由题设可知f’(x)=sinx,从而f(x)=∫sinxdx=一cosx+C1,于是f(x)的全体原函数为∫f(x)dx=一sinx+C1x+C2,其中C1,C2为任意常数.取C1=0,C2=1,即得1一sinx是f(x)的一个原函数.故应选(B).9、设cosx-1=xsina(x),其中|a(x)|<π/2,则当x→0时,a(x)是A、比x高阶的无穷小B、比x低阶的无穷小C、比x同阶但不等价的无穷小D、与x等价的无穷小标准答案:C知识点解析:暂无解析10、设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是().A、A的列向量线性相关B、A的行向量线性相关C、A的行向量线性无关D、A的列向量线性无关标准答案:D知识点解析:暂无解析11、已知(X,Y)服从二维正态分布,E(X)=E(Y)=μ,D(X)=D(Y)=σ2,X与Y的相关系数ρ≠0,则X与Y()A、独立且有相同的分布。B、独立且有不同的分布.C、不独立且有相同的分布.D、不独立且有不同的分布.标准答案:C知识点解析:因为(X,Y)服从二维正态分布,故X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),即X与Y有相同的分布,但是ρ≠0,所以X与Y不独立,选C.12、函数f(x)=(t2一t)dt(x>0)的最小值为()A、B、一1C、0D、标准答案:A知识点解析:,得唯一驻点处取极小值,因为极值点唯一,极小值即是最小值,最小值为13、设an>0,n=1,2,…,若(一1)n—1an收敛,则下列结论正确的是A、a2n发散.B、a2n—1发散.C、(a2n—1+a2n)收敛.D、(a2n—1—a2n)收敛.标准答案:D知识点解析:注意,级数(a2n—1—a2n)是把收敛级数(一1)n—1an各项不改变顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数,由收敛级数的性质知该级数必收敛,故应选D.14、设f(x)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,则F(x)是A、单调增加的奇函数B、单调增加的偶函数C、单调减小的奇函数D、单调减小的偶函数标准答案:C知识点解析:对被积函数作变量替换u=x-t,就有由于f(x)为奇函数,故为偶函数,于是为奇函数,又因uf(u)为偶函数,从而为奇函数,所以F(x)为奇函数.又由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得从而F’(x)=x[f(ξ)-f(x)],无论x>0,还是x<0,由f(x)单调增加,都有F’(x)<0,从而应选C.其实由及f(x)单调增加也可得F’(x)<0.15、设区域D={(x,y)||x+|y|≤1},D1为D在第一象限部分,f(x,y)在D上连续且f(x,y)≠0,则成立的一个充分条件是A、f(-x,-y)=f(x,y).B、f(-x,-y)=-f(x,y).C、f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,y).D、f(-x,y)=f(x,-y)=f(x,y).标准答案:D知识点解析:(D)表明f(x,y)关于x是偶函数,关于y也是偶函数,故当条件(D)成立时,结论成立.(A)不充分.如f(x,y)=xy,有f(-x,-y)=xy=f(x,y),但同样,令f(x,y)=xy,可知满足(C)的条件,但,故条件(C)不充分.对条件(B),令f(x,y)=xy2,有f(-x,-y)=-f(x,y),但16、设(X,Y)服从二维正态分布,其边缘分布为X~N(1,1),Y~N(2,4),X,Y的相关系数为ρXY=一0.5,且P(aX+bY≤1)=0.5,则().A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:因为(X,Y)服从二维正态分布,所以aX+bY服从正态分布,E(aX+bY)=a+2b,D(aX+bY)=a2+4b2+2abCov(X,Y)=a2+4b2一2ab,即aX+bY~N(a+2b,a2+4b2一2ab),由P(aX+bY≤1)=0.5得a+2b=1,所以选D.17、设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵,下列命题不正确的是()A、若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价。B、若B=PA,则A的行向量组与B的行向量组等价。C、若B=PAQ,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。D、若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价,则矩阵A与B等价。标准答案:C知识点解析:将等式B=AQ中的A,B按列分块,设A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),则有(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)。表明向量组β1,β2,…,βn可由向量组α1,α2,…,αn线性表示。由于Q可逆,从而有A=BQT,即(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βn)Q-1,表明向量组α1,α2,…,αn可由向量组β1,β2,…,βn线性表示,因此这两个向量组等价,故A选项的命题正确。类似地,对于PA=B,将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价,从而B选项的命题正确。下例可表明C选项的命题不正确。设A=,则P,Q均为可逆矩阵,且B=PAQ=但B的行(列)向量组与A的行(列)向量组不等价,故选C。对于选项D,若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则这两个向量组的秩相同,从而矩阵A与B的秩相同,故矩阵A与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。18、方程f(x)==0的根的个数为A、1.B、2.C、3.D、4标准答案:B知识点解析:问方程f(x)=0有几个根,也就是问f(x)是x的几次多项式.为此应先对f(x)作恒等变形.将第1列的-1倍分别加至第2,3,4列得再将第2列加至第4列,行列式的右上角为O.可用拉普拉斯展开式(1.6),即,从而知应选(B).19、设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则()A、λE一A=λE—BB、A与B有相同的特征值和特征向量C、A和B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数t,tE一A与tE一B相似标准答案:D知识点解析:因为由A与B相似不能推得A=B,所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,但不一定具有相同的特征向量,故选项B也不正确。对于选项C,因为根据题设不能推知A,B是否相似于对角阵,故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上,因A与B相似,故存在可逆矩阵P,使P—1AP=B,于是P—1(tE—A)P=tE一P—1AP=tE一B,可见对任意常数f,矩阵tE一A与tE一B相似。所以应选D。20、设A是n阶实对称矩阵,将A的第i列和第j列对换得到B,再将B的第i行和第j行对换得到C,则A与C()A、等价但不相似B、合同但不相似C、相似但不合同D、等价,合同且相似标准答案:D知识点解析:对矩阵作初等行、列变换,用左、右乘初等矩阵表示,由题设AEij=B,EijB=C,故C=EijB=EijAEij。因Eij=EijT=Eij—1,故C=EijAEij=Eij—1AEij=EijTAEij,故A与C等价,合同且相似,故应选D。21、设An×n是正交矩阵,则()A、A*(A*)T=|A|EB、(A*)T*=|A*|EC、A*(A*)T=ED、(A*)TA*=一E标准答案:C知识点解析:A是正交矩阵,则有A-1=AT=,A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E.22、设随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布,且方差σ2>0,记的相关系数为()A、—1B、0C、D、1标准答案:B知识点解析:由于Xi独立同分布,所以D(Xi)=σ2,,Cov(X1,Xi)=0(i≠1),故选项B正确。23、设X为连续型随机变量,方差存在,则对任意常数C和ε>0,必有()A、P{|X—C|≥ε}=E(|X—C|)/εB、P{|X—C|≥ε}≥E(|X—C|)/εC、P{|X—C|≥ε}≤E(|X—C|)/εD、P{|X—C|≥ε}≤DX/ε2标准答案:C知识点解析:故选(C).24、设三阶矩阵A的特征值为一1,1,2,其对应的特征向量为α1,α2,α3,令P=(3α2,一α3,2α1),则P一1AP等于().标准答案:C知识点解析:显然3α2,一α3,2α1也是特征值1,2,一1的特征向量,所以P一1AP=,选(C).25、设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导函数图形如图所示,则f(x)有()A、一个极小值点和两个极大值点.B、两个极小值点和一个极大值点.C、两个极小值点和两个极大值点.D、三个极小值点和一个极大值点.标准答案:C知识点解析:暂无解析考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷第3套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设A,B是任意两个随机事件,则P=()A、0.B、C、D、1.标准答案:A知识点解析:由事件运算法则的分配律知故选A.2、设f(x)是不恒为零的奇函数,且f’(0)存在,则g(x)=().A、在x=0处无极限B、x=0为其可去间断点C、x=0为其跳跃间断点D、x=0为其第二类间断点标准答案:B知识点解析:因为f’(0)存在,所以f(x)在x=0处连续,又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,显然x=0为g(x)的间断点,因为,所以x=0为g(x)的可去间断点,选B.3、若α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,则().A、α1可由α2,α3线性表示B、α4可由α1,α2,α3线性表示C、α4可由α1,α3线性表示D、α4可由α1,α2线性表示标准答案:A知识点解析:因为α2,α3,α4线性无关,所以α2,α3线性无关,又因为α1,α2,α3线性相关,所以α1可由α2,α3线性表示,选(A).4、设函数f(x)具有任意阶导数,且fˊ(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)=()A、n[f(x)]n+1B、n![f(x)]n+1C、(n+1)[f(x)]n+1D、(n+1)![f(x)]n+1标准答案:B知识点解析:由fˊ(x)=[f(x)]2得fˊˊ(x)=[fˊ(x)]ˊ=[(f(x))2]ˊ=2f(x)fˊ(x)=2[f(x)]3,这样n=1,2时.f(n)(x)=n![f(x)]n+1成立.假设n=k时,f(k)(x)=k![f(x)]k+1.则当n=k+1时,有f(k+1)(x)=[k!(f(x))k+1]ˊ=(k+1)![f(x)]kfˊ(x)=(k+1)![f(x)]k+2,由数学归纳法可知,结论成立,故选(B).5、现有四个向量组①(1,2,3)T,(3,-1,5)T,(0,4,-2)T,(1,3,0)T②(a,1,b,0,0)T,(c,0,d,2,0)T,(e,0,f,0,3)T③(a,1,2,3)T,(b,1,2,3)T,(c,3,4,5)T,(d,0,0,0)T④(1,0,3,1)T,(-1,3,0,-2)T,(2,1,7,2)T,(4,2,14,5)T则下列结论正确的是()A、线性相关的向量组为①④;线性无关的向量组为②③.B、线性相关的向量组为③④;线性无关的向量组为①②.C、线性相关的向量组为①②;线性无关的向量组为③④.D、线性相关的向量组为①③④;线性无关的向量组为②.标准答案:D知识点解析:向量组①是四个三维向量,从而线性相关,可排除B.由于(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)线性无关,添上两个分量就可得向量组②,故向量组②线性无关.所以应排除C.向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例,于是α1,α2,α3线性相关,那么添加α3后,向量组③必线性相关.应排除A.由排除法,所以应选D.6、曲线当x→-∞时,它有斜渐近线()A、y=x+1B、y=-5g+1C、y=-x一1D、y=x一1标准答案:C知识点解析:因此有斜渐近线y=-x一1,应选(C).7、在区间[0,8]内,对函数f(x)=,罗尔定理()A、不成立B、成立,并且f’(2)=0C、成立,并且f’(4)=0D、成立,并且f’(8)=0标准答案:C知识点解析:因为f(x)在[0,8]上连续,在(0,8)内可导,且f(x)=f(8),故f(x)在[0,8]上满足罗尔定理条件.得f’(4)=0,即定理中ξ可以取为4.8、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E,其中E为n阶单位矩阵,则必有【】A、ACB=EB、CBA=EC、BAC=ED、BCA=E标准答案:D知识点解析:由题设条件A(BC)=E,知A与BC互为逆矩阵,BCA=E.9、设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,则().A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:取f(x)=,(A)不对;取f(x)=cosx,显然=1≠0,(B)不对;取f(x)=x,显然=1,(C)不对,选(D).事实上,取ε=>0,因为f’(x)=A,所以存在x>0,当x>X时,|f’(x)-A|<,从而f’(x)>.当x>X时,f(x)-f(X)=f’(ξ)(x-X)>(x-X)(X<ξ<x),从而f(x)>f(X)+(x-X),两边取极限得f(x)=+∞,选(D).10、若C,C1,C2,C3是任意常数,则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是A、y=C1x2+C2x+C3.B、x2+y2=C.C、y=in(C1x)+In(C1sinx).D、y=C1sin2x+C2cos2x.标准答案:D知识点解析:在所给的选项(A),(B),(c)中y包含的任意常数都不是两个,因而它们都不能看成某个二阶微分方程的通解,故应选(D).11、设函数f(x)连续,若F(u,υ)=其中区域Dνυ为图1—4—1中阴影部分,则A、υf(u2)B、f(u2)C、υf(u)D、标准答案:A知识点解析:题设图像中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤υ,1≤r≤u。因此可知根据变限积分求导可得=υf(u2)。12、设a为常数,则级数A、绝对收敛.B、条件收敛.C、发散.D、收敛性与a的取值有关.标准答案:C知识点解析:由于.应选C.13、设,则().A、|r|<1B、|r|>1C、r=一1D、r=1标准答案:C知识点解析:14、若α1,α2,α3线性无关,那么下列线性相关的向量组是A、α1,α1+α2,α1+α2+α3.B、α1+α2,α1-α2,一α3.C、一α1+α2,α2+α3,α3-α1.D、α1一α2,α2-α3,α3一α1.标准答案:D知识点解析:用观察法.由(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0,可知α1一α2,α2一α3,α3一α1线性相关.故应选(D).至于(A),(B),(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为0来判断.例如,(A)中r(α1,α1+α2,α1+α2+α3)=r(α1,α1+α2,α3)=r(α1,α2,α3)=3.或(α1,α1+α2,α1+α2+α3)=由行列式而知α1,α1+α2,α1+α2+α3线性无关.15、设(a2n—1+a2n)收敛,则()A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:当an>0时,级数(a2n—1+a2n)为正项级数,由于该级数收敛,则其部分和数列an的部分和数列Sn=a1+a2+…+an有上界,则级数an必收敛,故选D。16、下列结论中正确的是A、若数列{un}单调有界,则级数收敛.B、若级数部分和数列{Sn}单调有界,则级数收敛.C、若级数收敛,则数列{un}单调有界.D、若级数收敛,则级数部分和数列{Sn}单调有界.标准答案:B知识点解析:由级数收敛的概念知级数收敛就是其部分和数列{Sn}收敛.数列{un}单调有界只说明存在,未必有存在;由{Sn}单调有界必存在极限即可判定级数收敛,故选B.而由级数收敛,虽然可以确定数列{Sn}和{un}收敛,但{Sn}和{un}未必是单调的.17、设X,Y为两个随机变量,若对任意非零常数a,b有D(aX+bY)=D(aX一bY),下列结论正确的是().A、D(XY)=D(X)D(Y)B、X,Y不相关C、X,Y独立D、X,Y不独立标准答案:B知识点解析:D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X,Y),D(aX一bY)=a2D(X)+b2D(Y)一2abCov(X,Y),因为D(aX+bY)=D(aX一bY),所以Cov(X,Y)=0,即X,Y不相关,选(B).18、若正项级数()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案:C知识点解析:19、设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2均未知。现从中随机抽取16个零件,测得样本均值=20(cm),样本标准差s=1(cm),则μ的置信度为0.90的置信区间是A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:由题意,总体(零件长度)X~N(μ,σ2),μ,σ2均未知,从X中抽得的样本(即抽得的16个零件长度)为X1,…,Xn,这里n=16.而本题中,=20,S=1,n=16,1一α=0.90,代入即得μ的置信度为0.9的置信区间为:(20一t0.05(16—1)20、设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则()A、当m>n,必有行列式|AB|≠0。B、当m>n,必有行列式|AB|=0。C、当n>m,必有行列式|AB|≠0。D、当n>m,必有行列式|AB|=0。标准答案:B知识点解析:因为AB是m阶方阵,且r(AB)≤min{r(A),r(B}≤min{m,n},所以当m>n时,必有r(AB)21、设D:|x|+|y|≤1,则(|x|+y)dxdy=()A、0B、C、D、1标准答案:C知识点解析:22、下列矩阵中,正定矩阵是()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:二次型正定的必要条件是:aij>0。在选项D中,由于a33=0,易知f(0,0,1)=0,与x≠0,xTAx>0相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零,而在选项A中,二阶主子式在选项B中,三阶主子式△3=|A|=一1。因此选项A、B、D均不是正定矩阵。故选C。23、已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组2α1+α3+α4,α2-α4,α3+α4,α2+α3,2α1+α2+α3的秩是()A、1B、2C、3D、4标准答案:C知识点解析:r(2α1+α3+α4,α2-α4,α3+α4,α2+α3,2α1+α2+α3)(β1,β2,β3,β4,β5)=3.[β1,β2,β3,β4,β5]=[α1,α2,α2,α3]因r(α1,α2,α3,α4)=4,故r(β1,β2,β3,β4,β5)=24、齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1,β2,β3,β4,β5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则()A、β1不能由β3,β4,β5线性表出B、β2不能由β1,β3,β5线性表出C、β3不能由β1,β2,β5线性表出D、β4不能由β1,β2,β3线性表出标准答案:D知识点解析:能能否由其他向量线性表出,只须将屈视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端,去除无关向量,看该非齐次方程是否有解即可,由阶梯形矩阵知,β4不能由β1,β2,β3线性表出.25、设随机变量X~F(m,n),令P{X>Fα(m,n))=α(0<α<1),若P(X<k)=α,则k等于().A、Fα(m,n)B、F1—α(m,n)C、D、标准答案:B知识点解析:根据左右分位点的定义,选B.考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷第4套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设f(x)=sin(cosx),φ(x)=cos(sinx),则在区间(0,)内()A、f(x)是增函数,φ(x)是减函数B、f(x),φ(x)都是减函数C、f(x)是减函数,φ(x)是增函数D、f(x),φ(x)都是增函数标准答案:B知识点解析:注意在内,sinx是增函数,cosx是减函数.任取x1,x2∈;且x1<x2,有cosx1>cosx2,所以sin(cosx1)>sin(cosx2),即f(x)是减函数;由于sinx1sinx2,所以cos(sinx1)>cos(sinx2),即φ(x)是减函数.2、已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且f(0)=0,=2,则在点x=0处f(x)()A、不可导。B、可导且f'(0)≠0。C、取得极大值。D、取得极小值。标准答案:D知识点解析:因当x→0时,1一cosx~x2,故极限条件等价于=2。从而可取f(x)=x2,显然满足题设条件。而f(x)=x2在x=0处取得极小值,故选D。3、设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是A、若u1>u2,则{un}必收敛.B、若u1>u2,则{un}必发散.C、若u1<u2,则{un}必收敛.D、若u1<u2,则{un}必发散.标准答案:D知识点解析:暂无解析4、设函数f(x)与g(x)在(a,b)上可导,考虑下列叙述:(1)若f(x)>g(x),则fˊ(x)>gˊ(x);(2)若fˊ(x)>gˊ(x),则f(x)>g(x).因此()A、(1),(2)都正确B、(1),(2)都不正确C、(1)正确,但(2)不正确D、(2)正确,但(1)不正确标准答案:B知识点解析:考虑f(x)=e-x与g(x)=-e-x,显然f(x)>g(x),但fˊ(x)=-e-x,gˊ(x)=e-x,,fˊ(x)<gˊ(x),(1)不正确.将f(x)与g(x)交换可说明(2)不正确.5、若级数收敛,发散,则()A、必发散B、必收敛C、必发散D、必发散标准答案:D知识点解析:方法一:(推理法)由发散,知一定发散,而收敛,则有一定发散。故选D。方法二:(排除法)取,则收敛,发散,但绝对收敛,排除选项A;发散,排除选项B;收敛,排除选项C。故选D。6、设相互独立的两随机变量X与Y均服从分布B则P{X≤2Y}=()A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:P{X≤2Y}=P{X=0}+P{X=1,Y=1}=+P{X=1}P{Y=1}=故选项D正确.7、函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可偏导是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的().A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案:D知识点解析:如f(x,y)=,在点(0,0)处可偏导,但不连续;又如f(x,y)=在(0,0)处连续,但对x不可偏导.选(D).8、函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界.A、(-1,0)B、(1,0)C、(1,2)D、(2,3)标准答案:A知识点解析:暂无解析9、设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A、λ1≠0B、λ2≠0C、λ1=0D、λ2=0标准答案:B知识点解析:暂无解析10、曲线y=x(x—1)(2—x)与x轴所围成的图形面积可表示为()A、一∫02x(x一1)(2一x)dxB、∫01x(x一1)(2—x)dx一∫12x(x一1)(2—x)dxC、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx标准答案:C知识点解析:由于所求平面图形在x轴上、下方各有一部分,其面积为这两部分的面积之和,所以只要考查B、C选项中的每一部分是否均为正即可,显然C正确。事实上,S=∫02|y|dx=∫02|x(x一1)(2一x)|dx=∫01|x(x—1)(2一x)|dx+∫12|x(x一1)(2一x)|dx=—∫a2x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。11、设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其2阶导函数f’’(x)的图形如右图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为A、0.B、1.C、2.D、3.标准答案:C知识点解析:由右图知f’’(x1)=f’’(x2)=0,f(0)不存在,其余点上二阶导数f’’(x)存在且非零,则曲线y=f(x)最多三个拐点,但在x=x1两侧的二阶导数不变号,因此不是拐点.而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号,则曲线y=f(x)有两个拐点,故应选C.12、已知随机变量X服从标准正态分布,Y=2X2+X+3,则X与Y()A、不相关且相互独立.B、不相关且相互不独立.C、相关且相互独立.D、相关且相互不独立.标准答案:D知识点解析:通过计算Cov(X,Y)来判定.由于X—N(0,1),所以E(X)=0,D(X)=E(X2)=1,E(X3)=0,E(XY)=E(X)(2X2+X+3)=2E(X3)+E(X2)+3E(X)=1,Cov(X,Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=1≠0X与Y相关X与Y不独立,应选D.比较积分值的大小:13、设其中D={(x,y)|(x一1)2+(y一1)2≤2},则下述结论正确的是A、I1<I2<I3.B、I2<I3<I1.C、I1<I3<I2.D、I3<I2<I1.标准答案:A知识点解析:利用求极值的方法可以得到(上述不等式也可由图4.18看出),因此A正确.14、设其中,D1={(x,y)|x2+y2≤R2},D2={(x,y)|x2+),y2≤2R2},D3={(x,y)||x|≤R,|y|≤R},则下述结论正确的是A、I1<I2<I3.B、I2<I3<I1.C、I1<I3<I2.D、I3<I2<I1.标准答案:C知识点解析:容易看出:D1D3D2,因此C正确.15、设其中D={(z,y)}x2+y2≤l},则A、I3>I2>I1.B、I1>I2>I3.C、I2>I1>I3.D、I3>I1>I2.标准答案:A知识点解析:在积分区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上有且等号仅在区域D的边界{(x,y)|x2+y2=1}上与点(0,0)处成立.从而在积分区域D上有且等号也仅仅在区域D的边界{(x,y)|x2+y2=1}上与点(0,0)处成立.此外,三个被积函数又都在区域D上连续,按二重积分的性质即得I3>I2>I1,故应选A.16、A,B,C三个随机事件必相互独立,如果它们满足条件A、A,B,C两两独立.B、P(ABC)=P(A)P(B)P(C).C、P(A—B)=1.D、P(A—B)=0.标准答案:C知识点解析:由三个事件相互独立的条件可知,(A)与(B)显然不对.对于(C):由P(A一B)=1→P(AB)=1.由P(A)≥P(AB)=1→P(A)=1.同理P(B)=1,即P(B)=0.下面验证当P(A)==P(B)=0时,它们是否满足四个等式:1)由P(B)=0→P(AB)≤P(B)=0→P(AB)=0=P(A)P(B);2)由P(B)=0→P(BC)≤P(B)=0→P(BC)=0=P(B)P(C);3)由=P(C)=P(C)P(A).由以上1),2),3)可知A,B,C两两独立.4)由P(ABC)≤P(B)=0→P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C).由以上可知,A,B,C满足四个等式,故选C.17、设=()A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:将x视为常数,属基本计算.18、设α1,α2,...,αs均为n维向量,下列结论不正确的是A、若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0,则α1,α2,...,αs,线性无关.B、若α1,α2,...,αs线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,有k1α1+k2α2+…+ksαs=0C、α1,α2,...,αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.D、α1,α2,...,αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.标准答案:B知识点解析:按线性相关定义:若存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使k1α1+k2α2+…+ksαs=0,则称向量组α1,α2,...,αs线性相关.因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,那么,若k1,k2,…,ks不全为0,则(k1,k2,…,ks)T必不是齐次方程组的解,即必有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0.可知(A)是正确的,不应当选.因为“如果α1,α2,...,αs线性相关,则必有α1,α2,...,αs+1线性相关”,所以,若α1,α2,...,αs中有某两个向量线性相关,则必有α1,α2,...,αs线性相关.那么α1,α2,...,αs线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关.因此(D)是正确的,不应当选.19、下列说法正确的是().A、设f(x)在x0二阶可导,则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a,b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a,b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)在(a,b)内有唯一的极值点,则该极值点一定为最值点标准答案:D知识点解析:令不存在,所以(A)不对;若最大值在端点取到则不是极大值,所以(B)不对;(C)显然不对,选(D).20、已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,那么向量α1—α2,α1+α2—2α3,(α2一α1),α1一3α2+2α3中,是方程组Ax=0的解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案:A知识点解析:由Ai=b(i=1,2,3)有A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b一b=0,A(α1+α2一2α3)=Aα1+Aα2一2Aα3=b+b一2b=0,A[(α2-α1)]==0,A(α1一3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0,即α1一α2,α1+α2—2α3,(α2一α1),α1一3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解,故选A。21、下列选项中矩阵A和B相似的是()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:选项A中,r(A)=1,r(B)=2,故A和B不相似。选项B中,tr(A)=9,tr(B)=6,故A和B不相似。选项D中,矩阵A的特征值为2,2,一3,而矩阵B的特征值为1,3,一3,故A和B不相似。在选项C中,矩阵A和B的特征值均为2,0,0。由于A和B均可相似对角化,也即A和B均相似于对角矩阵,故由矩阵相似的传递性可知A和B相似,故选C。22、已知(X,Y)服从二维正态分布,E(X)=E(Y)=μ,D(X)=D(Y)=σ2,X和Y的相关系数ρ=0,则X和Y()A、独立且有相同的分布B、独立且有不相同的分布C、不独立且有相同的分布D、不独立且有不相同的分布标准答案:A知识点解析:二维正态分布独立和不相关等价,故首先可以得到X和Y独立;又(X,Y)服从二维正态分布,故其边缘分布服从一维正态分布,且X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2)。所以选A。23、设X1,X2,X3,X4取自总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本,则统计量服从()A、N(0,1)B、t(1)C、χ2(1)D、F(1,1)标准答案:B知识点解析:由已知条件得,X1一X2~N(0,2σ2),X3+X4—2μ~N(0,2σ2),从而,相互独立.因此24、设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则A、P{Y=-2X-1}=1.B、P{Y=2X-1}=1.C、P{Y=-2X+1}=1.D、P{Y=2X+1}=1.标准答案:D知识点解析:由于X与Y的相关系数ρXY=1>0,因此P{Y=aX+b}=1,且a>0.又因为V~N(1,4),X~N(0,1),所以EX=0,EY=1.而EY=E(aX+b)=bb=1.即应选(D).25、假设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数().A、是连续函数B、至少有两个间断点C、是阶梯函数D、恰好有一个间断点标准答案:D知识点解析:解一首先由分布函数的定义求出分布函数FY(y),然后判断.FY(y)=P(Y≤y)=P(min(X,2)≤y)=1-P(min(X,2)>y)=1-P(X>y,2>y).当y<2时,当y≥2时,P(X>y,2>y)=P(X>Y,)=P()=0,因而FY(y)=1-P(X>y,2>y)=1-0=1.又y≤0时,FY(y)=0,故可见,FY(y)在y=2处有一个间断点.仅(D)入选.解二设X的概率密度、分布函数分别为f(x),F(x),则因当x<2时,Y=X,而X服从指数分布,其分布函数为而当y≥2时,由式③知,事件(Y≤y)为必然事件,故FY(y)=P(Y≤y)=P(Ω)=1.因而因故FY(y)在y=0处连续,但因而FY(y)在y=2处不连续.于是仅(D)入选.考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷第5套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设,则x→0时,f(x)是g(x)的()A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶而非等价无穷小D、等价无穷小标准答案:B知识点解析:由洛必达法则与等价无穷小代换得其中用到的等价无穷小代换:x→0时,根据低阶无穷小的定义可知,故选B。2、设事件A与B满足条件则()A、A∪B=φ.B、A∪B=Ω.C、A∪B=A.D、A∪B=B.标准答案:B知识点解析:由对称性可知选项C、D都不成立(否则,一个成立另一个必成立),而若选项A成立这与已知相矛盾,所以正确选项是B.3、下列命题正确的是().A、若|f(x)|在x=a处连续,则f(x)在x=a处连续B、若f(x)在x=a处连续,则|f(x)|在x=a处连续C、若f(x)在x=a处连续,则f(x)在x=a的一个邻域内连续D、若[f(a+h)-f(a—h)]=0,则f(x)在x=a处连续标准答案:B知识点解析:令显然|f(x)|≡1处处连续,然而f(x)处处间断,A不对;令显然f(x)在x=0处连续,但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的,故C不对;令[f(0+h)-f(0-h)]=0,但f(x)在x=0处不连续,D不对;若f(x)在x=a处连续,则f(x)=f(a),又0≤||f(x)|-|f(a)||≤|f(x)-f(a)|,根据夹逼定理,|f(x)|=|f(a)|,选B.4、在最简单的全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)中,要求事件A与B必须满足的条件是()A、0<P(A)<1,B为任意随机事件B、A与B为互不相容事件C、A与B为对立事件D、A与B为相互独立事件标准答案:A知识点解析:故选项A正确。5、下列函数在其定义域内连续的是A、f(x)=nx+sinxB、C、D、标准答案:A知识点解析:由于f(x)=lnx+sinx为初等函数,而初等函数在其定义区间内处处连续,则应选A.6、设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为()A、EB、-EC、AD、-A标准答案:A知识点解析:由B=E+AB(E-A)B=EE-A=B-1由C=A+CAC(E-A)=ACB-1=AC=AB所以,B-C=B-AB=(E-A)B=B-1B=E.故选项A正确.7、设则当x→0时,f(x)是g(x)的().A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案:B知识点解析:因为所以f(x)是g(x)的高阶无穷小,选(B).8、设二维随机变量(X1,X2)的密度函数为f1(x1,x2),则随机变量(Y1,Y2)(其中Y1=2X1,Y2=X2)的概率密度f2(y1,y2)等于()A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:设(X1,X2)的分布为F1(x1,x2),(Y1,Y2)的分布为F2(y1,y2)。F2(y1,y2)=P{Y1≤y1,Y2≤y2}=P{2X1≤y1,X2≤y2}=P{X1≤,X2≤3y2}=F2(,3y2)。所以f2(y2,y2)=故选项B正确。9、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数是A、1+sinx.B、1一sinx.C、1+cosx.D、1一cosx.标准答案:B知识点解析:由题设可知f’(x)=sinx,从而f(x)=∫sinxdx=一cosx+C1,于是f(x)的全体原函数为∫f(x)dx=一sinx+C1x+C2,其中C1,C2为任意常数.取C1=0,C2=1,即得1一sinx是f(x)的一个原函数.故应选(B).10、设A,B为同阶方阵,则A与B相似的充分条件是()A、秩(A)=秩(B).B、|A|=|B|.C、A与B有相同的特征多项式.D、A、B有相同的特征值λ1,λ2,…,λn,且λ1,λ2,…,λn两两不同.标准答案:D知识点解析:在选项D的条件下,存在适当的可逆矩阵P、Q,使P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Q-1BQ,QP-1APQ-1=B,(PQ-1)-1A(PQ-1)=B,因PQ-1可逆,知A与B相似.11、设∫f(x)dx=x2+C,则∫xf(1-x2)dx等于().A、(1-x2)2+CB、(1-x2)2+CC、2(1-x2)2+CD、-2(1-x2)2+C标准答案:B知识点解析:,选(B).12、设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0()A、当n>m时,仅有零解.B、当n>m时,必有非零解.C、当m>n时,仅有零解.D、当m>n时,必有非零解.标准答案:D知识点解析:因为AB是m阶矩阵,且r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤min{m,n}(矩阵越乘秩越小),所以当m>n时,必有r(AB)<m,根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知,选项D正确.13、极限().A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案:C知识点解析:14、设随机事件A与B互不相容,0<P(A)<1,0<P(B)<1,记X与Y的相关系数为ρ,则()A、ρ=0.B、ρ=1.C、ρ<0.D、ρ>0.标准答案:C知识点解析:选项B不能选,否则选项D必成立.因此仅能在选项A、C、D中考虑,即考虑ρ的符号,而相关系数符号取决于Coy(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y),根据题设知E(X)=P(A),E(Y)=P(B),XY-(因为P(AB)=0),所以Cov(X,Y)=一E(X).E(Y)<0,故选C.15、在下列微分方程中,以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是()A、y"’+y"一4y’一4y=0B、y"’+y"+4y’+4y=0C、y"’一y"一4y’+4y=0D、y"’一y"+4y’一4y=0标准答案:D知识点解析:已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x,可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为r=1,r=±2i,所以特征方程为(r一1)(r一2i)(r+2i)=0,即r3-r2+4r-4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系,可知所求微分方程为y"一y"+4y’-4y=0。16、设D是由曲线y=x3与直线x=-1与y=1围成的区域,D1是D在第一象限的部分,则=A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:用曲线段Г={(x,y)|y=-x3,-1≤x≤0}与x轴,y轴将区域D分成D1,D2,D3,D4四个部分(见图4.19),于是D1与D2关于y轴对称,D3与D4关于x轴对称.由于xy对x或对y均为奇函数,因此=0.又由于cosxsiny对x是偶函数,而对y是奇函数,所以.综上所述,应选(A).17、设A1,A2和B是任意事件,且0<P(B)<1,P((A1∪A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B),则A、P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2).B、P(A1∪A2)=P(A1|B)+P(A2|B).C、P(A1∪A2B)=P(A1B)+P(A2B).D、P((A1∪A2)|).标准答案:C知识点解析:由条件知,P(A1A2|B)=0,但是这不能保证P(A1A2)=0和P(A1A2|)=0,故(A)和(D)不成立.由于P(A1|B)+P(A2|B)=P((A1∪A2)|B)未必等于P(A1∪A2),因此(B)一般也不成立.由P(B)>0及P((A1∪A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B),可见选项C成立:18、设α1,α2,α3,α4为四维非零列向量组,令A=(α1,α2,α3,α4),AX=0的通解为X=k(0,一1,3,0)T,则A*X=0的基础解系为().A、α1,α3B、α2,α3,α4C、α1,α2,α4D、α3,α4标准答案:C知识点解析:因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量,所以r(A)=3,于是r(A*)=1.因为A*A=|A|E=O,所以α1,α2,α3,α4为A*X=0的一组解,又因为一α2+3α3=0,所以α2,α3线性相关,从而α1,α2,α4线性无关,即为A*X=0的一个基础解系,应选C.19、已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定,矩阵A=(aij)3×3,则()A、A是正定矩阵B、A是可逆矩阵C、A是不可逆矩阵D、以上结论都不对标准答案:B知识点解析:f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+(a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型f正定,所以对任意x≠0,f>0的充要条件是Ax≠0,即齐次线性方程组Ax=0只有零解,故A是可逆矩阵。所以选B。20、设A为n阶可逆矩阵,λ是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的特征值之一是()A、λ-1|A|n。B、λ-1|A|。C、λ|A|。D、λ|A|n。标准答案:B知识点解析:设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量,则Ax=λx。两边左乘A*,结合A*A=|A|E得A*Ax=A*(λx),即|A|x=λA*x,从而A*x=x,可见A*有特征值=λ-1|A|,故选B。21、设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解;④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解.其中正确的是()A、①④B、①②C、②③D、③④标准答案:B知识点解析:当Anx=0时,易知An+1x=A(Anx)=0,故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解,也即①正确、③错误.当An+1x=0时,假设Anx≠0,则有x,Ax,…,Anx均不为零,可以证明这种情况下x,Ax,…,Anx是线性无关的.由于x,Ax,…,Anx均为n维向量,而n+1个n维向量都是线性相关的,矛盾,故假设不成立,因此必有Anx=0.可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解,故②正确,④错误,故选(B)。22、设随机变量X,Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(1,1),则().A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:X,Y独立,X~N(0,1),Y~N(1,1),X+Y~N(1,2)→P(X+Y≤1)=,所以选B.23、设随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布,且方差σ2>0,记的相关系数为A、-1.B、0.C、D、1.标准答案:B知识点解析:由于Xi独立同分布,故DXi=σ2,DX=,Cov(X1,Xi)=0(i≠1),故应选(B).24、非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则().A、r=m时,方程组AX=b有解B、r=n时,方程组AX=b有唯一解C、m=n时,方程组AX=b有唯一解D、r<n时,方程组AX=b有无穷多解标准答案:A知识点解析:解一因A为m×n矩阵,若秩(A)=m,则m=秩(A)≤秩([A|b])≤m,于是秩(A)-秩([A|b])=m,故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解.仅(A)入选.解二由秩(A)=m知,A的行向量组线性无关,其延伸向量组必线性无关,故增广矩阵[A|b]的m个行向量也线性无关,故秩(A)=秩([A|b])=秩(A)=m,所以仅(A)入选.解三因选项(B)、(C)、(D)中均不能保证秩(A)=秩([A|b]),因而都不能保证方程组有解,更谈不上是唯一解或无穷多解.上例选项(A)中的结论可写成如下命题的形式,可直接使用.25、设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是().A、P(X=Y)=1/2B、P(X=Y)=1C、P(X+Y=0)=1/4D、P(XY=1)=1/4标准答案:A知识点解析:解一仅(A)入选.首先要注意X与Y同分布绝不是X=Y或P(X=Y)=1.下面将随机变量表示的事件{X=Y),{X+Y}及{XY}分解为互斥事件的和事件,再求其概率.{X=Y}={X=1,Y=1}+{X=-1,Y=-1}(两事件互斥),{X+Y=0}={X=1,Y=-1}+{X=-1,Y=1)(两事件互斥),{XY}=1={X=1,Y=1}+{X=-1,Y=-1}(两事件互斥).再由两事件的独立性及互斥性,由已给的分布得到P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=2×(1/4)=1/2,P(X+Y=0)=P(X=1,Y=-1)+P(X=-1,Y=1)=P(X=1)P(Y=-1)+P(X=-1)P(Y=1)=1/2,P(XY=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)-1/2.解二仅(A)入选.用同一表格法求之.由题设条件易求得故P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=Y=1)=1/4+1/4=1/2,P(X+Y=0)=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=1/4+1/4=1/2,P(XY=1)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=1/4+1/4=1/2.考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷第6套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:2、两个无穷小比较的结果是()A、同阶B、高阶C、低阶D、不确定标准答案:D知识点解析:如,β(x)=x,当x→0时,都是无穷小,但不存在,故α(x)和β(x)无法比较阶的高低.3、设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解,则当x=0时,().A、不存在B、等于0C、等于1D、其他标准答案:C知识点解析:4、设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处()A、必取极大值B、必取极小值C、不可能取极值D、是否取极值不能确定标准答案:D知识点解析:取f(x)=(1-x2)3和,两者都在x=0处取得极大值,但f(x)g(x)=-1在x=0处不取极值,排除选项A和选项B;取f(x)=-x2和g(x)=-x4,且都在x=0取得极大值,但f(x)﹒g(x)=x6在x=0取极小值,排除选项C。故选D。5、以下四个命题中,正确的是A、若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.B、若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.C、若f’(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.D、若f(x)在(0,1)内有界,则f’(x)在(0,1)内有界.标准答案:C知识点解析:暂无解析6、当x→1时,函数的极限A、等于2.B、等于0.C、为∞.D、不存在但不为∞.标准答案:D知识点解析:暂无解析7、设=一1,则在x=a处().A、f(x)在x=a处可导且f’(a)≠0B、f(a)为f(x)的极大值C、f(a)不是f(x)的极值D、f(x)在x=a处不可导标准答案:D知识点解析:暂无解析8、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt,则F(x)().A、为正常数B、为负常数C、为零D、取值与x有关标准答案:A知识点解析:由周期函数的平移性质,F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫-ππesintsintdt,再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsint—e-sintsint)dt=∫0π(esint一e-sint)sintdt,又(esint一e-sint)sint连续、非负、不恒为零,所以F(x)>0,选A.9、函数f(x)=|xsinx|ecosx,-∞<x<+∞是().A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案:D知识点解析:显然函数为偶函数,选(D).10、n维向量组α1,α2,…,αm(3≤m≤n)线性无关的充分必要条件是【】A、存在不全为0的数k1,k2,…,km,使k1α1+k2α2+…+kmαm≠0.B、α1,α2,…,αm中任意两个向量都线性无关.C、α1,α2,…,αm中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.D、α1,α2,…,αm中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.标准答案:D知识点解析:暂无解析11、设4阶方阵A的行列式|A|=0,则A中【】A、必有一列元素全为0.B、必有两列元素对应成比例.C、必有一列向量是其余列向量的线性组合.D、任一列向量是其余列向量的线性组合.标准答案:C知识点解析:暂无解析12、设X1,X2,…,Xn是来自总体X~N(0,1)的简单随机样本,则统计量服从()A、y~χ2(n-1)B、y~t(n-1)C、Y~F(n,1)D、Y~F(1,n-1)标准答案:B知识点解析:由总体X~N(0,1)知X1~N(0,1),~χ2(n-1),且它们相互独立,所以因此本题选(B).13、设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+=1,则事件A和BA、互不相容B、互相对立C、不独立D、独立标准答案:D知识点解析:化简得P(AB)=P(A)P(B),选(D)。14、n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的()A、充分必要条件.B、充分而非必要条件.C、必要而非充分条件.D、既非充分也非必要条件.标准答案:A知识点解析:若A~A=,则有可逆矩阵P使P-1AP=A,或AP=PA.令P=[γ1,γ2,…,γn],即A[γ1,γ2,…,γn]=[γ1,γ2,…,γ2]=[a1γ1,a2γ2,…,anγn]从而有Aγi=aiγi,i=1,2,…,n由P可逆,即有γi≠0,且γ1,γ2,…,γn线性无关.根据定义可知γ1,γ2,…,γn是A的n个线性无关的特征向量.反之,若A有n个线性无关的特征向量α1,α2,…,αn,且满足Aαi=λiαi,i=l,2,…,n那么,用分块矩阵有由于矩阵P=(α1,α2,…,αN)可逆,所以P-1AP=A,即A与对角矩阵A相似.所以应选A.15、设A,B均是n阶矩阵,下列命题中正确的是A、AB=0A=0或B=0.B、AB≠0A≠0且B≠0.C、AB=0→|A|=0或|B|=0.D、AB
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