考研数学一（常微分方程）模拟试卷1（共151题）

考研数学一（常微分方程）模拟试卷1（共5套）（共151题）考研数学一（常微分方程）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、已知微分方程y"－4y’+4y=0，函数C1C2xe2x(C1，C2为任意常数)为()A、方程的通解。B、方程的特解。C、非方程的解。D、是解，但不是通解也不是特解。标准答案：D知识点解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f"(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y"－4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选(D)。2、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为()A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。B、C1[φ1(x)－φ2(x)]+C2φ3(x)。C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)－φ3(x)]。D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)－φ3(x)，φ2(x)－φ3(x)为所对应齐次方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)－φ3(x)]+C2[φ2(x)－φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1－C1－C2或C1+C2+C3=1，故选(D)。3、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex，则该微分方程为()A、y’"－y"－y’+y=0。B、y’"+y"－y’－y=0。C、y’"－6y"+11y’－6y=0。D、y’"－2y"－y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由三个特解的形式知λ1,2,3=－1，－1，1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根，即(λ+1)2(λ－1)=λ3+λ2－λ－1。因此微分方程形式为y’"+y"－y’－y=0，故选(B)。4、如果ycos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为()A、y=cos2x+2。B、y=cos2x+1。C、y=2cosx。D、y=2cos2x。标准答案：D知识点解析：因为y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解。将其代入微分方程，得－2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。则原微分方程为y’+2tan2x·y=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得等式两边积分，得即ln|y|=ln|cos2x|+ln|C|，于是得y=Ccos2x。由y(0)=2，得C=2，因此所求特解为y=2cos2x，故选(D)。5、设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y"+Py’+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则极限A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在微分方程y"+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y"(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由已知条件y(0)=y’(0)=0，得y"(0)=3。则由等价无穷小代换及洛必达法则故选(B)。6、方程y’"+2y"=x2+xe-2x的特解形式为()。A、y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x。B、y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。C、y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。D、y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。标准答案：D知识点解析：原方程对应的齐次微分方程y’"+2y"=0的特征方程为λ3+2λ2=0。其特征根为λ1=λ2=0，λ3=－2，因此方程y’"+2y"=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c)，方程y’"+2y"=xe－2x特解的形式为xe－2x(dx+e)，由叠加原理可知方程y’"+2y"=x2+xe－2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选(D)。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、微分方程y"－y’－2y=e2x的通解为_____________。标准答案：y=C1e-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2为任意常数，其中C1，C2为任意常数知识点解析：对应齐次方程的特征方程为λ2－λ－2=0，特征根为λ1=－1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一个单根，故令特解为y*=Axe2x，代入原方程得则通解为y=Cxe-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2为任意常数。8、微分方程y+y=e－xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________。标准答案：e-xsinx知识点解析：由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为由y(0)=0，得C=0，故所求特解为y=e-xsinx。9、微分方程y"－2y’+2y=ex的通解为_________。标准答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为λ2－2λ+2=0，特征根为λ1,2=1±i，故对应的齐次方程的通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)。由于α=1不是特征根，可设特解形式为y*=Aex，代入原方程可得A=1。故原方程的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数。10、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)－y(x)，且其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________。标准答案：知识点解析：由(其中α是当△→0时的无穷小量)，得即由一阶线性微分方程的通解公式得再由y(0)=2，得C=2，所以11、设y(x)为微分方程y"－4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则标准答案：知识点解析：经计算得，微分方程y"－4y’+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x。且由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。于是12、方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0的通解是___________。标准答案：y2+1=C(x2－1)，C为任意常数知识点解析：此为可分离变量的微分方程，由题干可得(y2+1)xdx+(1－x2)ydy=0，分离变量得两端积分得所以通解为y2+1=C(x2－1)，C为任意常数。13、微分方程yy"+(y’)2=0满足条件y(0)=1，的解是____________。标准答案：y2=x+1知识点解析：原微分方程可以变形为(yy’)’=0，两边同时积分可得yy’=C1，此为可分离变量的微分方程。分离变量得ydy=C1dx，两边同时积分得代入初值条件y(0)=1，解得所以满足初值条件的解是y2=x+1。14、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=______________。标准答案：(x+C)cosx，C为任意常数知识点解析：此一阶线性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式15、设连续函数f(x)满足则f(x)=____________。标准答案：2e2x－ex知识点解析：因所以可化为两边求导数得f’(x)－2f(x)=ex，解此一阶微分方程得因为f(0)=1，所以有f(0)=C－1=1，即C=2，于是f(0)=2e2x－ex。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)16、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×106)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(kg表示千克，km／h表示千米／小时。)标准答案：方法一：由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0=700km／h。从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)。根据牛顿第二定律，得又于是可得积分得由于v(0)=v0，x(0)=0，故得从而当v(t)→0时，所以，飞机滑行的最长距离为1．05km。方法二：根据牛顿第二定律，有所以两端积分得通解代入初始条件v｜t=0=v0解得C=v0，故飞机滑行的最长距离为方法三：根据牛顿第二定律，有当t→+∞时，所以，飞机滑行的最长距离为1．05km。知识点解析：暂无解析17、设单位质点在水平面内做直线运动，初速度v｜t=0=v0。已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时，此质点的速度为[*]，并求到此时刻该质点所经过的路程。标准答案：设该单位质点的速度为v，则加速度为v’。根据题意可知，该质点受到的阻力F=-v(负号表示阻力的方向与运动方向相反)。由牛顿第二定律F=ma可得－v=v’，结合初值条件v｜t=0=v0解此方程，得v=v0e-t。由解得，t=ln3，到此时刻该质点所经过的路程知识点解析：暂无解析18、已知y1=xex+e2x，y2=xex－e－x，y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。标准答案：因y1，y3线性无关，则y3－y1=e－x为对应齐次方程的解，那么y2+e－x=xex为非齐次解，而y1－xex=e2x为齐次解。齐次方程的特征方程为(λ+1)(λ－2)=0，即λ2－λ－2=0故齐次方程为y"－y－2y=0。设所求的二阶线性非齐次方程为y"－y’－2y=f(x)。将y=xex，y’=ex+xex及y"=2ex+xex代入该方程得f(x)=ex(1－2x)。故所求方程为y"－y’－2y=ex(1－2x)。知识点解析：暂无解析19、求解二阶微分方程满足初始条件的特解标准答案：令则原方程化为ucosy·u’+u2siny=u。当u=0，y=c不符合初始条件，舍去。当u≠0时，得到解为由得C=0。因此y’=siny。解方程得ln|cscy－coty|=x+C2，由得则所求微分方程满足初始条件的解为所以知识点解析：暂无解析20、设f(x)连续，且满足求f(x)。标准答案：令x－t=u，则所以有在等式两端求导得即等式两端再次求导f’(x)=f(x)。解此微分方程得f(x=Cex。又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=ex。知识点解析：暂无解析设函数y=y(x)在(－∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。21、试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；标准答案：由反函数求导法则，则将以上两式代入所给微分方程得y"－y=sinx。知识点解析：暂无解析22、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。标准答案：由上题中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2－1=0，特征根为λ1,2=±1。由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y*=Acosx+Bsinx，并将y*，(y*)’及(y*)"代入y"－y=sinx，得A=0，则非齐次方程通解为又由y(0)=0，可得C1=1，C2=－1。则所求特解为知识点解析：暂无解析23、设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足求f(u)。标准答案：由复合函数求导法则，故代入原方程，得f"(u)e2x=e2xf(u)，即有f"(u)－f(u)=0，其特征方程为λ2－1=0，特征根为λ1,2=±1，因此其通解为f(u)=C1eu+C2e-u，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析24、设有连接两点A(0，1)与B(1，0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点。已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方，求曲线方程。标准答案：如图8-1，设曲线方程为y=f(x)，则弦AP的方程为即根据题意，于是有化简整理，得等式两端对x求导，得即由一阶线性微分方程通解公式，得由f(1)=0，得C=5，因此所求曲线方程为f(x)=－6x2+5x+1。知识点解析：暂无解析25、求微分方程xy"+3y’=0的通解。标准答案：令y’=p，则代入原方程得解得即积分可得其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)。标准答案：根据题意得令则有等式两边求导得即令则于是有解此微分方程得将代入，即得知识点解析：暂无解析27、设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。标准答案：因曲线上凸，故有y"<0。由曲率计算公式，得即y"=－(1+y’2)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y’，则y"=P’，上述微分方程可化为p’=－(1+p2)，解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C1－x，即arctany’=C1－x。由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y’(0)=1。故由y’(0)=1，得因此即等式两端积分可得由y(0)=1，得因此所求曲线方程为知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，试求标准答案：由f(x)=g(x)可得f"(x)=g’(x)，则f’(x)+f(x)=2ex，显然该方程有特解ex。该微分方程的特征方程为λ2+1=0，解得λ=±i，故设微分方程的通解为f(x)=C1sinx+C2cosx+ex，再由f(0)=0，f(0)=g(0)=2，解得C1=1，C2=－1，故f(x)=sinx－cosx+ex，则知识点解析：暂无解析考研数学一（常微分方程）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、微分方程①=cosy+x，③y2dx一(y2+2xy一y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是()A、①。B、②。C、③。D、①②③均不是。标准答案：C知识点解析：可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程。对于方程③，将其变形为将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程。故应选C。2、已知微分方程y"一4y’+4y=0，函数C，C2xe2x(C1，C2为任意常数)为()A、方程的通解。B、方程的特解。C、非方程的解。D、是解，但不是通解也不是特解。标准答案：D知识点解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f"(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y"一4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选D。3、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为()A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)。C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]。D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为所对应齐次方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1—C2或C1+C2+C3=1，故选D。4、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex，则该微分方程为()A、y"’一y"一y’+y=0。B、y"’+y"一y’一y=0。C、y"’一6y"+11y’一6y=0。D、y"’一2y"一y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由三个特解的形式知λ1，2，3=一1，一1，1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根，即(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1。因此微分方程形式为y"’+y"一y’一y=0，应选B。5、如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为()A、y=eos2x+2。B、y=cos2x+1。C、y=2cosx。D、y=2cos2x。标准答案：D知识点解析：因为y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解。将其代入微分方程，得一2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。则原微分方程为y’+2tan2x．y=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得=一2tan2xdx，等式两边积分，得=一2∫tan2xdx，即ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是得y=Ccos2x。由y(0)=2，得C=2．故所求特解为y=2cos2x。6、设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y"+Py’+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则极限=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在微分方程y"+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y"(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由已知条件y(0)=y’(0)=0，得y"(0)=3。则由等价无穷小代换及洛必达法则故选B。7、方程y"’+2y"=x2+xe-2x的特解形式为()。A、y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x。B、y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。C、y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。D、y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。标准答案：D知识点解析：原方程对应的齐次微分方程y"’+2y"=0的特征方程为λ3+2λ2=0。其特征根为λ=λ=0，λ=一2，因此方程y"’+2y"=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c)，方程y"’+2y"=xe-2x特解的形式为xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程y"’+2y"=x2+xe-2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)8、设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________。标准答案：y"一2y’+2y=0知识点解析：由y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对戈求一阶、二阶导数，得y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx—C2sinx)，y"=2ex(C1cosx—C2sinx)，联立上述三式消去C1，C2，得y"一2y’+2y=0。9、微分方程y"一y’一2y=e2x的通解为一___________。标准答案：y=C1e-x+C2e2x+e2x，其中C1，C2为任意常数知识点解析：对应齐次方程的特征方程为λ2一λ一2=0，特征根为λ1=一1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一个单根，故令特解为y*=Axe2x，代入原方程得A=。则通解为y=C1e-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2为任意常数。10、微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=___________。标准答案：e-xsinx知识点解析：由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为y=e-∫1dx[∫e-xcosx．e∫1dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x(sinx+C)，由y(0)=0，得C=0，故所求特解为y=e-xsinx。11、微分方程y"一2y’+2y=ex的通解为___________。标准答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为λ2—2λ+2=0，特征根为λ1，2=1±i，故对应的齐次方程的通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)。由于α=1不是特征根，可设特解形式为y*=Aex，代入原方程可得A=1。故原方程的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数。12、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________。标准答案：知识点解析：由△y=+α(其中α是当△x→0时的无穷小量)，得y’==0，由一阶线性微分方程的通解公式得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=。13、设y(x)为微分方程y"一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=___________。标准答案：(e2—1)知识点解析：经计算得，微分方程y"一4y’+4y=0的通解为y=(C+C2x)e2x。且由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。于是∫01y(x)dx=(e2一1)。14、方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的通解是___________。标准答案：y2+1=C(x2一1)，C为任意常数知识点解析：此为可分离变量的微分方程，由题干可得(y2+1)xdx+(1一x2)ydy=0，分离变量得所以通解为y2+1=C(x2一1)，C为任意常数。15、微分方程yy"+(y’)2=0满足条件y(0)=1，y’(0)=的解是___________。标准答案：y2=x+1知识点解析：原微分方程可以变形为(yy’)’=0，两边同时积分可得yy’=C1，此为可分离变量的微分方程。分离变量得ydy=C1dx，两边同时积分得y2=C1x+C2，代入初值条件y(0)=1，y’(0)=。所以满足初值条件的解是y2=x+1。16、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=___________。标准答案：(x+C)cosx，C为任意常数知识点解析：此一阶线性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e-∫tanxdx[∫cosxe∫tanxdxdx+C]=cosx[∫cosx+C]=(x+C)cosx，C为任意常数。17、设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。标准答案：2e2x—ex知识点解析：因∫02xf()dt=2∫0xf(t)dt，所以f(x)=∫02xf()dt+ex可化为f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，两边求导数得f’(x)一f(x)=ex，解此一阶微分方程得f(x)=[∫ex．e∫—2dxdx+C]e-∫—2dx=(一e-x+C)e2x=Ce2x—ex。因为f(0)=1，所以有f(0)=C一1=1，即C=2，于是f(x)=2e2x—ex。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)18、设单位质点在水平面内做直线运动，初速度v｜t=0=v0。已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时，此质点的速度为，并求到此时刻该质点所经过的路程。标准答案：设该单位质点的速度为v，则加速度为v’。根据题意可知，该质点受到的阻力F=一v(负号表示阻力的方向与运动方向相反)。由牛顿第二定律F=ma可得一v=v’，结合初值条件v｜t=0=v0。解此方程，得v=v0e-t。由v0e-t=解得，t=ln3。到此时刻该质点所经过的路程s=∫0ln3v0e-tdt=v0。知识点解析：暂无解析19、已知y1=xex+e2x，y2=xex一e-x，y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。标准答案：因y1，y3线性无关，则y3一y1=e-x为对应齐次方程的解，那么y2+e-x=xex为非齐次解，而y0—xex=e2x为齐次解。则齐次方程的特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ2一λ一2=0。故齐次方程为y"一y一2y=0。设所求的二阶线性非齐次方程为y"一y’一2y=f(x)。将y=xex，y’=ex+xex及y"=2ex+xex代入该方程得f(x)=ex(1—2x)。故所求方程为y"一y’一2y=ex(1—2x)。知识点解析：暂无解析20、求解二阶微分方程满足初始条件的特解标准答案：令u==uu’，则原方程化为ucosy．u’+u2siny=u。当u=0，y=c不符合初始条件，舍去。当u≠0时，得到u’+utany=，解为u=e-∫tanydy[e∫tanydydy+C]=cosy(C+tany)，y’=cosy(C+tany)，由y(一1)=，得C=0。因此y’=siny。解方程=siny得ln｜cscy—coty｜=x+C2，由y(一1)=，则所求微分方程满足初始条件的解为知识点解析：暂无解析21、设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。标准答案：令x一t=u，则∫0xtf(x一t)dt=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，所以有∫0xf(t)dt=x+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，在等式两端求导得f(x)=1+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)，即f(x)=1+∫0xf(u)du，等式两端再次求导f’(x)=f(x)。解此微分方程得f(x)=Cex。又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=ex。知识点解析：暂无解析22、设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程；(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。标准答案：(Ⅰ)由反函数求导法则，将以上两式代入所给微分方程得y"一y=sinx。(Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2一1=0，特征根为λ1，2=±1。由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y*=Acosx+Bsinx，并将y*，(y*)’及(y*)"代入y"一y=sinx，得A=0，B=一。则非齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x一sinx。又由y(0)=0，y’(0)=，可得C1=1，C2=一1。则所求特解为y=ex一e-x一sinx。知识点解析：暂无解析23、设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足=e2xz，求f(u)。标准答案：由复合函数求导法则，=f’(u)excosy。故=f"(u)e2xsin2y+f’(u)exsiny，=f"(u)e2xcos2y—f’(u)exsiny。代入原方程，得f"(u)e2x=e2xf(u)，即有f"(u)一f(u)=0，其特征方程为λ2—1=0，特征根为λ1，2=±1，因此其通解为f(u)=C1eu+C2eu，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析24、设有连接两点A(0，1)与B(1，0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点。已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方，求曲线方程。标准答案：如图8—1，设曲线方程为y=f(x)，则弦AP的方程为由一阶线性微分方程通解公式，得f(x)==Cx一6x2+1。由f(1)=0，得C=5，因此所求曲线方程为f(x)=一6x2+5x+1。知识点解析：暂无解析25、求微分方程xy"+3y’=0的通解。标准答案：令y’=p，则y"==0。解得p=C1+C2)其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析27、设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。标准答案：因曲线上凸，故有y"＜0。由曲率计算公式，得即y"=一(1+y’2)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y’，则y"=p’，上述微分方程可化为p’=一(1+p2)，解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C1一x，即arctany’=C1一x。由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y’(0)=1。故由y’(0)=1，得C1=，因此arctany’=一x，即y’=tan(一x)，等式两端积分可得y=ln｜cos(一x)｜+C2。由y(0)=1，得C2=1+ln2。因此所求曲线方程为y=lnln2。知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，试求。标准答案：由f’(x)=g(x)可得f"(x)=g’(x)，则f"(x)+f(x)=2ex，显然该方程有特解ex。该微分方程的特征方程为λ2+1=0，解得λ=±i，故设微分方程的通解为f(x)=C1sinx+C2cosx+ex，再由f(0)=0，f((0)=g(0)=2，解得C1=1，C2=一1，故f(x)=sinx—cosx+ex，则知识点解析：暂无解析考研数学一（常微分方程）模拟试卷第3套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y(2)=1的特解为()A、xy2=4B、xy=4C、x2y=4D、—xy=4标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=—2ln｜x｜+lnC，即x2y=C，将y(2)=1代入得C=4，故所求的特解为x2y=4，故选C。2、设曲线y=y(x)满足xdy+(x—2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转的旋转体体积最小，则y(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为令V′(C)=是唯一的极值点，且为最小值点，所以y=，故选C。3、设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx—f(x)]dy，则f(x)等于()A、cosx+sinx—1B、(cosx+sinx—e—x)C、cosx—sinx+xexD、cosx—sinx+xe—x标准答案：B知识点解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx—f(x)]dy知f(x)=cosx—f′(x)，即f′(x)+f(x)=cosx。因此f(x)=e—∫dx(∫cosxe∫dxdx+C)=e—x(∫cosxexdx+C)=(cosxex+sinxex+C)，由f(0)=0得C=—1，所以f(x)=(cosx+sinx—e—x)，故选B。4、已知y1(x)和y2(x)是方程y′+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A、y=Cy1(x)B、y=Cy2(x)C、y=C1y1(x)+C2y2(x)D、y=C[y1(x)—y2(x)]标准答案：D知识点解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y′+p(x)y=0的两个不同的特解，所以y1(x)—y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C[y1(x)—y2(x)]为该方程的通解，故选D。5、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2—(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2—(1—C1—C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1—C1—C2)y3标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以y1—y2，y2—y3都是齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的解，且y1—y3与y2—y3线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1—y3)+C2(y2—y3)。比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D。6、若y=xex+x是微分方程y″—2y′+ay=bx+c的解，则()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=—2。C、a=—3，b=—3，C=0。D、a=—3，b=1，c=1。标准答案：B知识点解析：由于y=xex+x是方程y″—2y′+ay=bx+c的解，所以xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y″—2y′+y=bx+c，得b=1，C=—2，故选B。7、在下列方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y″′+y″—4y′—4y=0。B、y″′+y″+4y′+4y=0。C、y″′—y″—4y′+4y=0。D、y″′—y″+4y′—4y=0。标准答案：D知识点解析：由通解y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x可知，所求方程的特征方程为(r—1)(r2+4)=0，即r3—r2+4r—4=0，对应的方程为y″′—y″+4y′—4y=0，故选D。8、具有特解y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y″′—y″—y′+y=0。B、y″′+y″—y′—y=0。C、y″′—6y″+11y′—6y=0。D、y″′—2y″—y′+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=—1，—1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r—1)(r+1)2=0，即r3+r2—r—1=0，对应的微分方程为y″′+y″—y′—y=0，故选B。9、已知微分方程y″+by′+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是()A、[0，+∞)。B、(—∞，0]。C、(—∞，4]。D、(—∞，+∞)。标准答案：A知识点解析：微分方程y″+by′+y=0的特征方程为r2+br+1=0，特征根为r1,2=。(1)b2＜4时，原方程通解为y=。(2)b2=4时，原方程通解为y=。(3)b2＞4时，原方程通解为y=。由以上解的形式可知当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A。10、方程y″—3y′+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、Y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次方程y″—3y′+2y=0的特征方程为r2—3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，则方程y″—3y′+2y=ex+1+excos2x的待定特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故选D。11、方程x2y″+2xy′—2y=0的通解为()A、y=C1ex+C2e2xB、y=(C1+C2x)exC、y=C1x+C2x2D、y=+C2x标准答案：D知识点解析：这是一个欧拉方程，令x=et，D=，则原方程化为D(D—1)y+2Dy—2y=0，即特征方程为r2+r—2=0，特征根r1=—2，r2=1，则通解y=C1e—2t+C2et，即y=+C2x，故选D。二、填空题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、微分方程y′=的通解为________。标准答案：y=Cxe—x(x≠0)，其中C为任意常数知识点解析：原方程等价为两边积分得ln｜y｜=ln｜x｜—x+lnC。即y=Cxex(x≠0)，其中C为任意常数。13、微分方程y′=1+x+y2+xy2的通解为________。标准答案：y=，其中C为任意常数知识点解析：将已知方程变形后，并整理得=(1+x)(1+y2)，则两边积分可得arctany=(1+x)2+C，因此y=，其中C为任意常数。14、方程—xdy=0满足条件y(1)=0的通解为________。标准答案：知识点解析：由题干方程可知令，则原方程化为即，两边积分得=ln｜x｜+lnC，即，故有由y(1)=0得C=1，则有。15、微分方程xy′+2y=sinx满足条件y(π)=的通解为________。标准答案：知识点解析：由题干中方程可知，根据通解公式得由y(π)=，所以y=。16、微分方程y′+y=e—xcosx满足条件y(0)=0的通解为________。标准答案：y=e—xsinx知识点解析：原方程的通解为y=e—∫1dx(∫e—xcosx.e∫1dxdx+C)=e—x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求通解为y=e—xsinx。17、微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=的解为________。标准答案：知识点解析：原方程等价于，于是通解为由y(1)=解得C=0。故所求解为y=。18、方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的通解为________。标准答案：y2+1=C(x2—1)，其中C为任意常数知识点解析：由题干可得(y2+1)xdx+(1—x2)ydy=0，所以通解为y2+1=C(x2—1)，其中C为任意数。19、已知y1=e3x—xe2x，y2=ex—xe2x，y3=—xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为________。标准答案：y=C1e3x+C2ex—xe2x，C1，C2为任意常数知识点解析：显然y1—y3=e3x和y2—y3=ex是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且y*=—xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex—xe2x，C1，C2为任意常数。20、微分方程y″+2y′+5y=0的通解为________。标准答案：y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)，C1，C2为任意常数知识点解析：由题干可知，方程y″+2y′+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0。解得则原方程的通解为y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)，C1，C2为任意常数。21、微分方程y″—4y=e2x的通解为________。标准答案：y=C1e—2x+，C1，C2为任意常数知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2—4=0，解得r1=2，r2=—2。故y″—4y=0的通解为y1=C1e—2x+C2e2x。由于非齐次项f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，所以原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出。故所求通解为y=y1+y*=C1e—2x+，C1，C2为任意常数。22、若函数f(x)满足方程f″(x)+f′(x)—2f(x)=0及f″(x)+f(x)=2ex，则f(x)=________。标准答案：ex知识点解析：齐次微分方程f″(x)+f′(x)—2f(x)=0的特征方程为r2+r—2=0，特征根为r1=1，r2=—2，该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e—2x。再由f″(x)+f(x)=2ex得2C1ex+5C2e—2x=2ex，比较系数可得C1=1，C2=0。故f(x)=ex。23、设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为________。标准答案：y″—2y′+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，2=1±i，特征方程为(r—r1)(r—r2)=r2—(r1+r2)r+r1r2=r2—2r+2=0，故所求微分方程为y″—2y′+2y=0。24、微分方程y″—2y′+2y=ex的通解为________。标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex，C1，C2为任意常数知识点解析：对应的特征方程为r2—2r+2=0，解得其特征根为r1，2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex，C1，C2为任意常数。25、二阶常系数非齐次线性方程y″—4y′+3y=2e2x的通解为________。标准答案：y=C1ex+C2e3x—2e2x，C1，C2为任意常数知识点解析：特征方程为r2—4r+3=0，解得r1=1，r2=3。由于a=2不是特征根，可设原方程的特解为y*=ke2x，代入原方程可得k=—2。故通解为y=C1ex+C2e3x—2e2x，C1，C2为任意常数。26、若二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解是________。标准答案：y=x(1—e*)+2知识点解析：由y=(C1+C2x)e*是齐次方程的通解可知，r=1是齐次方程对应的特征方程的二重根，则特征方程为(r—1)2=0，即r2—2r+1=0，则a=—2，b=1。设非齐次方程的一个特解为y*=Ax+B，将之代入原方程得A=1，B=2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。由y(0)=2，y′(0)=0得则C1=0，C2=—1。因此满足条件的解为y=—xex+x+2=x(1—ex)+2。27、微分方程xy″+3y′=0的通解为________。标准答案：y=C1+，C1，C2为任意常数知识点解析：令p=y′，则原方程化为，其通解为p=Cx—3。因此y=∫Cx—3dx=，C1，C2为任意常数。28、微分方程yy″+y′2=0满足初始条件y(0)=1，y′(0)=的解为________。标准答案：知识点解析：由yy″+(y′)2=0得(yy′)′=0，即yy′=C。由y(0)=1，y′(0)=，故再由y(0)=1，得C1=。29、欧拉方程(x＞0)的通解为________。标准答案：，C1，C2为任意常数知识点解析：令x=et，则，且代入原方程，整理得解此方程，得通解为y=C1e—t+C2e—2t=，C1，C2为任意常数。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)30、求微分方程y″—a(y′)2=0(a＞0)满足初始条件y(0)=0，y′(0)=—1的特解。标准答案：令y′=P，则y″=，分别代入原方程，得—ap2=0，分离变量并积分得=ax+C1。由y(0)=0，y′(0)=p(0)=—1，得C1=1，即y′=，故由y(0)=0得C2=0，所以y=。知识点解析：暂无解析31、设f(t)连续且满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)。标准答案：因f(t)连续，所以∫0tf(s)sinsds可导，从而f(t)可导，于是由f(0)=1得C=e。因此f(t)=e1—cost+4(cost—1)。知识点解析：暂无解析32、利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx—2y′sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。标准答案：令ycosx=u，则y=usecx，从而y′=u′secx+usecxtanx，y″=u″secx+2u′secxtanx+usecxtan2x+usec3x。代入原方程，则u″+4u=ex。这是一个二阶常系数非齐次线性方程，其通解为u=+C1cos2x+C2sin2x，则y=+2C2sinx，C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析33、设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y(x)=e—2xf(x，x)，有y′(x)=—2e—2xf(x，x)+e—2x[f′1(x，x)+f′2(x，x)]，由fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+r可得f′1(x，x)+f′2(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程y′(x)+2y(x)=sin2x，通解为y(x)=e—2x[∫sin2x.e2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x.e2xdx=(sin2x—cos2x)e2x，所以y(x)=(sin2x—cos2x)+Ce—2x，其中C为任意常数。知识点解析：暂无解析设函数y=y(x)在(—∞，+∞)内具有二阶导数，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)反函数。34、试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程。标准答案：由反函数的求导公式知，于是有代入原微分方程得y″—y=sinx。(1)知识点解析：暂无解析35、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y′(0)=的解。标准答案：根据上小题中方程(1)所对应的齐次方程y″—y=0的通解为y=C1ex+C2e—x。设方程(1)的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入方程(1)，求得A=0，B=，故y*=，因此y″—y=sinx的通解是y=Y+y*=C1ex+C2e—x—。由y(0)=0，y′(0)=，得C1=1，C2=—1。故所求初值问题的解为y=ex—e—x—。知识点解析：暂无解析36、设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1—S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。标准答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y′(X—x)，它与x轴的交点为由于y′(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是又因S2=∫0xy(t)dt，根据题设2S1—S2=1，有，并且y′(0)=1，两边对x求导并化简得yy″=(y′)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y′，则上述方程可化=p2，分离变量得，从而有y=C2eC1x。根据y′(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲线的方程为y=ex。知识点解析：暂无解析37、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。标准答案：选取沉放点为原点O，Oy轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得这是一个可降阶的二阶微分方程，其中由v=，因此原方程可化为，分离变量得dy=，积分得结合初始条件v｜y=0=0，得因此所求的函数关系为知识点解析：暂无解析38、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×106)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时。)标准答案：根据牛顿第二定律，得。两端积分得通解v=，代入初始条件解得C=v0，故。飞机滑行的最长距离为知识点解析：暂无解析考研数学一（常微分方程）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、微分方程y"+2y’+y=0的通解是()A、y=C1cosx+C2sinx。B、y=C1ex+C2e2x。C、y=(C1+C2x)e-x。D、y=C1ex+C2e-x。标准答案：C知识点解析：特征方程为λ2+2λ+1=0λ1=λ2=－1，则通解为y=(C1+C2x)e-x，故选(C)。2、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(其中C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y’"+y"－4y’－4y=0。B、y’"+y"+4y’+4y=0。C、y’"－y"－4y’+4y=0。D、y’"－y"+4y’－4y=0。标准答案：D知识点解析：由y=C1ex+C：cos2x+C3sin2x，可知其特征根为λ1=1，λ2,3=±2i，故对应的特征方程为(λ－1)(λ+2i)(λ－2i)=(λ－1)(λ2+4)=λ3－λ2+4λ－4。所以所求微分方程为y’"－y"+4y’－4y=0，故选(D)。3、设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限()A、不存在。B、等于1。C、等于2。D、等于3。标准答案：C知识点解析：因y(0)=y’(0)=0，ln(1+0)=0，故利用洛必达法则，由y"+py’+qy=e3x知y"(x)连续且y"(0)=e0=1，故所求极限等于2，故选(C)。4、微分方程y"－4y=x+2的通解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：对应齐次微分方程y"－4y=0的特征方程为λ2－4=0，特征值为λ1=－2，λ2=2，则齐次方程y”－4y=0的通解为C1e-2x+C2e2x，根据选项进行验证知，方程y"－4y=x+2有特解故选D。5、设a，b，c为待定常数，则微分方程y"－3y’+2y=3x－2ex的特解形式为()A、(ax+b)ex。B、(ax+b)xex。C、(ax+b)+cex。D、(ax+b)+cxex。标准答案：D知识点解析：微分方程对应的齐次微分方程是y"－3y’+2y=0，其特征方程为λ2－3λ+2=0，其特征根为λ1=1，λ2=2。因此微分方程y"－3y’+2y=－2ex有形如y1*=cxex的特解，又微分方程y"－3y’+2y=3x有形如y2*=ax+b的特解。所以，由叠加原理可知，原方程y"－3y’+2y=3x－2ex有形如y*=y1*+y2*=cxex+(ax+b)的特解，故选(D)。6、微分方程③y2dx－(y2+2xy－y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是()A、①。B、②。C、③。D、①②③均不是。标准答案：C知识点解析：可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程。对于方程③，将其变形为将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程，故选(C)。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=__________。标准答案：知识点解析：由已知方程变形整理得即有两边积分后，得ln|y|=－ln|x|+C。代入初值条件y(1)=1，得C=0，所以8、微分方程ydx+(x2－4x)dy=0的通解为__________。标准答案：(x－4)·y4=Cx，C为任意常数知识点解析：分离变量得两边积分后整理得化简可得即(x－4)·y4=Cx，C为任意常数。9、微分方程ydx+(x－3y2)dy=0满足条件)y｜x=1=1的解为__________。标准答案：如果把x看成因变量(未知函数)，y看成自变量，则原微分方程可写成这是以y为自变量，x为未知函数的一阶线性微分方程。由一阶线性微分方程通解公式得将代入解得C=0。所以微分方程满足条件的解为x=y2，即知识点解析：暂无解析10、微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为__________。标准答案：原方程两端同除以x，得此为一阶线性微分方程，通解为由得C=0，故所求解为知识点解析：暂无解析11、若函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)－2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______________。标准答案：ex知识点解析：已知条件中二阶常微分方程的特征方程为λ2+λ－2=0，特征根为λ1=1，λ2=－2，则二阶齐次微分方程f"(x)+f’(x)－2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’(x)+f(x)=2ex得2C1ex－C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0。故f(x)=ex。12、y"－6y’+13y=0的通解为____________。标准答案：y=e3x(C1cos2x+C2sin2x)，其中C1，C2为常数。知识点解析：特征方程为λ2－6λ+13=0，因为根的判别式△=36－4×13=－16＜0，则特征方程有一对共轭复根α±βi，其中因此通解为y=e3x(C1cos2x+C2sin2x)，其中C1，C2为常数。13、已知y1=e3x－xe2x，y2=ex－xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为__________。标准答案：y=C1e3x+C2ex－xe2x，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：显然y1－y3=e3x和y2－y3=ex是对应的二阶常系数齐次线性微分方程两个线性无关的解。且y*=－xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x，其中C1，C2为任意常数。14、若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_____________。标准答案：y=－xex+x+2=x(1－ex)+2知识点解析：由齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知λ=1是特征方程λ2+aλ+b=0的重根，从而可得a=－2，b=1。则原齐次微分方程为y"－2y’+y=x。设特解y*=Ax+B，则(y*)’=A，(y*)"=0。分别将其代入原微分方程，有－2A+Ax+B=x，比较x的系数知，A=1。于是有－2+B=0，即B=2。所以特解y*=x+2。故非齐次微分方程的通解y=(C1+C2x)ex+x+2，将y(0)=2,y’(0)=0代入，得C1=0，C2=－1。因此满足条件的解y=－xex+x+2=x(1－ex)+2。15、欧拉方程的通解为______________。标准答案：其中C1，C2为任意常数。知识点解析：令x=et，则t=lnx，且代入原方程，整理得解此方程，得通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代回，即其中C1，C2为任意常数。16、设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________。标准答案：y"－2y’+2y=0知识点解析：方法一：由已知的通解形式知1±i为所求微分方程的特征方程的根，则特征方程为λ2－2λ+2=0，故所求方程为y"－2y’+2y=0。方法二：由y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对x求一阶、二阶导数，得y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx－C2sinx)，y"=2ex(C1cosx－C2sinx)，联立上述三式消去C1，C2，得y"－2y’+2y=0。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)17、求微分方程的通解。标准答案：方程两端同除以x得令即y=xu，则代入上式得分离变量，得即积分得将代回并整理得其中C为任意常数。知识点解析：暂无解析18、求微分方程的通解。标准答案：原方程可变形为令则代入变形后的方程，得分离变量，得即两边积分，得ln|lnu－1|=ln|x|+ln|C|，即Cxlnu－1，将代回即得原方程的通解为y=xecx+1，其中C为常数。知识点解析：暂无解析19、设有微分方程y’－2y=φ(x)，其中试求，在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0。标准答案：已知所求函数y=y(x)在(－∞，1)和(1，+∞)都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即解得其中C1，C2为常数。化简得因为y(0)=0，所y｜x=0=－1+C1e2x｜x=0=－1+C1=0，解得C1=1。又因为y=y(x)在(－∞，+∞)内连续，所以即解得C2=1－e-2，故所求函数知识点解析：暂无解析20、求微分方程y－y’cosx=y2(1－sinx)cosx的通解。标准答案：原微分方程可变形为令y－1=u，则即代入变形后的方程，得此为一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程通解公式，得因此原方程的通解为即知识点解析：暂无解析21、试确定常数λ，使微分方程为全微分方程，并求满足y(0)=2的解。标准答案：根据全微分方程的特点，有由得λ=1，此时微分方程为全微分方程。选取路径为(0，0)→(x，0)→(x，y)，则由于y(0)=2，所以c=1，因此方程的通解为知识点解析：暂无解析22、求微分方程y’"=e2x－cosx的通解。标准答案：对方程连续积分三次，得其中C1，C2，C3是任意常数。知识点解析：暂无解析23、求微分方程xy"=y’+x2的通解。标准答案：令y’=P，则y"=P’，将其代入原方程，得xP’=P+x2，即这是以x为自变量，P为未知函数的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的求解公式，有即该等式两边积分，得原微分方程的通解为知识点解析：暂无解析24、设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，且2S1－S2=1，求此曲线y=y(x)的方程。标准答案：设曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线斜率为y’，则切线方程为Y－y=y’(X－x)，它与x轴交点为由题设条件可知即上式两边对x求导并化简，得yy"－(y’)2=0，此为不显含x的可降阶方程，令y’=p，则因此原方程化为即解得p=C1y。(*)式中令x=0，得y’(0)=p(0)=1，代入p=C1y，得C1=1。故p=y，即y’=y，解得y=ex。知识点解析：暂无解析25、求微分方程y"－3y’+2y=2xex的通解。标准答案：所对应齐次方程y"－3y’+2y=0的特征方程为λ2－3λ+2=0，由此解得λ1=2，λ2=1。因此对应齐次方程的通解为y=C1e2x+C2ex。x=1是特征方程的一个单根，故设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex，则(y*)’=[ax2+(2a+b)x+b]ex，(y*)"=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，代入原方程得a=－1，b=－2，即y*=－(x+2)Xex。从而所求解为y=C1e2x+C2ex－x(x+2)ex，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析26、求方程y"+y’－2y=2cos2x的通解。标准答案：对应的齐次线性方程y"+y’－2y=0的特征方程为λ2+λ－2=0．解得特征根为λ1=－2，λ2=1，因此，齐次线性方程的通解为Y=C1e-2x+C2ex。由于β=2，iβ=2i不是特征根，因此，设非齐次线性方程的特解y*=Acos2x+Bsin2x，对其求一阶、二阶导数，并代入原方程可得(－2A+2B－4A)cos2x+(－2B－2A－4B)sin2x=2cos2x，比较两端相同项的系数可得解得因此故原方程的通解为知识点解析：暂无解析27、求微分方程y"－y=excos2x的一个特解。标准答案：这是二阶常系数非齐次线性方程，且f(x)属eλx[Pl(x)(x)coswx+Pn(2)(x)sinwx]型，其中λ=1，w=2，Pl(1)(x)=1，Pn(2)(x)=0。对应齐次方程的特征方程为λ－1=0，解得λ1=1，λ2=－1。由于λ+iw=1+2i不是特征方程的根，所以设特解为y*=ex(acos2x+bsin2x)。求导得(y*)’=ex[(a+2b)cos2x+(－2a+b)sin2x]，(y*)"=ex[(－3a+4b)cos2x+(－4a－3b)sin2x]，代入所给方程，得4ex[(－a+b)cos2x－(a+b)sin2x]=excos2x，比较两端同类项的系数，有因此所给方程的一个特解为知识点解析：暂无解析28、解微分方程y’"－y"－2y’=0。标准答案：该微分方程的特征方程为λ3－λ2－2λ=0，即λ(λ－2)(λ+1)=0，它的根分别为λ=0，λ=2，λ=－1，因此所给微分方程的通解是y=C1+C2e-x+C3e2x，其中C1，C2，C3为常数。知识点解析：暂无解析29、解微分方程y(4)－2y’"+y"=0。标准答案：特征方程为λ4-2λ3+λ2=0，即λ2(λ－1)2=0，解得λ1,2=0，λ3,4=1，故方程的解为y=C1+C2x+(C3+C4x)ex，其中C1，C2，C3，C4为常数。知识点解析：暂无解析考研数学一（常微分方程）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程y"+2y’+y=0的通解是()A、y=C1cosx+C2sinx。B、y=C1ex+C2e-2x。C、y=(C1+C2x)e-x。D、y=C1ex+C2e-x。标准答案：C知识点解析：特征方程为λ2+2λ+1=0→λ1=λ2=一1，则通解为y=(C1+C2x)e-x。故选C。2、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(其中C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y"’+y"一4y’一4y=0。B、y"’+y"+4y’+4y=0。C、y"’一y"一4y’+4y=0。D、y"’一y"+4y’一4y=0。标准答案：D知识点解析：由y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x，可知其特征根为λ1=1，λ2，3=±2i，故对应的特征方程为(λ一1)(λ+2i)(λ一2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λx+4λ一4。所以所求微分方程为y"’一y"+4y’一4y=0。应选D。3、设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限()A、不存在。B、等于1。C、等于2。D、等于3。标准答案：C知识点解析：因y(0)=y’(0)=0，ln(1+0)=0，故利用洛必达法则，由y"+py’+qy=e3x知y"(x)连续且y"(0)=e0=1，故所求极限等于2。4、微分万程y"一4y=x+2的通解为()A、(C1+C2x)e2x一。B、(C1+C2x)e-2x一。C、C1e-2x+C2e2x一x。D、C1e-2x+C2e2x一。标准答案：D知识点解析：对应齐次微分方程y"一4y=0的特征方程为λ2—4=0，特征值为λ=一2，λ=2，则齐次方程y"一4y=0的通解为C1e-2x+C2e2x，根据选项进行验证知，方程y"一4y=x+2有特解一，故选D。5、设a，b，c为待定常数，则微分方程y"一3y’+2y=3x一2ex的特解形式为()A、(ax+b)ex。B、(ax+b)xex。C、(ax+b)+cex。D、(ax+b)+cxex。标准答案：D知识点解析：微分方程对应的齐次微分方程是y"一3y’+2y=0，其特征方程为λ一3λ+2=0，其特征根为λ1=1，λ2=2