考研数学三（线性代数）模拟试卷6（共240题）

考研数学三（线性代数）模拟试卷6（共9套）（共240题）考研数学三（线性代数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则()．A、α1可由α2，α3线性表示B、α4可由α1，α2，α3线性表示C、α4可由α1，α3线性表示D、α4可由α1，α2线性表示标准答案：A知识点解析：因为α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选(A)．2、设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组()．A、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关B、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关D、α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性无关标准答案：C知识点解析：因为一(α1+α2)+(α2+α3)一(α3+α4)+(α4+α1)=0，所以α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关；因为(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，所以α1—α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性相关；因为(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，所以α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关，选(C)．3、向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．A、向量组α1，α2，…，αm，β线性无关B、存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C、向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数D、向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关标准答案：D知识点解析：(A)不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关；(C)不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如α2=线性无关，但其维数等于其个数，选(D)．4、设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则()．A、α1，α2，…，αm-1，β1线性相关B、α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关C、α1，α2，…，αm，β1+β2线性相关D、α1，α2，…，αm，β1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：(A)不对，因为β1可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定线性相关；(C)不对，因为β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，而β1可由α1，α2，…，αm线性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，于是α1，α2，…，αm，β1+β2线性无关，选(D)．5、设n维列向量组α1，α2，…，αm(m1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()．A、向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示B、向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示C、向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D、矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价标准答案：D知识点解析：因为α1，α2，…，αm线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm的秩为m，向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是其秩为m，所以选(D)．6、设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有()．A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)．7、设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(I)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则()．A、(I)，(Ⅱ)都线性相关B、(I)线性相关C、(Ⅱ)线性相关D、(I)，(Ⅱ)至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因为γ1，γ2，…，γn线性相关，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn至少有一个线性相关，选(D)．8、设向量组(I)：α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示，则()．A、α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2B、向量组α1一β1，α2一β2，…，αs一βs的秩为r1一r2C、向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2D、向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1标准答案：D知识点解析：因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs，与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，选(D)．9、向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是()．A、α1，α2，…，αs都不是零向量B、α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C、α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示D、α1，α2，…，αs中有一个部分向量组线性无关标准答案：C知识点解析：若向量组α1，α2，…，αs线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs一定线性无关，因为若α1，α2，…，αs线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．10、设A为n阶矩阵，且|A|=0，则A()．A、必有一列元素全为零B、必有两行元素对应成比例C、必有一列是其余列向量的线性组合D、任一列都是其余列向量的线性组合标准答案：C知识点解析：因为|A|=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、设线性相关，则a=___________．标准答案：α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是从而知识点解析：暂无解析12、设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，则α=_____________．标准答案：(α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，所以即解得a=5．知识点解析：暂无解析13、设且α，β，γ两两正交，则a=__________，b=___________．标准答案：因为α，β，γ正交，所以解得a=一4，b=一13．知识点解析：暂无解析14、设A=(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX=0的通解为X=k(1，1，2，一3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为____________．标准答案：因为(1，1，2，一3)T为AX=0的解，所以α1+α2+2α3—3α4=0，故α2=一α1—2α3+3α4．知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：α1+α2+α3，α1+2α2一F3α3，α1+4α2+9α3线性无关．标准答案：方法一令k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，即(k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0，因为α1，α2，α3线性无关，所以有而由克拉默法则得k1=k2=k3=0，所以α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3线性无关．方法二令A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)，则因为可逆，所以r(B)=r(A)=3，故α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3线性无关．知识点解析：暂无解析16、设α1，…，αm，β为m+1个n维向量，β=α1+…+αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β一α1，…，β一αm线性无关．标准答案：令k1(β一α1)+…+km(β一αm)=0，即k1(α2+α3+…+αm)+…+km(α1+α2+…+αm-1)=0或(k2+k3+…+km)α1+(k1+k3+…+km)α2+…+(k1+k2+…+km-1)αm=0，因为α1，…，αm线性无关，所以因为所以k1=…=km=0，故β一α1，…，β一αm线性无关．知识点解析：暂无解析17、设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．标准答案：设有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以有该方程组系数行列式Dn=1+(一1)n+1，n为奇数α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．知识点解析：暂无解析18、设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．标准答案：方法一向量组α1，…，αn线性相关的充分必要条件是方程组x1α1+…+xnαn=0有非零解，因为方程组x1α1+…+xnαn=0中变量有n个，约束条件最多有m个且m1α1+…+xnαn=0一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组α1，…，αn线性相关．方法二令A=(α1，…，αn)，r(A)≤min(m，n)=m1，…，αn的秩不超过m，于是向量组α1，…，αn线性相关．知识点解析：暂无解析19、证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关．标准答案：设α1，…，αn为一个向量组，且α1，…，αr(r＜n)线性相关，则存在不全为零的常数k1，…，kr，使得k1α1+…+krαr=0，于是k1α1+…+krαr+0αr+1+…+0αn=0，因为k1，…，kr，0，…，0不全为零，所以α1，…，αn线性相关．知识点解析：暂无解析20、n维列向量组α1，…，αn-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，…，αn-1，β线性无关．标准答案：令k0β+k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1与非零向量β正交及(β，k0β+k1α1+…+kn-1αn-1)=0得k0(β，β)=0，因为β为非零向量，所以(β，β)=|β|2＞0，于是k0=0，故k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1线性无关得k1=…n-1=0，于是α1，…，αn-1，β线性无关．知识点解析：暂无解析21、设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．标准答案：令k1α1+…+knαn=0，由α1，…，αn两两正交及(α1，k1α1+…+knαn)=0，得k1(α1，α1)=0，而(α1，α1)=|α1|2＞0，于是k1=0，同理可证k2=…=kn=0，故α1，…，αn线性无关．令显然α1，α2线性无关，但α1，α2不正交．知识点解析：暂无解析22、设A为n×m矩阵，B为m×n矩阵(m＞n)，且AB=E．证明：B的列向量组线性无关．标准答案：首先r(B)≤min{m，n)=n，由AB=E得r(AB)=n，而r(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，从而r(B)=n，于是B的列向量组线性无关．知识点解析：暂无解析23、设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量y可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．标准答案：因为向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm也线性无关，又向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关，所以向量γ可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，从而γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．知识点解析：暂无解析24、设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．标准答案：向量组α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是|α1，α2，α3|=0，而所以t=一1或者t=一5，因为任意两个向量线性无关，所以t=一5．知识点解析：暂无解析25、设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．标准答案：方法一令因为α1，α2，…，αn与β正交，所以Aβ=0，即β为方程AX=0的解，而α1，α2，…，α2线性无关，所以r(A)=n，从而方程组AX=0只有零解，即β=0．方法二(反证法)不妨设β≠0，令k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0，上式两边左乘βT得k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0因为α1，α2，…，αn与β正交，所以k0βTβ=0，即k0|β|2=0，从而k0=0，于是k1α1+k2α2+…+knαn=0，再由α1，α2，αn线性无关，得k1=k2=…=kn=0，故α1，α2，…，αn，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β=0．知识点解析：暂无解析26、设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．标准答案：由Aα1=α1得(A—E)α1=0；由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1；由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2，令k1α1+k2α2+k3α3=0，(1)(1)两边左乘A—E得k2α1+k3α2=0，(2)(2)两边左乘A—E得k3α1=0，因为α1≠0，所以k=30，代入(2)，(1)得k1=0，k2=0，故α1，α2，α3线性无关．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、下列矩阵中，正定矩阵是A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：正定的必要条件aii＞0，可排除(A)、(D)．(B)中△2=0与顺序主子式全大于0相矛盾，排除(B)．故应选(C)．2、矩阵合同于A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，一2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选(B)．3、设则A与BA、合同且相似．B、合同但不相似．C、不合同但相似．D、不合同也不相似．标准答案：A知识点解析：由｜λE—A｜=λ3一3λ2，知矩阵A的特征值为3，0，0．又因A是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以A～B．因为A，B有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以A≌B．故应选(A)．4、设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是A、A，B有相同的特征值．B、A，B有相同的秩．C、A，B有相同的行列式．D、A，B有相同的正负惯性指数．标准答案：D知识点解析：(A)是充分条件．特征值一样→有相同的正、负惯性指数→合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A≌B．(B)是必要条件．由CTAC=B，C可逆→r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与曰不合同．(C)既不必要也不充分．例如行列式不同但合同，又如虽行列式相同但不合同．故应选(D)．5、二次型xTAx正定的充要条件是A、负惯性指数为零．B、存在可逆矩阵P，使P-1AP=E．C、A的特征值全大于零．D、存在n阶矩阵C，使A=CTC．标准答案：C知识点解析：(A)是正定的必要条件．若f(x1，x2，x3)=x12+5x32，虽q=0，但f不正定．(B)是充分条件．正定并不要求特征值全为1．虽不和单位矩阵E相似，但二次型xTAx正定．(D)中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E合同，例如，则xTAx不正定．故应选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是__________．标准答案：知识点解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵7、二次型f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3的负惯性指数q=__________．标准答案：q=1知识点解析：令故(I)是坐标变换，那么经此变换二次型化为f=y22+2(y1+y3)(y1一y3)=2y12+y22一2y32．所以负惯性指数q=1．8、若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=__________．标准答案：知识点解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式，由9、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3经正交变换化为标准形y12+2y32，则a=_______。标准答案：0知识点解析：二次型及其标准形的矩阵分别是在正交变换下二次型矩阵A和标准形矩阵A不仅合同，而且相似．于是由10、设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2—2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈__________．标准答案：知识点解析：11、已知矩阵B=A+kE正定，则k的取值为__________．标准答案：k＞0知识点解析：由矩阵A的特征值为3，0，0，知矩阵B的特征值为k+3，k，k．又B正定三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)12、求正交变换化二次型x12+x22+x32一4x1x2—4x2x3—4x1x3为标准形．标准答案：二次型矩阵由特征多项式得特征值为λ1=λ2=3，λ3=一3．由(3E—A)x=0得基础解系α1=(一1，1，0)T，α2=(一1，0，1)T，即λ=3的特征向量是α1，α2．由(一3E—A)x=0得基础解系α3=(1，1，1)T．对α1，α2经Schmidt正交化，有单位化，得那么，令x=Qy，其中Q=(γ1，γ2，γ3)，则有f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=3y12+3y22一3y32．知识点解析：暂无解析13、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2—6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．标准答案：二次型矩阵由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有｜A｜=24(c一3)=0→c=3．用配方法求规范形和所作变换．=f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+3x32一2x1x2+6x1x3—6x2x3=3(x3+x1一x2)2一3(x1一x2)2+5x12+5x22一2x1x2=3(x1—x2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1一x2+x3)2+2(x1+x2)2令则f(x1，x2，x3)=y12+y22，为规范二次型．所作变换为知识点解析：暂无解析14、设A是n阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα=0，证明A=0．标准答案：维向量α恒有αTAα=0，那么令α1=(1，0，0，…，0)T，有类似地，令αi=(0，0，…，0，1，0，…，0)T(第i个分量为1)，由αiTAαi=aii=0(i=1，2，…，n)．令α12=(1，1，0，…，0)T，则有故α12=0．类似可知αij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．知识点解析：暂无解析15、若A是n阶正定矩阵，证明A-1，A*也是正定矩阵．标准答案：因A正定，所以AT=A．那么(A一1)T=(AT)一1=A一1，即A一1是实对称矩阵．设A的特征值是λ1，λ2，…，λn，那么A一1的特征值是由A正定知λi＞0(i=1，2，…，n)．因此A一1的特征值从而A一1正定．A*=｜A｜A一1，｜A｜＞0，则A*也是实对称矩阵，并且特征值为都大于0．从而A*正定．知识点解析：暂无解析16、设A是m×n实矩阵，r(A)=n，证明ATA是正定矩阵．标准答案：由(ATA)T=AT(AT)T=ATA，知ATA是实对称矩阵．又r(A)=n，，恒有Aα≠0．从而αT(ATA)α=(Aα)T(Aα)=‖Aα‖2＞0．故ATA正定．知识点解析：暂无解析17、设A是n阶正定矩阵，证明｜A+2E｜＞2n．标准答案：设矩阵A的特征值是λ1，λ2，…，λn．因为A正定，故特征值λi＞0(i=1，2，…，n).又A+2E的特征值是λ1+2，λ2+2，…，λn+2，所以｜A+2E｜=(λ1+2)(λ2+2)…(λn+2)＞2n．知识点解析：暂无解析18、已知是正定矩阵，证明标准答案：令C=C1C2，则C是可逆矩阵，且CTAC=CTCTAC1C2=则A=B．由于A正定，故B正定，从而B的顺序主子式△＞0．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是则自由变量不能取成A、x4，x5．B、x2，x3．C、x2，x4．D、x1，x3．标准答案：A知识点解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定．如果选择x4,x5，对应齐次方程组写作显见把x4，x5当作参数时，x1，x2，x3不是唯一确定的．因此x4，x5不能唯一确定x1，x2，x3，它们不能取为自由变量．选(A)．2、设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是A、如m＜n，则Ax=b有无穷多解．B、如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．C、如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．标准答案：C知识点解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故(B)不正确．关于(D)，Ax=b有唯一解r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=n→r(A｜b)=n，例子同上．可见(D)只是必要条件，并不充分．(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明．3、已知η1，η2,η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3+η4，η3一η4．C、η1，η2,η3，η4的一个等价向量组．D、η1，η2,η3，η4的一个等秩的向量组．标准答案：B知识点解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确．η1，η2,η3，η4，η1+η2与η1，η2,η3，η4等价．但前者线性相关，故(C)不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确．选(B)．4、设A是5×4矩阵，A=(α1,α2,α3,α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．标准答案：C知识点解析：由Aη1=0，知α1+α2—2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因为n—r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4线性相关．故应排除(B)．把②代入①得α1—2α3=0，即α1，α3线性相关，排除(A)．如果α2,α3线性相关，则r(α1,α2,α3,α4)=r(一2α3，α2，α3，一α2)=r(α2，α3)=1与r(A)=2相矛盾．所以选(C)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、已知方程组有无穷多解，则a=__________．标准答案：a=一5知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有当a=一5时，，方程组有无穷多解．6、已知方程组总有解，则λ应满足__________．标准答案：知识点解析：对任意b1，b2，b3，方程组有解．而由7、四元方程组的一个基础解系是__________．标准答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．知识点解析：n一r(a)=4—2=2．取x3，x4为自由变量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=一1，所以基础解系是(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．8、四元方程组Ax=b的三个解是α1,α2,α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是__________．标准答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．知识点解析：由(α2+α3)一2α1=(α2一α1)+(α3一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n—r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．9、设A为三阶非零矩阵，且AB=0，则Ax=0的通解是__________．标准答案：c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意知识点解析：由AB=0得r(a)+r(B)≤3．显然r(B)≥2，r(A)>0，因而r(A)=1，n一r(a)=2．又AB=0说明B的每个到向量都是AX=0的解，取它的1，3两列作为基础解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意．10、设A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是__________．标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．知识点解析：因为秩r(a)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．11、已知α1，α2，…，αt都是非齐次线性方程组Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，则c1+c2+…+ct=__________．标准答案：1知识点解析：因为αi是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，则A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．12、已知方程组的通解是(1，2，一1，0)T+k(一1，2，一1，1)T，则a=__________．标准答案：3知识点解析：因(1，2，一1，0)T是Ax=b的解，则将其代入第2个方程可求出b=1．因(一1，2，一1，1)T是Ax=0的解，则将其代入第1个方程可求出a=3．13、已知ξ1=(一3，2，0)T，ξ2=(一1，0，一2)T是方程组的两个解，则此方程组的通解是__________．标准答案：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T知识点解析：由于矩阵A中有2阶子式不为0，故秩r(A)≥2．又ξ1一ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n一r(A)=1．所以方程组通解是：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T．三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)14、求齐次方程组的基础解系．标准答案：对系数矩阵作初等变换，有当a≠1时，r(A)=3，取自由变量x4得x4=1，x3=0，x2=一6，x1=5．基础解系是(5，一6，0，1)T．当a=1时，r(A)=2．取自由变量x3，x4，则由x3=1，x4=0得x2=一2，x1=1，x3=0，x4=1得x2=一6，x1=5，知基础解系是(1，一2，1，0)T，(5，一6，0，1)T．知识点解析：暂无解析15、求线性方程组的通解，并求满足条件x12=x22的所有解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2．即α=(2，1，0，0)T．导出组的解：令x3=1，x4=0得x2=3，x1=1．即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1得x2=0，x1=一1．即η2=(一1，0，0，1)T．因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0)T+k2(一1，0，0，1)T．而其中满足x12=x22的解，即(2+k1一k2)2=(1+3k1)2．那么2+k1一k2=1+3k1或2+k1一k2=一(1+3k1)，即k2=1—2k1或k2=3+4k1．所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，一2)T和(一1，1，0，3)T+k(一3，3，1，4)T为满足x12=x22的所有解．知识点解析：暂无解析16、当a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(I)当a≠0，且b≠3时，方程组有唯一解(Ⅱ)当a=0时，方程组均无解．(Ⅲ)当a≠0，b=3时，方程组有无穷多解知识点解析：暂无解析17、已知a，b，c不全为零，证明方程组只有零解．标准答案：因为系数行列式所以齐次方程组只有零解．知识点解析：暂无解析18、设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．标准答案：必要性．对矩阵A按列分块A=(α1,α2，…，αn)，则，Ax=b有解→α1,α2，…，αn可表示任何n维向量b→α1,α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)T→r(α1,α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=n→r(A)=n．所以｜A｜≠0．充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故，Ax=b总有解．知识点解析：暂无解析19、证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．标准答案：设Ax=0的基础解系是α1,α2，…，αt．若β1β2，…，βs线性无关，β1β2，…，βs与α1,α2，…，αt等价．由于βj(j=1，2，…，s)可以由α1,α2，…，αt线性表示，而αi(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以β1(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因为α1,α2，…，αt线性无关，秩r(α1,α2，…，αt)=t，又α1,α2，…，αt，与β1β2，…，βs等价，所以r(β1β2，…，βs)=r(α1,α2，…，αt)=t．又因β1β2，…，βs线性无关，故s=t．因此β1β2，…，βt是Ax=0的基础解系．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设对方阵A施行初等初换得到方程B，且｜A｜≠0，则【】A、必有｜B｜＝｜A｜．B、必有｜B｜≠｜A｜．C、必有｜B｜≠0．D、｜B｜＝0或｜B｜≠0依赖于所作初等变换．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，其中E为n阶单位矩阵，则必有【】A、ACB＝EB、CBA＝EC、BAC＝ED、BCA＝E标准答案：D知识点解析：由题设条件A(BC)＝E，知A与BC互为逆矩阵，BCA＝E．3、则必有【】A、AP1P2＝BB、AP2P1＝BC、P1P2A＝BD、P2P1A＝B标准答案：C知识点解析：注意依次对A施行下列两种初等行变换，即得矩阵B：先将A的第1行加到第3行，再将所得矩阵的1、2两行互换．两次初等行变换所对应的初等方阵依次为P2、P1，故有B＝P1P2A．4、设A、B、A＋B、A-1＋B-1均为n阶可逆阵，则(A-1＋B-1)-1【】A、A-1＋B-1B、A＋BC、A(A＋B)-1BD、(A＋B)-1标准答案：C知识点解析：由(A-1＋B-1)[A(A＋B)-1B]＝(E＋B-1A)(A＋B)-1B＝B-1(B＋A)(A＋B)-1B＝B-1B＝E，或A(A＋B)-1B＝[B-1(A＋B)A-1]-1＝(B-1AA-1＋B-1BA-1)-1＝(B-1＋A-1)-1＝(A-1＋B-1)-1即知只有C正确．二、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)5、＝_______．标准答案：(a1a4－b1b4)(a2a3－b2b3)知识点解析：暂无解析6、＝_______．标准答案：1－χ2－y2－z2知识点解析：暂无解析7、＝_______．标准答案：n!(2－n)知识点解析：暂无解析8、＝_______．标准答案：a＋(－1)n+1bn知识点解析：暂无解析9、＝_______．标准答案：χ4知识点解析：暂无解析10、＝_______．标准答案：1－a＋a2－a3＋a4－a5知识点解析：暂无解析11、行列式的第4行各元素的余子式之和的值为_______．标准答案：－28知识点解析：暂无解析12、方程f(χ)＝＝0的全部根是_______．标准答案：1，2，3知识点解析：暂无解析13、方程f(χ)＝＝0的实根为_______．标准答案：t＝6知识点解析：暂无解析14、方程f(χ)＝＝0的全部根是_______．标准答案：χ＝0，χ＝1．f(χ)＝5χ(χ－1)．知识点解析：暂无解析15、设4阶矩阵A＝[α1β1β2β3]，B＝[α2β1β2β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式｜A｜＝4，｜B｜＝1，则行列式｜A＋B｜＝_______．标准答案：40知识点解析：(1)｜A＋B｜＝｜α1＋α22β12β22β3｜＝8(｜α1β1β2β3｜＋｜α2β1β2β3｜)＝(｜A｜＋｜B｜)＝8(4＋1)＝40．16、设矩阵A＝，I为3阶单位矩阵，则(A－2I)-1＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析17、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析18、已知α＝(1，2，3)，β＝(1，)，矩阵A＝αTβ，n为正整数，则A*＝_______．标准答案：知识点解析：An＝(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)＝αT(βαT)…(βαT)β＝αT3n-1β＝3n-1αTβ＝19、设3阶方阵A、B满足关系式A-1BA＝6A＋RA，其中A＝，则B＝_______．标准答案：知识点解析：B＝(A-1－E)-1＝6AA-1＝6(A-1－E)-1＝三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)20、设行列式D＝不具体计算D，试利用行列式的定义证明D＝0．标准答案：按定义D＝，其中分别取自D的第3、第4、第5行和D的3个不同列，而D的后3行中取自3个不同列的元素中最多有2个不为零，最少有1个为零，即这3个数中至少有1个为零，因而D的展开式中每一项都为零，从而知D＝0．知识点解析：暂无解析21、设实对称矩阵A满足A2＝O，证明：A＝O．标准答案：A2＝AAT＝O的(i，i)元素为：0＝＝0(i，j＝1，2，…，n)，即A＝O．知识点解析：暂无解析22、设B是元素全都为1的n阶方阵(n＞1)．证明：(E－B)-1＝E－B．标准答案：其中B2＝nB，知识点解析：暂无解析23、设A、B都是n阶方阵，且A2＝E，B2＝E，｜A｜＋｜B｜＝0，证明：｜A＋B｜＝0．标准答案：A2＝E，｜A｜＝±1，同理有｜B｜＝±1，又｜A｜＝｜B｜，｜A｜｜B｜＝－1．故｜A＋B｜＝｜AE＋EB｜＝｜AB2＋A2B｜＝｜A(B＋A)B｜＝｜A｜｜B＋A｜｜B｜＝－｜A＋B｜｜A＋B｜＝0．知识点解析：暂无解析24、设A＝(1)求An(n＝2，3，…)；(2)若方阵B满足A2＋AB－A＝E，求B．标准答案：(1)A2＝4EA2m＝(A2)m＝4mE，A2m+1＝A2mA＝4mA(m＝1，2，…)；(2)A2＝4E，B＝A-1(E＋A－A2)＝A-1＋E－A＝A＋E－A知识点解析：暂无解析25、设4阶实方阵A＝(aij)4×4满足：(1)aij＝Aij(i，j＝1，2，3，4，其中Aij是aij的代数余子式)；(2)a11≠0，求｜A｜．标准答案：a＝Aij(i，j＝1，2，3，4)，AT＝A*，｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜｜A3｜，｜A｜＝0，1，－1，又知识点解析：暂无解析26、实a为实的n维非零列向量，E为n阶单位矩阵，证明：矩阵A＝E－为对称的正交矩阵．标准答案：记正常数b＝，则A＝E－bααT，AT＝ET－b(aT)TαT＝E－bααT＝A，故A为对称矩阵，又由αTα＝，得AAT＝AA＝(E－bααT)(E－bααT)＝E－bααT－bααT＋b2α(αTα)αT＝E，故A为正交矩阵．知识点解析：暂无解析27、设矩阵A、B满足关系式AB＝A＋2B，其中A＝，求B．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设矩阵矩阵A满足关系式A(E－C-1B)TCT＝E，化简此关系式并求矩阵A．标准答案：化简成A(C－B)T＝E，故A＝[(C－B)T]-1＝[(C－B)-1]T＝知识点解析：暂无解析29、设矩阵A的伴随矩阵A*＝矩阵B满足关系式ABA-1＝BA-1＋3E，求矩阵B．标准答案：由｜A*｜＝｜A｜n-1，有｜A｜3＝8，得｜A｜＝2．给题设方程两端右乘A，得AB＝B＋3A，两端左乘A*并利用A*A＝｜A｜E＝2E，得2B＝A*B＋6E，(2E－A*)B＝6E，B＝6(2E－A*)-1＝知识点解析：暂无解析30、已知矩阵且矩阵X满足AXA＋BXB＝AXB＋BXA＋E，求矩阵X．标准答案：(A－B)X(A－B)＝EX＝(A－B)-1(A－B)-1＝知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则()．A、r＞mB、r=mC、r＜mD、r≥m标准答案：C知识点解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以选(C)．2、设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则()．A、r(A)=1B、r(A)=2C、r(A)=3D、r(A)=4标准答案：C知识点解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．3、设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则()．A、r(B)=nB、r(B)＜nC、A2一B2=(A+B)(A—B)D、|A|=0标准答案：D知识点解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是|A|=0，选(D)．4、设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A，B都是可逆矩阵，因为所以选(D)．5、设则A，B的关系为()．A、B=P1P2AB、B=P2P1AC、B=P2AP1D、B=AP2P1标准答案：D知识点解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．6、设则()．A、B=P1AP2B、B=P2AP1C、B=P2-1AP1D、B=P1-1AP2-1标准答案：D知识点解析：显然因为P1-1=P1，所以选(D)．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)7、设A为四阶矩阵，|A*|=8，则标准答案：因为A为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故知识点解析：暂无解析8、若矩阵B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=__________．标准答案：由AB=0得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．知识点解析：暂无解析9、设则A-1=__________．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设则A-1=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设则(A*)-1=___________．标准答案：|A|=10，因为A*=|A|A-1，所以A*=10A-1，故知识点解析：暂无解析12、设则(A一2E)-1=____________．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设n阶矩阵A满足A2+A一3E，则(A一3E)-1=__________．标准答案：由A2+A=3E，得A2+A一3E=0，(A一3E)(A+4E)=一9E，知识点解析：暂无解析14、标准答案：令A=(α1，α2，α3)，因为|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以于是知识点解析：暂无解析15、设n维列向量a=(a，0，…，0，a)T，其中a<0，又A=E一ααT，且B为A的逆矩阵，则a=__________．标准答案：由且ααT≠O，得解得a=一1．知识点解析：暂无解析16、设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且则B=____________．标准答案：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1一E)B=6E，知识点解析：暂无解析17、设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，则r(AB)=_____________.标准答案：因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识点解析：暂无解析18、设B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=____________.标准答案：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识点解析：暂无解析19、则P12009P2-1=_____________．标准答案：因为Eij-1=Eij，所以Eij2=E，于是知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)20、设A，B满足A*BA=2BA一8E，且求B．标准答案：由A*BA=2BA一8E得AA*BA=2ABA一8A，即一2BA=2ABA一8A，整理得(A+E)B=4E，所以知识点解析：暂无解析21、设求B-1．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设求A-1．标准答案：知识点解析：暂无解析设n阶矩阵A满足A2+2A—3E=O．求：23、(A+2E)-1；标准答案：由A2+2A一3E=O得A(A+2E)=3E，A·(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E)-1=A.知识点解析：暂无解析24、(A+4E)-1．标准答案：由A2+2A一3E=O得(A+4E)(A一2E)+5E=O，则(A+4E)-1=(A一2E)．知识点解析：暂无解析25、设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E—A)-1．标准答案：Ek一Ak=(E—A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek一Ak=E，所以(E～A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．知识点解析：暂无解析设A，B为n阶矩阵，26、求P·Q；标准答案：知识点解析：暂无解析27、证明：当P可逆时，Q也可逆．标准答案：因为|P|=|A||B|，所以当P可逆时，|A||B|≠0，而PQ=|A||B|E，即于是Q可逆且知识点解析：暂无解析28、设A为n阶可逆矩阵，A2=|A|E．证明：A=A*．标准答案：因为AA*=|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．知识点解析：暂无解析29、设A为n阶矩阵，且A2一2A一8E=O．证明：r(4E—A)+r(2E+A)=n．标准答案：由A2一2A一8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E一A)+r(2E+A)=n．知识点解析：暂无解析30、证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．标准答案：设存在可逆阵B，C，使得AB=AC=E，于是A(B－C)=O，故r(A)+r(B－C)≤n，因为A可逆，所以r(A)=n，从而r(B－C)=0，B－C=O，于是B=C，即A的逆矩阵是唯一的．知识点解析：暂无解析31、设A是m×n阶矩阵，若ATA=O，证明：A=O．标准答案：因为r(A)=r(ATA)，而ATA=O，所以r(A)=0，于是A=O．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、则必有()A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B标准答案：C知识点解析：注意依次对A施行下列两种初等行变换，即得矩阵B：先将A的第1行加到第3行，再将所得矩阵的1、2两行互换．两次初等行变换所对应的初等方阵依次为P2、P1，故有B=P1P2A．2、设n维列向量组α1，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为()A、向量组α1，…，αm可由向量组β1，…，βm线性表示．B、向量组β1，…，βm可由向量组α1，…，αm线性表示．C、向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价．D、矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价．标准答案：D知识点解析：当A=[α1…αm]与B=[β1…βm]等价时，A与B有相同的秩．由已知条件知A的秩为m，故B的秩亦为m，即β1，…，βm线性无关；若β1，…，βm线性无关，则矩阵A与B有相同的秩m，A与B义都是n×m矩阵，故A与B有相同的秩标准形(矩阵)P，于是A与P等价，B也与P等价，由等价的性质即知A与B等价．综上可知D正确．3、已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则()A、t=6时P的秩必为1．B、t=6时P的秩必为2．C、t≠6时P的秩必为1．D、t≠6时P的秩必为2．标准答案：C知识点解析：PQ=O说明Q的每一列都是齐次方程组Px=0的解向量，当t≠1时矩阵Q的秩为2，故此时有3－r(P)≥2，即r(P)≤1，又P≠O，有r(P)≥1，故当t≠1时必有r(P)=1．4、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22－4x32－4x1x2－2x2x3的标准形是()A、2y12－y22－3y32B、－2y12－y22－3y32C、2y12+y22D、2y12+y22+3y32标准答案：A知识点解析：f即不正定(因f(0，0，1)=－4＜0)，也不负定(因f(1，0，0)=2＞0)，故B、D选项都不对；又f的秩=矩阵的秩=3，故C选项不对，只有A选项正确．或用配方法：f=2(x1－x2)2－x22－4x32－2x2x3=2(x1－x2)2－(x2+x3)2－3x32=2y12－y22－3y32，其中所作满秩线性变换为故A正确．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、标准答案：1－x2－y2－z2．知识点解析：将第2列的(－x)倍、第3列的(－y)倍、第4列的(－z)倍都加到第1列，则化成了上三角行列式．6、方程f(z)==0的全部根是_______．标准答案：x=0，x=1．f(z)=5x(x－1)．知识点解析：暂无解析7、已知α=(1，2，3)，β=(1，1／2，1／3)，矩阵A=αTβ，n为正整数，则An=_______．标准答案：知识点解析：An=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)=αT(βαT)…(βαT)β=αT3n－1β=3n－1αTβ8、设3阶方阵A、B满足A2B－A－B=E，其中E为3阶单位矩阵，若A=，则|B|=_______．标准答案：1／2．知识点解析：(A2－E)B=A+E，(A+E)(A－E)B=A+E，因A+E可逆，两端左乘(A+E)－1，得(A－E)B=E，两端取行列式，得|A－E||B|=1，因|A－E|=2，得|B|=1／2．9、已知向量组α1=(1，2，－1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，－4，5，－2)的秩为2，则t=_______．标准答案：3．知识点解析：由知其秩为2t=3．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)10、设B是元素全都为1的n阶方阵(n＞1)．证明：(E－B)－1=E－B．标准答案：由(E－B)(E－)B=E－O=E(其中B2=nB)，(E－B)－1=E－B．知识点解析：暂无解析11、设A、B都是n阶方阵，且A2=E，B2=E，|A|+|B|=0，证明：|A+B|=0．标准答案：A2=E，|A|=±1，同理有|B|=±1，又|A|=－|B|，|A||B|=－1．|\A+B|=|AE+EB|=|AB2+A2B|=|A(B+A)B|=|A||B+A||B|=－|A+B|，|A+B|=0．知识点解析：暂无解析12、求An(n=2，3，…)；标准答案：A2=4EA2m=(A2)m=4mE，A2m+1=A2mA=4mA(m=1，2，…)；知识点解析：暂无解析13、若方阵B满足A2+AB－A=E，求B．标准答案：A2=4E，A－1=1／4A，B=A－1(E+A－A2)=A－1+E－A=A+E－A=E－A=1／4(4E－3A)知识点解析：暂无解析14、设4阶实方阵A=(aij)4×4满足：(1)aij=Aij(i，j=1，2，3，4，其中Aij是aij的代数余子式)；(2)a11≠0，求|A|．标准答案：aij=Aij(i，j=1，2，3，4)，AT=A*，|A|=|AT|=|A*|A3|，|A|=0，1，－1，又|A|=a1jA1j=a1j2＞0，|A|=1．知识点解析：暂无解析15、设矩阵矩阵X满足关系式AX+E－A2+X，求矩阵X．标准答案：(A－E)X=A2－E，且A－E可逆X=(A－E)－1(A－E)(A+E)=A+E知识点解析：暂无解析16、设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．标准答案：设有一组数λ0，λ1，…，λk－1使λ0α+λ1Aα+…+λk－1Ak－1α=0，两端左乘Ak－1，由于Ak－mα=0(m=0，1，2，…)，λ0Ak－1α=0，又Ak－1α≠0，λ0=0，同理可证λ1=…=λk－1=0，故α，Aα，…，Ak－1α线性无关．知识点解析：暂无解析17、设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj=a1jα1+a2jα2+…+arjαr(j=1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(aij)r×s的秩为s．标准答案：不妨设αi(i=1，…，r)及βj(j=1，…，s)均为n维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式：[β1β2…βs]=[α1α2…αr]A，或B=PA，其中B=[β1β2…βs]为n×s矩阵，P=[α1α2…αr]为n×r矩阵，且P的列线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解：若Bx=P(Ax)=0，因P的列线性无关，得Ax=0；若Ax=0，两端左乘P，得PAx=Bx=0，所以Bx=0与Ax=0同解，s－r(B)=s－r(A)，r(B)=r(A)，(Ⅱ)线性无关(B)=sr(A)=s．知识点解析：暂无解析18、已知线性方程组的一个基础解系为：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．标准答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是B的n个行向量的转置向量，因此，由(Ⅰ)的已知基础解系可知ABT=O转置即得BAT=O因此可知AT的n个列向量…即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量．由于B的秩为n，故(Ⅱ)的解空间的维数为2n－n=n，所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系．已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量，故2n－r(A)=n，得r(A)=n，于是A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此(Ⅱ)的通解为yc1(a11，a12，…，a1，2n)T+c2(a21，a22，…，a2，2n)T+…+cn(an1，an2，…，an，2n)T(c1，c2，…，cn为任意常数)知识点解析：暂无解析19、λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解?在有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．标准答案：当λ≠－2且λ≠1时有唯一解；当λ=－2时无解；当λ=1时有无穷多组解，通解为x=(－2．0．0)T+c1(－1，1，0)T+c2(－1，0，1)T．知识点解析：暂无解析已知线性方程组20、a，b，c满足何种关系时，方程组仅有零解?标准答案：系数行列式|A|=(b－a)(c－a)(c－b)，故当a，b，c两两不相等时，方程组仅有零解．知识点解析：暂无解析21、a，b，c满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解．标准答案：当a=b≠C时，全部解为x=k1(1，－1，0)T；当a=c≠b时，全部解为x=k2(1，0，－1)T；当b=c=a时，全部解为x=k3(0，1，－1)T；当a=b=c时，全部解为x=k4(－1，1，0)T+k5(－1，0，1)T．知识点解析：暂无解析22、已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．标准答案：由于AB=O，知B的每一列都是方程组Ax=0的解，因此Ax=0至少有r(B)个线性无关解，所以Ax=0的基础解系至少含r(B)个向量，即3－r(A)≥r(B)，或r(A)≤3－r(B)．又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1．当k≠9时，r(B)=2，有1≤r(A)≤1，于是r(A)=1；当k=0时，r(B)=1，有1≤r(A)≤2．于是r(A)=1或r(A)=2．当k≠9时，由AB=O可得由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数当k=9时，分别就r(A)=2和r(A)=1讨论如下：如果r(A)=2．则Ax=0的基础解系由一个向量构成．又因为A=0，所以Ax=0的通解为x=c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数．如果r(A)=1，则Ax=0的基础解系由两个向量构成．又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，C不全为零，所以Ax=0等价于ax1+bx2+cx3=0．不妨设a≠0，则η1=(－b，a，0)T，η2=(－c，0，a)T是Ax=0的两个线性无关的解，从而η1，η2可作为Ax=0的基础解系．故Ax=0的通解为x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数．知识点解析：暂无解析23、已知向量α=(1，k，1)T是矩阵A=的逆矩阵A－1的特征向量，试求常数k的值及与α对应的特征值．标准答案：由A－1α=λα，α=Aαα，亦即解之即得k=－2，λ=1；或k=1，λ=1／4．知识点解析：暂无解析24、已知矩阵A=(aij)n×n的秩为n－1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．标准答案：由A*A=|A|E=0，知A的n－1个线性无关的列向量都是方程组A*x=0的解向量，即λ=0至少是A*的n－1重特征值，而上述n－1个列向量即为对应的线性无关特征向量．又由全部特征值之和等于A*的主对角线上元素之和A11+A22+…+Am，故A*的第n个特征值为Aii，由于r(A*)=1，故A*的列成比例，不妨设(A11，A12，…，A1n)T≠0，则存在常数k2，…，kn，使于是有Aii=A11+k2A12+…+knA1n，且使因此，(A11，A12，…，A1n)T为A*的对应于特征值Aii的特征向量．知识点解析：暂无解析设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量．25、求A的另一特征值和对应的特征向量；标准答案：因为λ1=λ2=6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，有题设可得α1，α2，α3的一个极大无关组为α1，α2，故α1，α2为A的属于特征值6的线性无关的特征向量．由r(A)=2知|A|=0，所以A的另一特征值为λ3=0．设λ3=0对应的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，则有αiTα=0(i=1，2)，即解得此方程组的基础解系为α=(－1，1，1)T，即A的属于特征值λ3=0的特征向量为kα=k(－1，1，1)T(k为任意非零常数)．知识点解析：暂无解析26、求矩阵A．标准答案：令矩阵P=[α1α2α3]，则有P－1AP计算可得知识点解析：暂无解析27、设矩阵An×n正定，证明：存在正定阵B，使A=B2．标准答案：因A正定，故有正交阵P，使且λi＞0(i=1，2，…，n)则B正定，且使A=B2．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第7套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于()．A、A＋BB、A－1＋B－1C、A(A＋B)－1BD、(A＋B)－1标准答案：C知识点解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．2、设则m，n可取()．A、m＝3，n＝2B、m＝3，n＝5C、m＝2，n＝3D、m＝2，n＝2标准答案：B知识点解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．3、设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，则()．A、m＞nB、m＝nC、存在m阶可逆阵P，使得AP＝D、若AB＝O，则B＝O标准答案：D知识点解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．4、设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则()．A、两个向量组等价B、r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C、若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D、两向量组构成的矩阵等价标准答案：C知识点解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．5、设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是()．A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、A为可逆矩阵D、r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示标准答案：D知识点解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．6、设A为n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B、若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C、若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D、若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等标准答案：D知识点解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．标准答案：kn(n－1)an－1知识点解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．8、设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．标准答案：1知识点解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．9、设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．标准答案：知识点解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝10、设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．标准答案：0知识点解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、设A＝(aij)n×m是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜＝ak1Ak1＋ak2Ak2＋…＋aknAakn＝ak12＋ak22＋…＋akn2＞0．知识点解析：暂无解析12、设A＝E－ααT，其中α为n维非零列向量．证明：(1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量；(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．标准答案：(1)令αTα＝k，则A2＝(E－αTα)(E－ααT)＝E－2ααT＋kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2＝A的充分必要条件是k＝1，而αTα＝｜α｜2，所以A2＝A的充要条件是α为单位向量．(2)当α是单位向量时，由A2＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因为E－A＝ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵．知识点解析：暂无解析13、设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．标准答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)＝n；当r(A)＝n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根据矩阵秩的性质有r(A)＋r(