2、圆中垂径定理

24.1.2垂径定理杏坪中学陈久军赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境·OABCDE

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动一可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．即：直径CD垂直于弦AB，则ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒几何语言表达①CD是直径②CD⊥AB可推得③AM=BM,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE（AB不为直径）⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＯＥ几何语言表达垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的几个基本图形1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中

练习

8cm2．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,

那么圆心O到弦AB的距离是

。3．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是

。4．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是

。ABOEABOEOABE练习方法归纳:解决有关弦的问题时，经常连结半径；过圆心作弦的垂线段，为应用垂径定理创造条件。

E.ACDBO.ABOE已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。.ACDBO练习判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的()②平分弦的直线必垂直弦()③垂直于弦的直径平分这条弦()④平分弦的直径垂直于这条弦()⑤弦的垂直平分线是圆的直径()⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦()⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧()辨别是非2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.RD37.47.218.7例、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求主桥拱的半径。OABC如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设知在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2R-7.218.7例、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求主桥拱的半径。

3、某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有