浙江省（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联考2024届高考 数学模拟卷（含解析）

2024年浙江省高考数学模拟卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知不共线的平面向量，满足，则正数（

）A．1 B． C． D．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号，其中干扰信号为服从正态分布的随机变量，令累积信号，则Y服从正态分布，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（

）倍A． B．m C． D．5．已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（

）A．12 B．14 C．16 D．188．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在区间上单调递增 B．的最小值为C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为10．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（

）A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（

）A．曲线C关于直线和都对称B．曲线C上的点到和到直线的距离相等C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若展开式中的常数项为，则实数.13．已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第项．14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列．(1)若a，b，c是等比数列，求；(2)若，求．16．已知椭圆的左焦点为F，椭圆上的点到点F距离的最大值和最小值分别为和．(1)求该椭圆的方程；(2)对椭圆上不在上下顶点的任意一点P，其关于y轴的对称点记为，求；(3)过点作直线交椭圆于不同的两点A，B，求面积的最大值．17．如图，已知三棱台，，，点O为线段的中点，点D为线段的中点.

(1)证明：直线平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成线面角的大小.18．第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.(1)当，时，求条件概率；(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值；(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.19．卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．(1)若，，，求，，，；(2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；(3)若，，证明：当时，．1．D【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可.【详解】由题意得，故，故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确.故选：D2．D【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.【详解】易知集合，，则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B，对于C，当时，集合为，而令，可得不为整数，故不含有7，可得中不含有7，故C错误，故选：D3．B【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出.思路二：由共线向量基本定理即可得解.【详解】方法一：由已知有，，解得.方法二：设，由题意，解得.故选：B.4．B【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解.【详解】由Y服从正态分布，则的信噪比为，又接收一次信号的信噪比为，所以，所以累积信号Y的信噪比是接收一次信号的m倍.故选：B5．A【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】一方面，当，时，是奇函数，是偶函数，故充分性成立，另一方面，当时，有是奇函数，是偶函数，但此时关于的方程没有解，故必要性不成立，综上所述，在已知的情况下，“”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.6．C【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式求得t的值即可.【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C：因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，，在中，.所以，圆心C到直线l的距离:因此，，解得，故选：C.7．B【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可.【详解】依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻，当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种，当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种，情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种，故符合题意的情况有种，故B正确.故选：B.8．A【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可.【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为，设点，则可取，则，整理得，解得，即，可得，则，所以该双曲线离心率的取值范围是．故选：A.【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取；2.根据渐近线的几何意义可得：.9．ABD【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A，B，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C，对构造函数再次求导，判断极值点即可.【详解】易知，可得，令，，令，，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，故A，B正确，若讨论方程的解，即讨论的零点，易知，，故，故由零点存在性定理得到存在作为的一个零点，而当时，，显然在内无零点，故只有一个零点，即只有一个解，故C错误，令，故，令，解得，而，，故是的变号零点，即是的极值点，故得导函数的极值点为，故D正确.故选：ABD10．BCD【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的.【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误；对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,故选：BCD.11．BCD【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.【详解】对于A，曲线C：中，，所以不关于直线对称，故错误；对于B，设C上一点，则，而，故正确；对于C，，，所以，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是，故正确；对于D，到点的距离，故曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于．故选：BCD.12．【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，代入可得，解得.故答案为：.13．2【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到，进而得到，最后写出，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设的公比为，故，，可得，设的首项为，公差为，故得，化简得，解得，故，故当最小时，，故得是的最小项，即的最小项是第2项．故答案为：214．【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解.【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱中，，三棱柱的高为，则三棱锥的体积为.引理的证明如下：，引理得证.事实上上述引理等价于，若三棱锥满足，，异面直线所成夹角为，且异面直线之间的距离为，则三棱锥的体积为.从而由上述引理有．若，则，从而的取值范围是，的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解.15．(1)(2)【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得；（2）由（1）得，再借助角的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为a，b，c是等比数列，所以，有，因为，，是等差数列，所以.故.所以．（2）由（1）的过程可知，若，则.又由，得，故．16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）设出椭圆上的点，求出的最值，进而求出即可.（2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【详解】（1）令，设是椭圆上的点，则，则，显然当时，，当时，，则，解得，所以椭圆的方程为.（2）记椭圆的右焦点为，由椭圆对称性知，，所以.（3）显然直线不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，由消去x得，，则，，因此，令，于是，当且仅当，即时取到等号，所以面积的最大值.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AB中点M，利用平行四边形的性质证明，从而利用线面平行的判定定理证明即可；（2）法1（建系）：利用梯形性质证明，建立空间直角坐标系，设，利用平面平面求得，再利用线面角的向量公式求解即可；法2（综合法）：连接，，取中点N，延长，，交于点V，根据面面垂直的性质定理，结合线面角的定义得即为所求，在直角三角形中求解即可；法3（三余弦定理）：延长，，交于点V，根据三余弦定理求解即可.【详解】（1）取AB中点M，连接，则，故O，M，C，共面，由AM与OD平行且相等得，ODAM为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面.（2）法1（建系）：连接，因为，且，所以为平行四边形，故，又点D为线段的中点，所以，由得，故以O为原点，，为x，y轴正方向，垂直于平面向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.

则，因为，AB的中点M，所以，又，,平面，所以平面，又平面，所以平面平面，设，，则，设平面的法向量为，，则，取，则，则平面的法向量为；设平面的法向量为，，则，取，则，则平面的法向量为，因为平面平面，所以，即，即，解得或（舍去），故，，记直线与平面所成线面角为，，则，故，即直线与平面所成线面角.法2（综合法）：连接，，取中点N，

则，故，由平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又由，得，延长，，交于点V，则所求线面角即，而，所以，故直线与平面所成线面角的大小为.法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为三余弦定理，又称最小张角定理.

证明：如上图，自点O作于点B，过B作于C，连接OC，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，则，所以，即.延长，，交于点V，则，，由平面平面，用三余弦定理得，所以，所以，故直线与平面所成线面角为.

18．(1)(2)分布列见解析，(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意分别求出和，代入条件概率公式计算即得；（2）根据题意，列出的可能取值，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可；（3）直观判断，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得.【详解】（1）由，知，当时，最大编号为5，另2辆坦克编号有种可能，故，由，有，解得，故总编号和小于9，则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2，故，因此；（2）依题意，用M作为N的估计值，因，则的可能取值有，于是，，，，，于是M的分布列如下：M45678P故；（3）直观上可判断