高二上学期期中专题复习-圆锥曲线解答题部分

浙江省高二上学期期中专题复习圆锥曲线部分本资料以2023年浙江省各大市区期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！1．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（），(1)求双曲线C的标准方程(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.2．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．(1)求椭圆的方程；(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，．（i）求的值；（ii）若，求面积的取值范围．3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线的左右顶点分别为点，其中，且双曲线过点．(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．4．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上.(1)求双曲线C的离心率e的值；(2)若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.5．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，是椭圆的另一个焦点，若内切圆的半径，求直线l的方程．6．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.7．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆，、为椭圆的左右焦点，、为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆交于、两点.(1)若，求；(2)设直线和直线的斜率分别为、，且直线与线段交于点，求的取值范围.8．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，点分别是椭圆的左､右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（在之间），直线交于点，记的面积分别为，求的取值范围.9．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，已知椭圆的焦点为，，离心率为，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴，点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)判定（为坐标原点）与的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知双曲线过点，它的渐近线方程是．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，直线的倾斜角互补，求直线的斜率．11．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围．12．（23-24高二上·浙江衢州·期中）若双曲线E：的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．(1)求k的取值范围；(2)若，点C是双曲线上一点，且，求k，m的值．13．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知，分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．14．（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.15．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线，斜率为k的直线l过点M.(1)若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；(2)已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m的值.16．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点F与原点O的距离为1，正方形PQMN的边PQ，MN与x轴平行，边PN，QM与y轴平行，，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中垂线为l.已知直线AB的斜率为k，且.(1)若直线l过点P，求k的值;(2)若直线l与正方形PQMN的交点在边PN，QM上，l在正方形PQMN内的线段长度为s，求的取值范围.17．（23-24高二上·浙江·期中）已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围参考答案：1．(1)(2)【详解】（1）设双曲线的方程为,代入,,得,解得,所以双曲线的方程为．（2）由,得,设,,,,则中点坐标为,,由韦达定理可得,所以,所以中点坐标为,因为点在圆上，所以,解得．2．(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故，又，所以，，，所以椭圆的方程为.（2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆Ｃ于、两点（、在轴的两侧），故直线的的斜率不为，直线的方程为，联立，则，则，设，，则，，又，，故，同理．（ii）因为，则，．又直线交与轴不垂直可得，所以，即．所以，，于是，，整理得，解得或，因为、在轴的两侧，所以，，又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点，此时，，，设，由直线交与轴不垂直可得，故，因为在上为减函数，所以面积的取值范围为.3．(1)(2)证明见解析，【详解】（1）由，则，又，则，所以，故双曲线的方程为：.（2）如图，

由，则方程为，显然直线DE的斜率存在，设直线方程为：，则，则，由，则，则，，联立，则，则所以，故，故过定点.4．(1)2(2)是，3【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程是，故设C：，因为在双曲线C上，所以，所以：，所以，，所以，所以；（2）设，，联立得，则得且，，，又，，所以.即直线MA，MB的斜率之和是3.5．(1)(2)【详解】（1）由题可得，焦点在x轴上，，，，解得，，所以椭圆：.（2）设，，设直线的方程为，的根为，，，，且，又∵，，∴，所以直线的方程为：.

6．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由离心率可得，将点代入椭圆方程可得，又；解得，所以椭圆C的方程为（2）设点，，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得，

则可得，，易知，得由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标，所以直线与轴交于定点7．(1)(2)【详解】（1）解：设、，当时，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，可得，，由韦达定理可得，，所以，.（2）解：联立直线与椭圆方程，消去，得，则，解得，设、，由韦达定理可得，，

因为，易知，直线交线段于点，则，可得，所以，.8．(1)(2)【详解】（1）由题意可知离心率为，将点代入椭圆方程可得，又，解得；所以椭圆方程为（2）易知，设直线的方程为，，且，联立直线和椭圆方程，整理可得，，可得，且可得直线的方程为，直线的方程为，解得点到直线的距离为所以的面积为的面积为；所以，又可得，即可得的取值范围是.9．(1)(2)面积和为定值，定值为【详解】（1）设椭圆方程为，焦距为，则，，所以，，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意得，，直线：，设点，，，则x022+直线：，令，则，所以，直线：，令，则，所以，，由①得，所以.10．(1)(2)【详解】（1）若双曲线焦点在轴上，设方程为，则有，解得，所以双曲线方程为；若双曲线焦点在轴上，设方程为，则有，无解；综上双曲线方程为.（2）易知，直线的斜率一定存在，设方程为，联立，消去可得，，，可得，由韦达定理可得，，，，因为直线的倾斜角互补，所以,即，即，整理得，，解得或，时，直线为过定点，不满足题意，所以.11．(1)(2)【详解】（1）设，则且化简得.（2）如图，设，若，则关于轴对称，有，不合题意故，同理可知，故由化简整理可得所以，且由可知，故即于是解得，满足坐标原点到直线的距离.12．（1）．（2）【详解】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A,B两点,所以.即,即,即k的取值范围是．(2)由①得,所以.整理得,所以或,又,所以,所以x1＋x2＝,y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3,y3),由得(x3,y3)＝m(x1＋x2,y1＋y2)＝,因为点C是双曲线上一点,所以80m2－64m2＝1,得,故.13．(1)(2)存在，3【详解】（1）因为焦距为，所以，由椭圆的对称性得．又因为，所以．则，．所以椭圆E的方程为.

（2）设，又A−2,0，则，故直线AP的方程为：，代入方程并整理得：．由韦达定理：即，∴同理可解得：，，∴故直线CD的方程为，即，化简可得：，直线CD恒过定点．∴，因为，，所以

14．(1)；(2)不存在，理由见解析.【详解】（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，所以曲线C的方程为.（2）设，联立，得，且，则，故，所以，所以，又，即，不满足，所以不存在满足要求的直线l.

15．(1)或；(2).【详解】（1）由题设，设直线，联立双曲线，得，所以，当，即时，直线与双曲线只有一个交点，当，交点为；当，交点为；当，此时，则，当，切点为；当，切点为；综上，或.

（2）由题设直线，联立双曲线方程，得，则，故，所以①，设，则，，由又，，为定值，所以，此时为定值.

16．(1)(2)【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由题意可得：，解得，所以椭圆.因为，则直线，，联立方程，消去y得，则，可得，则，，即线段AB的中点为，所以直线，即，若直线l过点，则，整理得，对于，则，即无解，由，解得.（2）由（1）可知：直线，令，可得，即直线l与PN的交点坐标为，令，可得，即直线l与QM的交点坐标为，由题意可得：，解得