双曲线专项训练- 高三数学一轮复习

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页双曲线专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷一、单选题1．过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条2．双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（

）A．3 B． C． D．3．双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（

）A． B．4 C． D．24．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（

）A．20 B．22 C．28 D．367．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（

）A．3 B．5 C．7 D．98．双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知双曲线：，左右焦点分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率B．若轴，则C．若双曲线上一点满足，则的周长为D．存在双曲线上一点，使得点到C的两条渐近线的距离之积为10．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为 B．的标准方程为C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（

）A． B． C． D．三、填空题12．双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为．13．已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为．14．设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则.四、解答题15．设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点，(1)求的方程；(2)若l过点，求.16．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值．17．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.(1)求双曲线的方程；(2)证明：为直角三角形；(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为．机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】易知直线的斜率存在，设：，联立双曲线方程可得，分类讨论当、时，求出对应的k，即可下结论.【详解】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点.当直线的斜率存在时，设方程为，与双曲线方程联立，若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个.当时，；当时，.当时，，整理可得，因为，所以有两个不等的实数根，又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个.综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条.故选：C.2．B【分析】依题求出点坐标，设出点，得，写出，利用点在双曲线上，化简的表达式，计算即得.【详解】如图，,不妨设，则，依题意，，因点在双曲线上，故有，于是，.故选：B.3．A【分析】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及的关系即可求解.【详解】由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是，则由题意，解得，故所求为.故选：A.4．C【分析】根据给定条件，求出，进而求出直线的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解.【详解】由双曲线的离心率为，得，则，，因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率，所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．故选：C5．C【分析】根据几何关系转化为关于的齐次方程，再转化为关于离心率的方程，即可求解.【详解】由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示，则AB=2b2a，若，所以由于，所以，解得，因为，所以．故选：C6．C【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长.【详解】由题意知，，所以，又，所以，所以的周长为．故选：C．7．B【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解.【详解】由双曲线可知，且圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，由圆的性质可知：，可得，可知，为双曲线的焦点，则，可得，所以的最小值为5.故选：B.8．C【分析】设，则，由已知结合双曲线定义，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，进而可求答案．【详解】解：如图，由题意得：，设，则，所以，，由双曲线的定义得：，所以，，则，因为，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故双曲线的渐近线方程为．故选：C．9．BC【分析】求出渐近线方程，圆心、半径，根据已知列出方程，求出的值，即可得出离心率；求出的方程，代入双曲线得出点坐标，即可得出B项；根据双曲线的定义结合已知求出的值，即可得出C项；设，求出距离之积，结合双曲线的方程，即可判断D项.【详解】对于A项，由，可得双曲线的渐近线方程为.圆的圆心为，半径为.因为双曲线的渐近线与圆相切，所以有到的距离，解得，所以双曲线的方程为，，，，所以，离心率，故A项错误；对于B项，由A知，，所以的方程为.代入双曲线方程可得，，所以，故B项正确；对于C项，由已知，根据双曲线的定义可知，，所以有.又，所以的周长为，故C项正确；对于D项，设，双曲线的渐近线方程为，则点到直线的距离，到直线的距离，所以.又在双曲线上，所以有，，故D项错误.故选：BC.10．AD【分析】依题意可得，再根据两条渐近线的夹角为及，即可求出双曲线的方程、离心率、渐近线及焦点坐标；【详解】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，所以离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；故选：AD11．BC【分析】结合椭圆和双曲线的定义即可求解.【详解】设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的长轴长为，短轴长为，则在中，，根据对称性，设椭圆与双曲线的交点在第二象限，由双曲线的定义知：，由椭圆的定义知：，则，又，，则，则，又，解得，则，A错误；，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC12．【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可．【详解】解：由题，设，，因为，所以，因为，所以，解得，因为，解得，所以，双曲线的标准方程为．故答案为：．13．【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解、的长，再结合余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式求解即可.【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得所以，，所以，由余弦定理可得，所以，故，因此的面积为，解得．故答案为：.14．3【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解．【详解】如图，画出草图．由的离心率为，且，可得，解得.因为，所以由双曲线的定义，可得.故答案为：．15．(1)(2)【分析】（1）由双曲线的性质得到右焦点，由点斜式写出直线方程，由点同时在渐近线和直线上组成方程组，解出即可；（2）方法一：直曲联立，求出两点坐标，再用两点间距离公式求解弦长；方法二：直曲联立，用韦达定理表示出，再代入弦长公式求解即可.【详解】（1）的右焦点为，当l过的右焦点F时，直线l的方程为，由于点在渐近线上，所以，由于点在直线l上，所以，得，解得，所以双曲线的方程是.（2）方法一：因为l过点且斜率为1，故直线，由得，即，解得或，当时，，故，当时，，故，所以，方法二：因为l过点且斜率为1，故直线，由得，即，设Ax1则，所以.16．(1)(2)或2．【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.（2）将直线的方程和双曲线的方程联立，对进行分类讨论，从而求得的值.【详解】（1）双曲线的焦点为，一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，而离心率，且，，方程为.（2）联立，得,即，当时，显然有一个解，此时，负根舍去；当时，，，负根舍去，综上，或2．17．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）设出、两点坐标，借助点差法计算即可得；（2）联立直线与双曲线方程，可得与、两点坐标有关韦达定理，通过计算即可得为直角三角形；（3）设直线方程为：，，，，结合题意计算可得，又，，可得，联立直线与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得，结合面积公式计算即可用表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.【详解】（1）设Mx1,y1，N，两点在双曲线上，，由①－②得，即，，，即，，又，，双曲线的方程为：；（2）由已知可得，直线的方程为：，即，联立，，则，，，，为直角三角形；（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，故设直线方程为：，设，，，，，，点在双曲线上，，，③，又，，，④，联立，，⑤，⑥，，分别在第一象限和第四象限，，，由④式得：，⑦，将⑤⑥代入⑦得：，，令，，由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，，.【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用表示出该三角形面积，难点在于计算.18．(1)(2)没有“被抓”风险【分析】（1）根据题意和双曲线定义，可得机器鼠所在的点的轨迹方程，利用与其联立，计算即得点的坐标；（2）依题考虑与直线平行且距离不超过的直线，判断机器鼠是否有“被抓”风险，就可以转化为与是否有交点问题，而这可以通过方程联立，计算方程根的判别式的符号得到.【详解】（1）如图，设机器鼠在点处，则由题意，得，所以，P为以A、B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，该双曲线的方程为，由，即：，将其与双曲线方程联立，解得：，故得，即在时刻时，机器鼠所在位置的坐标为．（2）因为与直线l平行且距离不超过1.5的直线方程为，则由可得：．考虑与是否有交点，联立，得，故，因为，所以，所以，与没有交点，即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险．【点睛】思路点睛：本题主要考查动点的轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，属于较难题.解题思路包括：①求动点轨迹，一般将其与圆锥曲线的定义进行比较，符合定义则可以用其标准方程得到轨迹方程；②对于此题中的“机器鼠是否有“被抓”风险”，要将其理解为直线与是否有交点问题即可迎刃而解.19．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量求解即可；（2）方法一：设直线AP：，，联立直线与双曲线的方程，结合Px0,y0在双曲线上，化简可得，同理，代入化简，结合双曲线方程可得，再根据正弦定理，结合代入化简可得，再根据求解范围即可；方法二：设直线DE：，，，联立方程得出韦达定理，再根据P，A，D三点共线，P，B，E三点共线，列式化简可得，进而可得，结合双曲线方程可得，再根据正弦定理，结合代入化简可得，再根据求解范围即可.【详解】（1）由题意得：，解得，所以双曲线的方程为.（2）方法一：设直线AP：，，则，消y得：，得：，又因为Px0,y0所以，即.同理设直线BP：，，可得，所以.因为，所以，因为，所以.把代入双曲线方程得，解得，则点.设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得，，因为，所以.则.因为，所以，所以.方法二：设直线DE：，，，则，消x得：，所以，，得，因为P，A，D三