新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州阿克陶县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州阿克陶县2022-2023学年九年级(上)期末数学试卷1一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.反比例函数图像经过的点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、当时，，过点，不符合题意；B、当时，，过点，不符合题意；C、当时，，过点，不符合题意；D、当时，，过点，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．2.已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：∵2x=5y，∴．故选B．3.对于抛物线的说法不正确的是（）A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标是（1，2）C.抛物线的对称轴是直线 D.当时，y的最小值是2【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：，，开口向下，A选项正确，不符合题意；抛物线的顶点为（1，2），B选项正确，不符合题意；抛物线的对称轴是直线，C选项正确，不符合题意；当时，y的最大值是2，D选项错误，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关知识．4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（）A.sinA＝ B.cosA＝ C.tanA＝ D.cotA＝【答案】B【解析】【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．【详解】解：，，，，A、，故选项错误，不符合题意；B、，故选项正确，符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．5.已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（）A.1，3 B.3，-4 C.1，-3 D.3，-3【答案】A【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【详解】解：∵抛物线y=（x+2）2-1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，∴平移后抛物线的解析式为y=（x+2+h）2-k-1．

又∵平移后抛物线的解析式为y=（x+3）2-4．

∴2+h=3，-k-1=-4，

∴h=1，k=3，

故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．6.如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（）A.如果，则B.如果，则C.如果，则D.如果，则【答案】D【解析】【分析】由两个角对应相等的两个三角形相似可判断，由两边对应成比例，且夹角相等可判断，从而可得答案．【详解】解：A中∠ADB=∠ABC，∠A为公共角，所以，故A不符合题意；B中∠ABD=∠C，∠A为公共角，所以，故B不符合题意；C中对应边成比例，∠A为公共角，所以，故不符合题意；D中对应边成比例，但夹角不相等，所以不一定相似，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．7.二次函数(为常数)的图象不经过第三象限，当≤3时，的最大值为，则的值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意和题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以求得a的值，本题得以解决．【详解】∵二次函数＝a（x−4）2−16a，∴该函数的对称轴是直线x＝4，又∵二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限，∴a＞0，∵当2≤x≤3时，y的最大值为−3，∴当x＝2时，a×22−8a×2＝−3，解得a＝．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【】A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2【答案】B【解析】【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE∴△DEF∽△BAF∴∵，∴DE：AB=2：5∵AB=CD，∴DE：EC=2：3故选B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．9.如图，在矩形中，的平分线与交于E，点F在的延长线上，，连接，与交于G，有四个结论：①；②；③④．其中正确的是（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④【答案】A【解析】【分析】①只要证明为等腰直角三角形即可；②只要证明即可；③假设，则，推出，由，推出，显然不可能，故③错误，④由，可得，由，推出，推出，由，得，故④正确．【详解】解：①平分，为直角，∴，又，∴为等腰直角三角形，∴，又∵四边形矩形，∴，∴，①正确；②∵，∴为等腰直角三角形，∴则有，，又∵，，∴，在和中，，∴，∴，②正确，③假设，则，由②可得∴，则，连接，如下图：由题意可得：，，∴，∴，，∴，即为等腰直角三角形，∴，∴，显然不可能，故③错误，④∵，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故④正确，正确为：①②④故选A．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10.如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为r，则S关于t的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【详解】设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选C．【点睛】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.已知点A（-3，y1），B（-2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________________．【答案】y3＜y1＜y2##【解析】【分析】抓住-k2-1＜0，反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可．【详解】∵-k2-1＜0，∴反比例函数的图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵3＞0，∴C（3，y3）在第四象限，∴y3＜0．∵-3＜-2＜0，∴点A（-3，y1），B（-2，y2）在第二象限．∵-3＜-2，∴0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象是双曲线，分布在两个象限是解题的关键．12.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________.【答案】9【解析】【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC-BD=AB-3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴，即；解得AB=9．故答案为9．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．13.如图，在矩形中，是对角线，，垂足为E，连接，若的坡度是，则的值是___________．【答案】【解析】【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设，则，根据三角形的面积可求出，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．详解】解：如图，过点作于点，则，∵四边形是矩形，∴，，，，∴，，在与中，，∴，，，，，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．14.如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】过点作于点，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得，进而可得，根据等腰三角形的性质求得，根据勾股定理得到，当时，最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，过点作于点，，，，解得或（舍去），，，，，，解得或者（舍去），，,，，在中，，，，时，最小，，又，，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、（本大题共两小题，每题8分，共16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算法则．代入特殊角的三角函数值，先算乘方，然后算乘法，最后算加减．【详解】解：原式．16.已知：，求的值．【答案】【解析】【分析】由，可设x=2a，则y=3a，z=4a，将它们代入，即可求解．【详解】解：∵，∴设x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴＝＝＝．【点睛】本题考查了代数式的求值，换元法是解本题的关键．四、（本大题共两小题，每题8分，共16分）17.观察下列等式的规律：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…….；按照以上规律，解决下列问题：(1)直接写出第6个等式：(2)请写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）通过观察即可得到第6个等式；（2）根据已知等式得到第n个等式，并进行证明.【详解】（1）根据前5个等式，得到第6个等式为：，（2）根据前5个等式，得到第n个等式为：，证明：等式左边====右边，∴.【点睛】此题考查数字的规律探究，通过观察和类比得到一般规律是解题的关键.18.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；（3）四边形AA2C2C的面积是平方单位．【答案】（1）（2，﹣2）（2）见解析（3）7.5【解析】【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可；（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．【小问1详解】如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；【小问2详解】如图所示，以B为位似中心，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，∴，根据画出点，∴，根据画出点，点与点重合，连接、、，即可得到△A2B2C2；【小问3详解】四边形AA2C2C的面积是＝故答案为：7.5【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．五、（本大题共两小题，每题10分，共20分）19.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【解析】【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B（3，-2）在反比例函数图像上，∴，则m=-6，∴反比例函数的解析式为，将A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为；（2）∵点Px轴上，设点P的坐标为（a，0），∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，∴直线AB与x轴交于点（2，0），由△ABP的面积为4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．20.图1，图2分别是一滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且三点共线，若雪仗长为，，，求此刻运动员头部到斜坡的高度（精确到）（参考数据：）【答案】1.3m【解析】【分析】由三点共线，连接GE，根据ED⊥AB，EF∥AB，求出∠GEF=∠EDM=90°，利用锐角三角函数求出GE，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，即可得到答案.详解】三点共线，连接GE，∵ED⊥AB，EF∥AB，∴∠GEF=∠EDM=90°，在Rt△GEF中，∠GFE=62°，，∴m，在Rt△DEM中，∠EMD=30°，EM=1m，∴ED=0.5m，∴h=GE+ED=0.75+0.5m，答：此刻运动员头部到斜坡的高度约为1.3m.【点睛】此题考查平行线的性质，锐角三角函数的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键.六、（本题满分12分）21.某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元，两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量（盒）与售价（元）之间的关系为：；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？【答案】（1）甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元（2）当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元【解析】【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为m元、n元，由题意列方程组，求解即可．（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意可列出关于x的二次函数，将其改写成顶点式，即可知道乙口罩的售价及此时乙口罩的最大利润，继而求出甲口罩利润，即可求解．【小问1详解】解：设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为m元、n元，由题意得，解得，即甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．【小问2详解】解：设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：，当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售利润最大，为1125元，当乙口罩的售价为45元时，（盒），甲口罩的销售利润为（元），∴此时两种口罩的销售利润总和为：（元），综上可知，当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．七、（本题满分12分）22.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设AP＝x．（1）当点Q在边CD上时，求证：PQ＝PB．（2）在（1）的情况下，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，当△PCQ是等腰三角形时，求x的值．【答案】（1）见解析（2）（3）0或1【解析】【分析】（1）过点P作MNBC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，可证明PQ＝PB；（2）设AP＝x，结合（1）的结论可分别表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面积，从而表示出四边形PBCQ的面积，从而得到y与x的关系式；（3）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理可得到x的方程；当点Q在DC的延长线上时，由PQ＝CQ，可得到x的方程；当Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值．【小问1详解】证明：过点P作MNBC，分别交AB、CD于点M、N，如图1，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，∴NP＝NC＝MB．∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．又∵∠QNP＝∠PMB＝90°在△QNP和△PMB中，，∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB；【小问2详解】由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．设AP＝x，则AM＝MP＝NQ＝DNx，BM＝PN＝CN＝1x，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣2x＝1x∴，，∴，∵当Q点到点C时则P点到达AC的中点，∴AP的最大值为AC，∴．【小问3详解】△PCQ可能成为等腰三角形．①当点Q在边DC上，由PQ＝CQ得：解得（舍去）；②当点Q在边DC的延长线上时，如图2，由PC＝CQ得：xx﹣1，解得x＝1．③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．综上所述，x＝0或1时，△PCQ为等腰三角形．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．在（1）中构