空间向量的线性运算-【备作业】高二数学系列（苏教版2019选择性必修第二册）

空间向量的线性运算

一、单选题

1.平行六面体ABCD-A8C。中，若AC；=xAB+2），3c—3zCC1,贝ijx+y+z=（）

752

A.1B.—C.—D.一

663

【答案】B

【分析】

根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，

求解即可.

【详解】

因为AR=AB+3C+CC],乂因为AR=xA8+2y5C—3zCC；,且等式右边的三个向量不

共面，

故可得》=1,2丫=1,-32=1,解得x=l,y=g,z=-；,

117

故可得x+y+z=l+z-：=z.

故选：B.

2.在平行六面体"88-A[8]GR中，A%+A3+A\=（）

―—>—>

A.AGB.CAtC.BD、D.DB,

【答案】A

【分析】

由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量.

【详解】

解：连接AC，可得6}+上）=n，又c3=^A，

所以AB+AD+A4,=AC+CC,=AC,■

故选：A

3.如图，在四面体ABC。中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,

则g（AB+BC+C0化简的结果为（）

D

A.BFB.EHC.HGD.FG

【答案】c

【分析】

根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案：

【详解】

^AB+BC+CD)=^AC+CD)=^AD=^x2HG=HG.

故选：C.

4.在长方体ABCO-44G。中，AB+45+期等于()

A.ACB.AC,C.BC,D.BD,

【答案】B

【分析】

根据长方体ABS-ABIGR,得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.

【详解】

如图，可得AZ)=BC，BB\=CC\,所以+=A8+BC+CC1=AG.

5.在平行六面体中,E，F分别是棱CQ,8月的中点，记A8=a，AO=b，

例=c,则E尸等于（）

3-3

A.-a-vb+cB.—u+bH—c

222

^1,1

C.-a-b——cDr.——1a-b,+—1c

2222

【答案】C

【分析】

根据儿何体线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义将E尸用/表

示即可.

【详解】

111

EF=EC^CxF=-AB+CxB.+BxF=-d-b--c.

故选：C.

6.如图，在平行六面体ABCO-AMGA中，M为AC与8。的交点，若

44=4,42=。，44=。，则与4“相等的向量是（）

B.——a+—b+c

22

D.——d——b+c

2222

【答案】B

【分析】

利用空间向量的加法运算即可求解.

【详解】

由空间向量的线性运算可得

4M=81B+BM=AA+4BQ=3+g(AR-AM)

1/,\1.1,

=c+—p-tz=——a+—b+c.

2、)22

故选：B

7.在四面体。N5C中，QA=a，OB=b，OC=c，点/为ABC的重心，则OM=（）

L+4+尢

B.

333

D.匕+U+&

33333

【答案】A

【分析】

2

如图所示，CM交A8于。,则。是AB中点，根据重心的性质有CM=§8,利用向

量的运算法则得到答案.

【详解】

2__.

如图所示：CA/交A3于。，则。是AB中点，根据重心的性质：CM=-CD,

OM=OC+CM=OC+^CD=OC+^CA+CB)=OC+^(OA-OC+OB-OC^

=-OA+-OC+-OB=-a+-b+-c.

333333

故选：A.

8.如图所示，在平行六面体ABC。-44GA中，点£为上底面对角线AG的中点，若

BE=AA,+xAB+yAD,贝!!()

1111

A.x=一一,y=—B.x=—,y=——

2222

1111

C.x=一一,y=——D.x=—,y=—

2222

【答案】A

【分析】

根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】

根据题意，得；BE=BB1*BA+BC)

…+抑+?c

又BE=AAi+xAB+yAD

11

・'・x=一一=-

22

故选：A

二、多选题

9.已知向量”，〃，c，则下列等式错误的有（）

A.a+（6+c）=（0+人）+cB.a-（人一c）=（a-〃）+c

C.a-^b-c^=（a-b^-cD.a+b-c=a+c-b

【答案】CD

【分析】

以正方体为载体，结合向量的加法与减法运算，逐一验证即可求解

【详解】

在正方体A8C£>-A|8|C|£）|中，不妨令a=A3,b=AE>,c=M，

对于A：a+{b+c^=AB+ADi=AC,,^a+h^+c=AC+AAt=AC,,故A正确；

对于B：a-(b-c\=AB-(AD-AA^=AB-\D=A,Bx-AxD=DB[,

(a-b)+c=^AB-AD)+AAx=DB+BB[=DB.,故B正确；

对于C：a-(b-c)=AB-^AD-AA^=AB-\D=A{Bx-AxD=DBx,

^a-l^-c=^AB-AD^-AAx=DB-BBx=DB+BxB=DxBx+BxB=DxB,

DB产QB,故C错误；

对于D：a+b-c=AB+AD-AAi=AC-AAx^AxC,

a+c-b=AB+AAi-AD=ABl-AD=DBt,/\C#RB,故D错误；

故选：CD

10.下列命题中为真命题的是（）

A.向量AB与m的长度相等

B.将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量

【答案】AD

【分析】

直接利用平面向量的定义，相等向量，相反向量的定义，空间向量的定义判定A、B、

C、D的真假性.

【详解】

对于选项A：向量AB与区4是相反向量，长度相等，故A为真命题.

对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故

B为假命题.

对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为

假命题.

对于选项D：方向相同旦模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D

为真命题.

故选：AD

11.（多选）下列命题中，真命题是（）

A.向量AB与BA的长度相等

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

【答案】ABC

【分析】

根据向量的概念逐一判断即可.

【详解】

共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误.

故选：ABC

12.下列命题中正确的是（）.

A.单位向量都相等

B.任一向量与它的相反向量不相等

C.若A、B、C、O四点不共线，四边形ABCO是平行四边形的充要条件是AB=DC

D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件

【答案】CD

【分析】

利用空间向量的概念可判断A选项的正误；取零向量可判断B选项的正误；利用相等

向量的概念与充要条件的定义可判断C选项的正误；利用零向量的概念可判断D选项

的正误.

【详解】

A不正确，单位向量的模均相等且为1,但方向并不一定相同：

B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的；

C正确，充分性：若四边形A8CO是平行四边形，则AB//CD且=,AB=OC；

必要性：若=目.A、B、C、。四点不共线，则且AB=CD,所以,

四边形ABC。是平行四边形.

所以，四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC-.

D正确，若一个向量的模为0,则该向量为零向量，该向量的方向不确定.

故选：CD.

【点睛】

本题考查与空间向量有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.

三、填空题

13.设a,人是空间中两个不共线的向量，已知AB=9a+〃历，BC=-2a-b>DC=a-2b>

且A,3,0三点共线，则实数”=..

【答案】-3

【分析】

利用向量线性运算可得8。=-34+6，由三点共线可得AB=280，由此可构造方程组

求得结果.

【详解】

BC=—2a—brDC=a-2b，

:.BD=BC+CD=BC-DC=[-2a-b)-[a-2b)=-3a+b,

A,B,£)三点共线，.•.存在实数4,使得A8=48。，EP9a+mb=A^a+b'j,

收=-34,

°,解得：m=2=-3.

[m=A

故答案为：-3.

14.在正方体ABC。-AUG。中，点区户分别是底面A/CQ和侧面CG的中心，

若斯+4AO=°(XGR)，则丸=.

【答案】-J##

【分析】

作图，连接连接AC，C，D,构造三角形中位线解题.

【详解】

如图，连接AG，G。，

则点E在4c上，点尸在G。上，

易知EFAtD,且EF=；A。，

111

EF=-A,DfBPEF--A1D=O,口%=——.

故答案为：

15.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年,

在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹤雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、

蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱

91

台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为6，则HE+FB+gDC

【答案】HA

【分析】

延长E4,FB,GC,HD相交了一点。，根据题设比例关系及空间向量数乘的几何意义有

FB=—,DC=—HG,HG=EF，再由空间向量加法的几何意义，结合几何体即可求

1010

得目标式所表示的空间向量.

【详解】

延长EA,FB,GC,HD相交于一点。，则F黑B=21,*DC=19且〃G=m,

FO10HG10

:.HE+FB+-DC=HE+—FO+—HG=HE+—FO+—EF=HE+—EO=HE+EA=HA

91010101010

故答案为：HA

16.如图，在正四棱锥尸-ABCD中，E,£G分别为侧棱上的点，A,E,F,G

31PC'

四点共面，若PE=qPB,PF=：PC,则卷=.

【答案】3.

【分析】

^O-PMR,OP,OQ.OR.PG

先证明厂③二木■•焉・奈成立，设正四棱锥P-ABCD的体积为V,*x,应

VU/UK

O-P2Q2R222PD

v3VQVPG

用结论可得匕=：工+77二=工，从而可解得x，进而可得大工.

42020GD

【详解】

先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线OP,OQ,OR上分别存在点耳,2,点

2Q和点舄出，

y_OP,OQOR.

则四面体体积之比产&X

V丽.颂西

O-P2Q2R2

事实匕设"也分别是点凡，&到平面。＜2,。鸟。2的距离，则太%=溢OR.，从而

%一6。内_VRLQI_S阳.九_S9乌OR】_。匕OR、

OPQRIOPQSo02

^-222^R-22玛也Sop%]OR20P20Q2OR2

设正四棱锥尸-ABC。的体积为V,割=工，应用I上述结论可得

匕，八"PAPFPG1111V

六：=方正,而=5*'则以皿=/展〃=于.井二X'

VA”PAPFPE33313V

七p厂西,正7r6则%"=式"『”=而'

…V3V

所以Vp-AGFE=Vp.AGF+VP-AEF="4%+20；

3V3V9V

,同4理—1-*可t得4力r—AlCjrFt.E=VrP—A,lrib.£+Kt—rFUtC.=一[Qx+—20x=一20x.

3V_9V3PG3yPGQ

所以片+犷犷‘解得x="H"rl而="从而而=3.

故答案为：3.

【点睛】

结论点睛：若不在同一平面内的射线0只。。，OR上分别存在点勺，6，点。，。2和点&&,

则四面体体积之比曾3生丝.史

丽丽

%-鸟。2小3^

四、解答题

17.如图，已知“，N分别是空间四边形43C。的对角线AC和8。的中点，求证:

【答案】证明见解析.

【分析】

11

取8c的中点尸，连接PM，PN,由=PN=-CD,MN="P+PN即可求

证.

【详解】

取BC的中点P,连接PM,PN,

在，ABC中，MP=-AB,在/XBCD中，PN=-CD,

22

所以MN=MP+PN=：AB+；CO=g（A8+C£＞）.

18.如图，已知。,4,民心£）,民尸,6,4为空间的9个点，ROE=kOA，OF=kOB，

OH=kOD，AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,

求证：（1）ACIIEG;

（2）OG=kOC-

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）山题意，EG=EH+mEF,转4匕EH=OH—OE,EF=OF-OE,代入结合题干条

件运算即得证；

(2)由题意，OG=OE+EG，IOE=kOA,EG=kAC、运算即得证

【详解】

证明：(1)EG^EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)

=k(OD-0A)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC

ACIIEG-

(2)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(<OA+AC)=kOC.

19.如图，在正方体ABC。-A旦G。中，E在AR上，且AE=2ER,尸在对角线4c

2

上，且A|F=§FC.若AB=a,AD=b,A4,=c.

(1)用a,6,c表示E8.

(2)求证：E,F,8三点共线.