新教材苏教版必修第二册1 4 .4 用样本估计总体

第14章统计

14.4用样本估计总体

14.4.2用样本估计总体的离散程度参数

基础过关练

题组一极差、方差、标准差的计算

1.下列说法正确的是（）

A.在两组数据中，平均值较大的一组方差较大

B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小

C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和

D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高

2.（2021江苏省前黄高级中学高一期中）一个样本数据如

下32,23,34,27,42,44,35,27,29,36,则该样本的中位数、众数和极差分别为

（）

,27,21.5,27,23

,27,23.5,27,21

3.（2021江苏李集中学高一期中）已知某8个数的平均数为5,方差为s；现又加入一

个新数据5,此时这9个数的平均数为五方差为与，则（）

A.S2<2,%=5B.S2=2,%=5

C.s2>2,%<5D.S2<2,%<5

4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城

市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析,每个城市中共享单车使用的

人数分别为马怂照,…,为。。,它们的平均数为五方差为4每个城市中扫码支付使用的

人数分别为2荀+3,2莅+3,2旗+3,…,2芯。。+3,它们的平均数为方差为人，则/声〃分

别为（深度解析）

I+3.2/+3%,2s

X+3,4S2+3X+3,4S

5.（2021江苏滨海中学高一月考）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国，口罩成为重

要的抗疫物资.为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转,工人加班加点生产.

设该工厂连续5天生产的口罩数依次为荀,吗否,苞田（单位:十万只），若这组数据的方

差为1.44,且在，筠，蟾，媚,好的平均数为4,则该工厂这5天平均每天生产口罩

十万只.

题组二极差、方差、标准差的简单应用

6.在某次考试中，要对甲、乙两名同学的学习成绩进行比较,甲同学的平均分歹田=76,

甲

方差s2=4,乙同学的平均分元7=77,方差s2=10,则同学的平均成绩好，

甲乙乙

同学的各科发展均衡.

7.从甲、乙两种棉荏黄牛查拙」（懑逝量即跑桃置僵便喇如下表：

甲25414037221419392142

乙27164427441640401640

⑴哪种棉花苗长得高一些？

（2）哪种棉花苗长得整齐一些？

8.（2021江苏泰兴中学高一期中）某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重

（单位:kg）如下74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

⑴估计高一所有男同学体重的平均数、中位数、方差、标准差；

⑵在高一10位男同学的体重中，位于区-s*+s］内的有几个?所占的百分比是多少？

能力提升练

题组一极差、方差、标准差的计算

1.（2020江苏六合高级中学高一期末在一个容量为5的样本5,7,8,■，■中（数

据均为正整数），已算出其平均数为8,但墨水污损了后面两个数据，其中一个数据的

十位数字为1,那么这组数据的方差52可能的最大值是（）

2.（2020重庆沙坪坝高一期中，嫡）某工艺品厂要制作一批鼠年迎春徽章，每一个经

检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现，每个工人每天制作的合

格品个数的平均值为300,方差为25,那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的

标准差为（）

3.（多选）（2021江苏启东中学高一月考,*7）在发生公共卫生事件期间,有专业机构认

为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑

似病例不超过7人”.过去io日,从艮a〃四地新增疑似病例数据信息如下,则一

定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）

AJ地:中位数为2,极差为5

B.£地:总体平均数为2,众数为2

C.C地:总体平均数为1,总体方差大于0

D.〃地:总体平均数为2,总体方差为3

4.（2021江苏北郊高级中学高一期中,母）某市有15个旅游景点，经计算潢金周期间

各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s,后来经核实，发现甲、乙两处景点统

计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万,乙景点实际为18万,被误统

计成23万，更正后重新计算彳导到标准差为则s与s的大小关系为（）

A.s-S\B.s（si

C.s>sD.不能确定

（-x=3

5.（2020江苏沛县第一中学学情检测,*）已知函数«幻=卜；’若关于x的

日，%H3,

方程/（幻=网/GR）恰有3个不同的实数根药,刘,条,则数据芯,豆,豆的标准差

为.

6.（2020江苏南京燕子矶中学阶段测试,"）已知数据荀,刘,玛…，荀。的平均数为6,标

准差为何，则数据荀,莅,…,泰的平均数的取值范围是.

题组二样本数字特征的综合应用

7.（2020江苏张家港外国语学校高一阶段测试，箱）PM2.5是衡量空气质量的重要指

标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位:口g/m）的折线图，则下列说

法错误的是（）

PM2.5日均值/"g/m3)

128

A.这10天中PM2.5日均值的众数为33ug/m3

B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32Hg/m3

C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

8.（2020江苏徐州第一中学高一阶段测试,封）甲、乙、丙三名同学在一项集训中的

40次测试分数都在［50,100］内,将他们的测试分数分别绘制成频率直方图，如图所示,

记甲、乙、丙的分数标准差分别为see,则它们的大小关系为（）

甲

A.Si>S2>S3B.si>s3>s2

C.S3>S1>S2D.S3>S2>Sl

9.（2020甘肃西北师大附中高三月考,箱）某种治疗新型冠状病毒肺炎的复方中药产

品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好,为了提高产品质量，

我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出力、£两种新配方，从两种新配方生产的产品

中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为

废品指标值在［85,115）内为一等品，大于H5为特等品.现把测量数据整理如下，其

中£配方的废品有6件.

1配方的频数分布表

质量指标

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

值分组

频数8(336248

8配方的频率直方图

⑴求的值；

（2）试确定Z配方和£配方哪一种好.（说明:在统计图中，同一组数据常用该组区间

的中点值作为代表）

10.（2021江苏无锡第一中学高一期中,*）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于

生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定:评分在

10分及以上的为A等品，低于10分的为£等品.厂家将A等品售价定为2000元/

件,£等品售价定为1200兀/件.

下面是检验员对现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

16116116

经计算得完二1Z区=9.97,/=^£（兄-©2=f%?-%2=0.045,其中苟为抽取的第［'件

16t=i16i=i'16i=i1

产品的评分"=1,2,…,16.

该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年

需花费1500万元,改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高

0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.

⑴若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分：

①估计改进后该生产线生产的产品中力等品所占的比例；

②估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差；

（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2瞰理财产品,请你利用所学知识分

析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使

产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计

算）

答案全解全析

第14章统计

14.4用样本估计总体

14.4.2用样本估计总体的离散程度参数

基础过关练

1.B选项A中,平均值的大小与方差的大小无必然联系;选项C中，求和后还需除以

数据的个数;选项D中，方差越大,成绩越不稳定，水平越低;易知选项B正确.

2.A将这些数由小到大排列为23,27,27,29,32,34,35,36,42,44,

所以众数为27,中位数为三=33,极差为44-23=21.

故选A.

3.B根据题意彳导连容=5,号至铲，解得/=2.

故选B.

4.D由题意得土'=21+3a'2=2七=452.

解题模板

若一组数据鸟怂…区的平均数为反方差为s；则数据。为+6,3+6,...,叫+6的平均

数为a彳+6,方差为烈.

5.答案1.6

解析由题意可得全当出=4,

则x：+/+亭M+卷=20,

设该工厂这5天平均每天生产口罩为土十万只，

固（巧-元）2+（冷气）2+…+（%5一元）2一144

(芯-可一+(莅-¥)~+…+(照-土)2=(君+/+…+姥)-2±(xi+莅+...+羔)+51"=l.44X5=7.2,艮|120_

10x+5x=7.2,

解得声1.6(负值舍去).故答案为1.6.

6.答案乙;甲

解析3代表平均水平，因为舞＜功,所以乙同学的平均成绩好.s'表示相对于平均成

绩的集中与分散、稳定与波动的大小,因为端＜s)所以甲同学的各科发展均衡.

7.解析设甲种棉花苗株高的平均数为土甲，方差为乙种棉花苗株高的平均数为是,

方差为

(1)土甲=/X(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30(cm),

^z=_LX(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31(cm),

金心乙,..乙种棉花苗长得高一些.

•••1•

TCJ

2222222

(2)S^=^X[(25-30)+(41-30)+(40-30)+(37-30)+(22-30)+(14-30)+(19-30)+(39-

30)2+(21-30)2+(42-30)2],

^=JlX[(27-31)2+(16-31)2+(44-31)2+(27-31)2+(44-31)2+(16-31)2+(40-31)2+(40-

31)2+(16-31)2+(40-31)2]=128.8,

・s甲＜s乙，

...甲种棉花苗长得整齐一些.

8.解析(1)这10位男同学体重的平均数

x=iX(74+71+72+68+76+73+67+70+65+74)=71(kg).

将这10位男同学的体重从小到大重新排列为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于

正中间的两个数是71,72,

所以这10位男同学体重的中位数为早=71.5(kg),这10位男同学体重的方差

22222222

S=±X[(74-71)+(71-71)+(72-71)+(68-71)+(76-71)+(73-71)+(67-71)+(70-

71)2+(65-71)2+(74-71)2]=ll(kg2),

标准差衿序=VH(kg).

(2)由(1)知，氏一sm+s]=[71-VH,71+VH],

所以在高一10位男同学的体重中，有7位男同学的体重位于区间[71-旧,71+洞内,

所占的百分比为70%.

能力提升练

1.C设这组数据的最后2个数分别是10+M0WK9,x£N),y,

则5+7+8+10+广户8X5,

得x+尸10,故尸10-X.

s=i[9+l+0+(2+%)2+(2-^)2]

4(2/+18),

当A=9时,s?最大，最大值为36.

2.B设每个工人每天制作的合格品个数为-<^1■jXn,则装工1+应：…+如=300,

1

?二（％1-元）+（%2-元）---h（%nW）=

每个工人每天制作的合格品利润(单位:元)为4科4在,…,4羽则利润的平均数

X'=4%1+%+…+4%=4千1200,

方差s

（4X1一4元）+（4X24X）+…+（4xn-4x）

(打一土)？+(必一五)2"|---)"(%n-M)

二16X25=400,故s=777=V400=20.

3.AD选项A中,因为4地中位数为2,极差为5,所以最大值不会大于2+5=7,满足每

天新增疑似病例不超过7人，故A符合；

选项B中，若£地过去10日新增疑似病例分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平

均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B不符合；

选项C中,若C地过去10日新增疑似病例分别为0,0,0,0,0。0,0,1,9,则满足总体平

均数为1,总体方差大于0,但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C不符合.

选项D中,假设至少有一天新增疑似病例超过7人，不妨设为8人，则方差大于

得X(8-2)2=3.6〉3,与题设矛盾,故假设不成立，故D符合.

故选AD.

4.C记除甲、乙两处景点外的其余13个景点的旅游人数分别为曲羽,….两次

统计所得的旅游总人数没有变，即两次统计的各个景点旅游人数的平均数是相同的,

2222

设为1，贝US=[(15-x)+(23-x)+(x3-x)++(x15-x)],

2222

[(.20-x)+(18-X)+(X3-X)+---+(X15-X)],

若比较s与SI的大小，只需比较(15-才+(23-才与(20-才+(18-才的大小即可，而(15-

'『+(23—MP—(20—土)2—(18—土y=30>0,所以s>a.

故选C.

5.答案V6

解析如图所示，作出函数4止①的图象和直线尸械加GR).

•关于云的方程("eR)恰有3个不同的实数根荀,也,正,不妨设X1<X2<X3.

...只有当炉取寸，两个函数的图象才有3个不同的交点,...刘二?.

令々三,解得户0或A=6,

||3

・・毛二0,石一6.

...为,如田的平均数为审=3.

数据刘,刘,刘的方差为gX［（0-3）2+（3-3）2+（6-3）>6.

数据X1,泾，吊的标准差为遥.

6.答案［6-2V5.6+2V5］

解析由9（苞-6）2+（刘-6）'+…+（芯（）-6）］=20,

得/+年+…+4（）-12（荀+莅+...+xu））+360=200,即吊+,+…+xjo=56O,

设£i,&,…,吊的平均数为名泾,为,…，荀。的平均数为6,则b=\2-a,

结合方差的定义得（荀-靖+（刘-4+…+（爸-apeo,

展开得君+/+...+蛙-2a（石+通+…+%）+5才20,

即4+/+...+卷-2a•5a+5a2>0,

即…+城N5a;

同理兄+*+…+4o2562=5（12-a）；

所以4+君+…+425a'+5（12-a）,艮|156025才+5（12-a）；艮|1才一12&+16・0,解得6-2Vs

WaW6+2新,故数据为,至,…,羔的平均数的取值范围为［6-2芯,6+26］.

7.C由题图可知,众数为33ug/m：中位数为32口g/m;故A,B中说法正确;因为受极

端值128ug/n?的影响，所以平均数应大于中位数，故C中说法错误;因为前4天曲

线比后4天曲线波动大，所以前4天的方差大于后4天的方差，故D中说法正确.

8.B根据题中的三个频率直方图知，甲数据的两端数字较多,绝大部分数字都处在

两端，数据偏离平均数远，最分散,其方差最大；

乙数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；

丙数据是单峰的,每一个小矩形的差别比较小，数字分布均匀,数据不如甲偏离平均

数大，方差比甲数据的方差小,比乙数据的方差大.

综上可知S1>S3>S2.

9.解析⑴依题意，知配方样本容量相同，设为亿£配方的废品有6件，由£配

方的频率直方图彳导废品的频率为：=0.006X10,

解得77=100,

.3100-(8+36+24+8)=24.

由(0.006+加0.038+0.022+0.008)X10=1,得b=0.026,

因此,a的值为24力的值为0.026.

⑵由⑴及A配方的频数分布表得A配方质量指标值的样本平均数

--80x8+90x24+100x36+110x24+120x8

支4100

=100(件)，

质量指标值的样本方差

s：=击X[(-20)2X8+(-10)2X24+0X36+102X24+202X8]=112(件2),

由£配方的频率直方图得

£配方质量指标值的样本平均数

右=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100(件),

质量指标值的样本方差

4=(-20)2X0.06+(-10)2X0.26+02X0.38+102X0.22+202X0.08=104(件2),

,XA~XB<SA^S^

两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值的稳定性比£差,

，选择£配方比较好.

10.解析(1)①改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为

10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.09

10.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00

其中,2等品共有13个，

所以估计改进后该生产线生产的产