天津市东丽鉴开共同体2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023－2024（二）天津市东丽区鉴开共同体阶段质量调查八年级数学考试时间：100分钟注意：本试卷包含I、Ⅱ两卷．第I卷为选择题，所有答案必须写在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分．第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【详解】解：由题意得：，∴．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．2.下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．【详解】A．，故A错误；B．，故B正确；C．，故C错误；D．，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算，是解题的关键．3.估算的值在（）A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【答案】B【解析】【分析】先估算出的大小，进而即可估算出的大小．【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的大小是解题关键．4.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边都相等 B.对角线相等C.对角线互相垂直且平分 D.对角线平分一组对角【答案】B【解析】【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、菱形的四条边都相等，故本选项不符合题意；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；C、菱形的对角线互相垂直且平分，故本选项不符合题意；D、菱形的对角线平分一组对角，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．5.如果，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：可知：，所以，解得，故选：B．6.在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可．【详解】A、由，可得，∴．此选项能判定是直角三角形，但不符合题意．B、由整理得：，则为直角三角形，故选项B不符合题意．C、由，结合三角形内角和为可推得，，，此选项不能判定是直角三角形，但符合题意．D、当时，可设，则，则为直角三角形，此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．7.如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（）A.10° B.20° C.30° D.40°【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，在△ABD中，∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，∴∠1＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．8.如图，矩形的对角线与交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据矩形性质可得OA=OD，然后根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：矩形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，，，，，故选：C．【点睛】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9.如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是先应用勾股定理求的长．首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．【详解】解：，则，点表示，点表示，故选：．10.如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先求出，由折叠的性质可得，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是中点，，∴，∵将折叠，使点C与的中点D重合，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．11.如图，对角线相交于点，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据平行四边形的性质求出厘米，进而求出厘米，再证明是的中位线，则．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵厘米，∴厘米，∵的周长是18厘米，∴厘米，∵点分别是线段的中点，∴是的中位线，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，，则CE的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得，即，再根据勾股定理的性质计算，得AC；根据直角三角形斜边中线的性质，得；结合，根据含角的直角三角形的性质，得，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，D是的中点，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.计算的结果为________．【答案】1【解析】【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．【详解】解：故答案为：1【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．14.已知x，y满足关系式，则的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得，进而可求得，进而可求得，再代入即可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：依题意得：，解得：，，，，故答案为：2．15.在中，斜边，则______．【答案】8【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由可得，代入即可求值．【详解】解：在中，斜边，∴，∴，故答案为：8．16.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，AC⊥AB，CD边的中点为E．若OA＝2，AB＝3，则OE＝__．【答案】2.5【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出AC的长，根据勾股定理求出BC的长，然后根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵平行四边形ABCD，OA＝2，∴AC＝2OA＝4，∵AC⊥AB，AB＝3，∴BC，∴AD＝5，∵CD边的中点为E，平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，∴OEAD＝25，故答案为：2.5【点睛】此题考查平行四边形的性质，勾股定理，以及三角形的中位线定理，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．17.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是___．【答案】1【解析】【分析】首先作点M关于AC的对称点，连接P，则当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值．然后证明四边形ABN为平行四边形，即可求出答案．【详解】解：作点M关于AC的对称点，连接P，∵菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点，点M是AB的中点，∴点是AD的中点，MP＝P，∴MP+NP＝P+NP，∴当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长．当点、P、N三点共线时，∵点是AD的中点，点N是BC边上的中点，∴，，∵在菱形ABCD中，∴ADBC，AD＝BC，∴ABN，A＝BN，∴四边形ANB是平行四边形，∴N＝AB＝1，∴MP+NP的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了菱形的性质和轴对称，判断当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长是解决本题的关键．18.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为_____．【答案】6【解析】【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF=5，则AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．【详解】解：∵，∴四边形BGFD是平行四边形．∵CF⊥BD，∴CF⊥AG．又∵点D是AC中点，∴，∴四边形BGFD是菱形，∴GF=BG=5，∴AF=AG-GF=13-5=8，AC=2DF=2×5=10．∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴，即，解得：CF=6或CF=-6（舍）．故答案为：6．【点睛】本题考查了菱形判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19.计算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法和乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先利用平方差和完全平方公式展开，再计算减法即可；【小问1详解】．解：原式【小问2详解】解：原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20.如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．【答案】x=4，y=3．【解析】【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．【详解】∵最简二次根式与同类二次根式，∴3a+4=19-2a，解得，a=3，∴，即∵≥0，≥0，∴12-3x=0，y-3=0，解得，x=4，y=3．【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．21.如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，．（1）求线段的长；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）设，，根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出的长；（2）先在和中，利用勾股定理分别求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．【小问1详解】解：设，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴即的长为；【小问2详解】证明：在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，∴【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理并灵活运用是解答的关键．22.如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF．（1）求证：DC＝EF；（2）求EF的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先说明DE是△ABC的中位线，再利用三角形中位线定理得出DEBC、DE＝BC，再结合CF＝BC可得DE=CF，再结合DECF可证四边形DCFE为平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论；（2）利用等边三角形的性质、直角三角形30°角多对的直角边是斜边的一半可求得BD，然后用勾股定理得出CD的长,最后根据EF=CD即可证明结论【小问1详解】证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC、DE＝BC∵CF＝BC，∴DE＝CF，∵DECF，∴四边形DCFE为平行四边形，∴DC＝EF．【小问2详解】解：∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴∠BCD＝∠BCA＝30°，CD⊥AB，∴BD＝BC＝2，∴CD＝＝＝2，∴EF＝CD＝2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形性质等知识点，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．23.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠ADO=36°【解析】【分析】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x．，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案．【详解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO．∴∠OAD＝∠ADO．∴AO＝OD．又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∴∠ODC=3×18°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相关知识．24.将一个矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限；设．（1）如图①，当时，求的大小和点的坐标；（2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边AB相交于点E，F，试用含有t式子表示的长，并直接写出t的取值范围；【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）可由折叠性质求得，，再利用平角定义可，过作轴于H，则，进而求得，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解；（2）先由折叠性质得到，，再根据坐标与图形性质和含角的直角三角形的性质求得，进而可表示出，根据图形可得