2024-2025学年贵州省凤冈县二中高中毕业班5月质量检查（Ⅰ）数学试题含解析

2024-2025学年贵州省凤冈县二中高中毕业班5月质量检查（Ⅰ）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列an满足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．192．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A． B． C． D．4．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或95．若复数满足，则对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A． B． C． D．7．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点仅有一个；②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；③无论过点的直线在什么位置，总有；④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A．56383 B．57171 C．59189 D．612429．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．6410．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知数列为等比数列，若，且，则（）A． B．或 C． D．12．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为，且成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为______________.14．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.15．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.16．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.18．（12分）已知集合，.（1）若，则；（2）若，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．20．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线的方程．22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【详解】解：an即a1=an⩾6时，a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时，要使得a1则ak+1则k=17，故选：B．本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.2．B【解析】

由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.3．C【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此时要输出的值为99.此时.故选：C.本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.4．C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．5．D【解析】

利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；【详解】，对应的点，对应的点位于复平面的第四象限.故选：D.本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.6．B【解析】

利用等差数列性质，若，则求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.7．C【解析】

①：由抛物线的定义可知，从而可求的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解：对于①，设，由抛物线的方程得，则，故，所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，故，当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，，且的斜率不为0，则设方程为：，设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，，整理得，则，所以，则.故的倾斜角互补，所以，故③正确.对于④，由题意知，由③知，则，由，知，即三点在同一条直线上，故④正确.故选:C.本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.8．C【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为的等差数列，记数列则令，解得.故该数列各项之和为.故选：C.本题考查等差数列的应用，属基础题。9．B【解析】

设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。10．D【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可，即，当设切点，则，.故选：D.本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.11．A【解析】

根据等比数列的性质可得，通分化简即可.【详解】由题意，数列为等比数列，则，又，即，所以，，.故选：A.本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.12．D【解析】

根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.故选：D.本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

本题先根据公式初步找到数列的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得的值，即可确定数列的通项公式，代入数列的表达式计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和，再代入不等式进行计算可得最小正整数的值．【详解】由题意，当时，．当时，．则，．，，成等差数列，，即，解得．．，．．．，．即，，即，，，，即．满足的最小正整数的值为1．故答案为：1．本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．14．【解析】

利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，当且仅当时等号成立，∴，∴面积的最大值为.故答案为：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.15．【解析】

根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范围为.故答案为：.本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.16．【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.【详解】由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，直三棱柱的棱长为x，则，，故，即，解得，故三棱柱的侧面积为.故答案为：.本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）3360元；（2）见解析【解析】

（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．18．（1）；（2）【解析】

（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】（1）若，则，依题意，故；（2）因为，故；若，即时，，符合题意；若，即时，，解得；综上所述，实数的取值范围为.本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.19．（1），；（2）【解析】

（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.【详解】解：（1），，即极坐标方程为，，极坐标方程．（2）由题可知，，当时，.本题考查了参数方程