2025届海口市重点中学高三4月摸底考试数学试题试卷含解析

2025届海口市重点中学高三4月摸底考试数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．2．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（）A． B．9 C．7 D．3．若，则下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．4．要得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位5．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．6．函数的定义域为（）A． B． C． D．7．已知函数，若，则的值等于（）A． B． C． D．8．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（）A． B． C． D．9．已知集合，则（）A． B． C． D．10．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A． B． C． D．11．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为()A． B． C． D．12．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的焦距为2c，过C外一点P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆C于点A、B，若|PA|＝|AF1|，则_____.14．若x，y均为正数，且，则的最小值为________.15．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.（1）求线段的长；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）19．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn．20．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.21．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；（2）已知数列满足：（ⅰ）对任意的；（ⅱ）对任意的，，且.①若，求数列是等比数列的充要条件.②求证：数列是等比数列，其中.22．（10分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果.【详解】由，得，所以，.由题意知，所以，.因为,所以,所以.所以，所以，故选：A.本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.2．B【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．3．B【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.本题考查不等关系和不等式，属于基础题.4．A【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.【详解】解：.对于A：可得.故选:A.本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.5．C【解析】

取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【详解】解：如图，取中点，连接，，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则//，，∴即为异面直线与所成角，设，则，，，则，∴.故选：C.本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.6．C【解析】

函数的定义域应满足故选C.7．B【解析】

由函数的奇偶性可得，【详解】∵其中为奇函数，也为奇函数∴也为奇函数∴故选：B函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数8．D【解析】

使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：，又解得，所以故选：D本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．9．A【解析】

考虑既属于又属于的集合，即得.【详解】.故选：本题考查集合的交运算，属于基础题.10．A【解析】

根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为，显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．令，则，∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，，故，解得．故选：A．本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．11．D【解析】

根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，则，故，此时，即．则直线的斜率．故选：D．本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．12．B【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；；.所以①处应填写“”故选：B本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据条件可得判断OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，从而得到点A为椭圆上顶点，则有b＝c，解出B的坐标即可得到比值.【详解】因为|PA|＝|AF1|，所以点A是线段PF1的中点，又因为点O为线段F1F2的中点，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因为点P（c，2c），所以PF2⊥x轴，则|PF2|＝2c，所以OA⊥x轴，则点A为椭圆上顶点，所以|OA|＝b，则2b＝2c，所以b＝c，ac，设B（c，m）（m＞0），则，解得mc，所以|BF2|c，则.故答案为：2.本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.14．4【解析】

由基本不等式可得,则,即可解得.【详解】方法一：，当且仅当时取等.方法二：因为，所以，所以，当且仅当时取等.故答案为:.本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.15．1【解析】

由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．【详解】由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，所以，即①，把代入，得，即②又③联立①②③，得．所以．故答案是：1．本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．16．【解析】

利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，当且仅当时等号成立，∴，∴面积的最大值为.故答案为：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意，，设与交于点，在中，可求得，则，可求得，则（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系.，，，，，易得平面的法向量为.，，易得平面的法向量为.设二面角为，由图可知为锐角，所以.即二面角的余弦值为.本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差【解析】

（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.【详解】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，所以，的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，故，.本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.19．（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，对分奇偶讨论，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用错位相减法求出，运用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ），当为奇数时，，又由，得，当为偶数时，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，则①②①-②可得：，，若证明Sn，则需要证明，又，即证明，即证，又显然成立，故Sn得证.本题主要考查了由递推公式求通项公式，错位相减法求前项和，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.20．(1).(2).【解析】

（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵为锐角三角形，∴，即，则，所以，综上的取值范围为.本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21．（1）；（2）①；②证明见解析.【解析】

（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项