陕西省西安市碑林区西北工大附中2022-2023学年八下期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题．（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.下列代数式中，是分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分式定义，逐项判断即可．【详解】解：A.该代数式是整式，故此选项不符合题意；B.该代数式是整式，故此选项不符合题意；C.该代数式是分式，故此选项符合题意；D.该代数式是整式，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义：一般地，如果表示两个式子，并且中含有字母，那么式子叫做分式，是解题的关键．2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．3.关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，确定．【详解】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，故表示的解集是，故选B．【点睛】本题考查了数轴表示不等式解集，熟练掌握解集确定的法则是解题的关键．4.如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得为旋转角、，然后根据邻补角的定义即可得．【详解】解：在中，，，，由旋转的性质得：为旋转角，，点C、A、在同一条直线上，，即旋转角等于，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握理解旋转的性质是解题关键．5.下列变形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义即把一个多项式写成几个单项式的积解答即可．【详解】A、，不是多项式，本选项不符合题意；B、，右边不是整式积的形式，本选项不符合题意；C、，本选项符合题意；D、，右边不是整式积的形式，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．6.如图，射线平分，点D、Q分别在射线、上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为（）A.10 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】过点D作于点M，利用角的平分线的性质，三角形的面积公式即可解答．【详解】过点D作于点M，∵射线平分，，∴；∵，的面积为10，∴；∴；解得，故

故选B．【点睛】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．7.在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点的对应点的坐标为，那么点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．【详解】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，将线段向右平移4个单位，向下平移6个单位得到线段，点的对应点的坐标为，即．故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．8.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据和谐分式的定义去判断即可．【详解】A.，不符合要求；B.，无法因式分解，不符合要求；C.，符合题意；D.，不符合要求；故选C．【点睛】本题考查了分式的新定义问题，熟练掌握定义是解题的关键．9.已知a、b、c是的三边长，且满足，那么据此判断的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式，实数的非负性，等边三角形的判定计算选择即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，故是等边三角形，故选A．【点睛】本题考查了完全平方公式，实数的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．10.如图，在中，，，点P是底边上的高上一点，若的最小值为，那么为（）A B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】作关于直线的对称线段，根据垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理计算即可．【详解】如图，作关于直线的对称线段，∵，，点P是底边上的高上一点，∴，∴，∴，过点P作于点D，则，∴,过点B作于点E，交于点F，∵，∴当P与点F重合，点D与点E重合时，取得最小值，且最小值为，故，∵∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查了轴对称思想，等腰三角形的三线合一性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的特征，熟练掌握垂线段最短，轴对称思想，直角三角形的特征和勾股定理是解题的关键．二、填空题．（共5小题，每小题3分，计15分）11.若分式的值为0，则x的值为__________．【答案】3【解析】【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．【详解】由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．12.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=_______°．【答案】87．【解析】【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案为87．考点：线段垂直平分线的性质．13.计算：______．【答案】【解析】【详解】解：===，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．14.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为，∵，∴，∴，即直线在直线的上方，∵当时，直线在直线的上方，∴解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键．15.如图，在长方形中，，，E，F分别为，上的两个动点，且，连接、，那么的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】过点Ｃ作，，二线交于点Ｇ，根据三角形不等式确定最小值，构造直角三角形，结合特殊角的特征，运用勾股定理计算即可．【详解】过点Ｃ作，，二线交于点Ｇ，则四边形是平行四边形，∴，连接，∵，故当A，F，G三点共线时，取得最小值，连接，交于点M，则的最小值为，当F与M重合，E与H重合时，最小，过点H作于点Q，过点G作于点P，∵，，∴,∴解得∵四边形是平行四边形，∴,∴,,∴,过点G作，交的延长线于点N，则四边形是矩形，∴,∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形不等式，特殊角的特征，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键．三、解答题．（共8小题，计55分．解答要写出过程）16.因式分解：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)运用提取公因式法分解即可．(2)运用平方差公式和完全平方公式分解即可．【小问1详解】．【小问2详解】．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键．17.解不等式（组）；（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据解不等式的基本步骤求解即可．(2)根据解不等式组的基本步骤求解即可．【小问1详解】，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得．【小问2详解】解不等式得解集为；解不等式得解集为；故不等式组的解集为．【点睛】本题考查了不等式和不等式组的解法，熟练掌握求解的基本步骤是解题的关键．18.先化简：，再从的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．【答案】，2【解析】【分析】先化简，后选择适当的数值计算．【详解】，∵，，且a为整数，∴，故原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握化简的步骤，分式有意义的条件是解题的关键．19.如图，已知，请用尺规作图的方法在上求作一点P，使得点P到A的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】根据垂线段最短，只须过点A作于点P，则点P即为所求．【详解】如图，根据垂线段最短，只须过点A作于点P，则点P即为所求．【点睛】本题考查了垂线段最短，垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是（1）将平移，使点B平移到，画出平移后的，此时线段的长度为；（2）画出绕坐标原点O逆时针旋转后的，那么在旋转过程中点C走过的路径长为．【答案】（1）见解析,（2）【解析】【分析】(1)根据平移坐标为，得到向左平移1个单位长度，向上平移6个单位长度，确定A，C平移后坐标，画图形即可，利用两点间的距离公式计算即可．(2)根据勾股定理计算半径，根据旋转得到圆心角，利用弧长公式计算即可．【小问1详解】∵平移坐标为，∴向左平移1个单位长度，向上平移6个单位长度，∵，，∴，，画图如下，则即为所求；∵，，∴，故答案为：．【小问2详解】根据勾股定理计算半径，根据旋转得到圆心角，故运动路径长为，故答案为：．【点睛】本题考查了平移规律，旋转的性质，勾股定理，弧长公式，熟练掌握平移规律是解题的关键．21.如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据角的平分线性质，运用直角三角形全等的判定定理证明即可．（2）根据角的平分线性质，证明，得到，结合得到计算即可．【小问1详解】∵平分，，，∴，∵，∴．【小问2详解】∵，∴；∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵平分，，，∴，，，∴．【点睛】本题考查了角的平分线的性质，直角三角形全等的判断和性质，直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键．22.为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本地农户合作社手工制作的具有本地文化特色的衬衣和T恤进行线上销售，它们的进价和售价如下表．已知购进一件衬衣比一件T恤的进价贵元，用元恰好可购进衬衣件和T恤5件．种类衬衣T恤进价（元/件）ab售价（元/件）（1）分别求出表中a、b的值；（2）若该电商计划购进衬衣和T恤两种服饰共件，据市场销售分析，T恤进货件数不少于衬衣件数的2倍，如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）a、b的值分别为，（2）购进衬衣件，T恤件时，利润最大，为元【解析】【分析】（1）由题意得，，计算求解即可；（2）设购进衬衣件，T恤件，利润为元，则由题意得，，解得，，根据一次函数的性质进行求解作答即可．【小问1详解】解：由题意得，，解得，∴a、b的值分别为260，80；【小问2详解】解：设购进衬衣件，T恤件，利润为元，则由题意得，，解得，，∵，∴随的增大而增大，∴当时，利润最大，最大利润（元），∴（件），∴购进衬衣件，T恤件时，利润最大，为元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．23.阅读下面的材料：小华遇到这样一个问题：如图①，在中，，点D，E在边上，．若，求的长．小华发现，将绕点A逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．（1）请回答