新教材人教a版选择性必修第二册5. 1 导数的概念及其意义

第五章

一^\一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

5.1.1变化率问题导数的概念及其几何意义

核心知识目标核心素养目标

1.通过对实例的分析,经历由平均

变化率过渡到瞬时变化率的过程，

了解导数概念的实际背景.1.根据具体的实例得到导数的

2.理解函数的平均变化率、瞬时变概念,求函数的导数，培养学生

化率,会求函数在某一点附近的平的数学抽象与数学运算素养.

均变化率.2.通过学习导数与曲线的切线

3.理解导数的概念,会利用导数的的关系，理解导数的几何意义，

定义求函数在某点处的导数.发展学生的直观想象素养.

4.理解导数的几何意义,会求曲线

上某点处的切线方程.

知识探究.素养启迪一.——

®情境导入

在实际生产生活中,我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如：

⑴摩托车的运动方程为s=8+3t2,其中s表示位移,t表示时间，知道

它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；

⑵冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；

(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.

探究:上述实例中都涉及某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实

际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么？

提示:函数的导数.

®知识探究

(1)平均速度

一般地,在twtwt2这段时间里,物体的平均速度声叱)：&)

(2)瞬时速度

。的瞬时速度为当时间间隔I△11无限趋近于0时平均速度的极限，即

%(%+△£)-九(片)

v=lim

At—o△t

［问题1］如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体

在此时间段内的瞬时速度都为0?

提示:不能.

(1)割线的斜率

如图所示：

平均变化率f(Xo)表示割线p°p的斜率.

Ax

⑵切线与切线的斜率

①曲线的切线

如图所示：

在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线

y=f(X)无限趋近于点P°(x。,f(xo))时，割线PoP无限趋近于一个确定的

位置,这个确定位置的直线P°T称为曲线y=f(X)在点P。处的切线.

②切线的斜率

曲线在某一点处切线的斜率，即当横坐标间隔|Ax|无限趋近于。时,

割线斜率八q+2”城的极限,即k=lim/3%)

△%—△%

(1)平均变化率

把比值?,即?:/%+△：)一八支。)叫做函数y=f(X)从X。至Xo+AX的平均

AxAxAx

变化率.

(2)导数的概念

如果当Ax-0时,平均变化率?无限趋近于一个确定的值，即F有极

限，则称y=f(x)在x=x()处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0

处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f'(x。)或y'|x=Xo,即f'

(xo)=lim丝=lim｛。+-).

Ax-oAx

(3)导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x。处的导数f'(x。)，就是切线PoT的斜率ko,即

k-Hm/(xo+Az)-/(xo)|=f/a。).

Ax-0△久

⑷导函数

当x=x()时，f'(Xo)是一个唯一确定的数，当x变化时,y=f'(x)是x的

函数,称它为y=f(x)的导函数(简称导数)，y=f(x)的导函数有时也记

作y',即f'(x)=y'=lim

△LO

［问题2］函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？

提示：(1)平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在

区间E,xj上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在x=x。处变化的快

慢.

⑵平均变化率与瞬时变化率的联系：当△x趋于0时,平均变化率?

△%

趋于一个常数,这个常数为函数在x=x。处的瞬时变化率,它是一个固

定值.

四小试身手

1.已知函数f(x)=x2+l,则在x=2,Ax=0.1时，Ay的值为.

解析：由△y=f(△x+2)-f(2)=(0.1+2)2-4=0.41.

2.如图，函数y=f(x)在［1,3］上的平均变化率为.

解析:?二弋等=_］.

△%3-1

答案:T

3.抛物线y=x2+l在点(1,2)处的切线的斜率是.

解析:k=lim[(1+Ax)2+1]-(12+1)=lim(2+Ax)=2.

A%—0Ax-^O

答案：2

4.质点按规律s（t）=at+l运动,若t=2时刻的瞬时速度为右则a的值

为

々力土「1-s（2+At）-s（2）1

解析嗜To—公一二a\

答案弓

④课堂探究•素养培育

《探究点一平均变化率与瞬时变化率

角度1求函数的平均变化率

[例1]（1）（2021•东北师大附中高二月考）某物体沿水平方向运动，

其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为s（t）=5t+2t2,则该物体在运

动前2秒的平均速度（单位:米/秒）为（）

（A）18（B）13（C）9（D）y

⑵函数f（x）=x?+x在x=l到x=l+Ax之间的平均速度为（）

(A)Ax+2(B)Ax+3

(C)2Ax+(Ax)2(D)3Ax+(△x)2

解析：（1）因为s（t）=5t+2t）所以该物体在运动前2秒的平均速度为

S(2)-S(0)18=9(米/秒).故选c.

22

(2)_=/(1+AX)-/(1)

(H-Ax)-l

(1+Ax)2+(1+AX)-(12+1)(AX)2+3AX

■=△x+3.故选B.

AxAx

#方法总结

⑴求函数平均变化率的三个步骤

第一步,求自变量的变化量△X=X2-X1;

第二步,求函数值的变化量Ay=f(X2)-f(X1);

第三步,求平均变化率父=皿回.

Ax%2一%1

⑵求平均变化率的一个关注点

求点X。附近的平均变化率,可用?"°+')一八"。)|的形式.

即时训练1-1:(1)(2021•辽宁实验中学高二月考)函数yJ在x=l到

X

x=3之间的平均变化率为()

⑻2

-

3

(C)4(D)i

33

⑵已知函数y=sinx在区间［0+，［果上的平均变化率分别为

632

ki,k2,那么ki,kz的大小关系为.

解析：⑴当X1=1时,y1=1=1;

当X2=3时,y2=|;

所以函数y△在x=l到x=3之间的平均变化率为?=纥左=共故选

xAxx2-x13-13

c.

(2)y=sinx在［0,?上的平均变化率

6

sin--sinOQ

k尸——T-T——=n-,

6

y=sinx在［黑］上的平均变化率

.IT.TT

sin—sin-

kv=-jL2T—

23

答案：⑴C(2)k.>k2

角度2求瞬时速度

［例2］某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函

数s(t)=t2+t+l表示,求物体在t=lS时的瞬时速度.

(1+At)2+(1+At)+1-(12+1+1)

=3+At,

所以lim—=lim(3+△t)=3.

At-oAtAt-»o

所以物体在t=ls时的瞬时变化率为3,

即物体在t=ls时的瞬时速度为3m/s.

$方法总结

求瞬时速度的步骤

(1)求位移增量,As=s(t0+At)-s(to);

⑵求平均速度，梃煞

At

(3)取极限，lim竺=lim也¥止应;

△­()△「△.()At

⑷若极限存在,则t。时刻的瞬时速度为扣

即时训练2-1:(1)一质点做直线运动,经过t秒后的位移为

s=^t3-|t2+4t,则速度为零的时刻是()

(A)l秒末

(B)4秒末

(01秒末与4秒末

(D)0秒与4秒末

⑵质点M按规律s(t)=(t-l)2做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),

则质点M在t=3s时的瞬时速度为m/s.

解析：(1)As=-1(t+At)：!-|(t+At)2+4(t+△t)-(|t3-|t2+4t)

=(t2-5t+4)At+(t-|)(At)2+1(At)3,

所以g—5t+4+(t-1)W(At)2,

所以质点的瞬时速度为v=lim-5t+4.

At-oAt

令t-5t+4=0,

解得t=l或t=4.

故选C.

(2)As=(t+At-l)2-(t-l)2=2t*At+(At)-2At,

所以附=2t-2+At,

△t

所以质点的瞬时速度为

v=lim—=lim(2t-2+At)=2t-2,

△t-oAtAt-o

质点在t=3s时的瞬时速度为2X3-2=4(m/s).

答案：(1)C(2)4

《探究点二导数的概念

［例3］求函数y=x,在x=l处的导数.

X

解:因为△y=(l+Ax)-7^--(l-；)

1+Ax1

=△Ax+.--Ax-,

1+Ax

A.

所以‘二」产"=1+-^-.

AxAx1+Ax

lim—=lim(1+-^—)=2,

△%-0△尤—1+Ax

所以函数y=x」在x=l处的导数为2.

X

$方法总结

⑴在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式,

分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还

有:

Hmf(%o+Ax)(%0)]jmf(%()一△%)-+反0)]jmf(%o+nA%)f(%o)

ALOAX-Ax^O-AxMALOnAx

/(x+Ax)~f(x-Ax)

lim00=f'(X()).

2Ax-*02Ax

(2)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

①求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(xo);

+△%)-/(%()).

②求平均变化率

Ax△x

Si邈蚂却

即时训练3-1:(1)已知函数f(x)在x=x。处可导,若

lim/。+23-八久。)=1,则f，(X。)等于()

ALOAr

(A)2(B)l(C)|(D)0

(2)已知函数f(x)=V%>贝IJf'(1)=.

解析：(1)根据题意,若lim"5―加-

△LOAX

(x

2Xlim/o+2Ax)-/(Xo)=2f,(x。)=l,

2ALO2AX

贝If'(x°)W，故选C.

(2)f;(1)=lim/(1+Ax)~/(1)

ALO

-11•mVl+Ax-1

-1-

X△%

==

^07^2-

答案：(1)C(2)|

《探究点三导数的几何意义

[例4](1)如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是1,则

f(2)+f'(2)等于()

(A)-4(B)3

(C)-2(D)l

(2)已知曲线C:y=|x3+^求曲线C上横坐标为2的点处的切线方程.

⑴解析:直线1的方程为：+白1,

44

即x+y-4=0.

又由题意可知f(2)=2,『(2)=-1,

所以f(2)+f'(2)=2-1=1.故选D.

⑵解:将x=2代入曲线C的方程得y=4,

所以切点为(2,4).

y'Ix=2=lim?

△LOAX

|(2+AX)3+^-1X23-^

=lim-------------

△LOAX

=lim[4+2•Ax+-(△x)']=4.

03

所以k=y'|X=2=4.

所以曲线在点(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),

即4x-y-4=0.

变式训练4-1:本例(2)中,若曲线C在点P(xo,f(x。))处的切线的倾斜

角为45°,求点P的坐标.

解:Ay三(X0+Ax)3gq叫

=%0,△x+xo,(Ax)2+|(AX)3.

所以罪=%/+x0・Ax+|(Ax)2.

2

所以f'(Xo)=^Q+Xo△x+1(△x)]=x§.

因为曲线在点P处的切线的倾斜角为45°,

所以斜率为tan450=1,

即f'(Xo)=就=1,得Xo=±l,

所以Xo=l时,f(Xo)=|；Xo=-l时,f(Xo)=l,

即切点坐标为P(T,1)或P(l,|).

变式训练4-2:本例⑵中，若曲线C在点P(x”y0)处的切线与直线

x+4y-l=0垂直,求切点P的坐标.

解：由变式训练4-1可知，曲线C在点P(x。,y。)处的切线斜率为k=就，

由已知曲线C在点P(x。,y。)处的切线与直线x+4y-l=0垂直，

所以据义(-3=T,解得就=4.

所以x0=2或x0=-2.

3

当x0=2时,y0=|x2+|=4;

当x0=-2时,y0=|x(-2)：号-/

所以切点坐标为P(2,4)和P(-2,.

畲方法总结

(1)根据切线斜率求切点坐标的步骤

①设切点坐标(xo,y0);

②求导函数f'(x);

③求切线的斜率f'(Xo)；

④由斜率间的关系列出关于X。的方程,解方程求X。；

⑤点(xo,y。)在曲线f(x)上,将(xo,y。)代入求yo,得切点坐标.

⑵求曲线过已知点的切线方程的步骤

[^1

已知点不在曲线上|已知点在曲线日

|该点不产切点］|该点号切点|

求法求法求法

可设出切点，利用斜率找可直接求出函数在

出等式，代人已知点，求切点处的导致，即

出切点坐标，从而确定切切线的斜率，根据

线方程点斜式写出切线方程

同备用例题

[例1]求函数f(x)=7x2+1在x=Xo到X=Xo+△X之间的平均速度.

解.-/(X0+AX)V(%Q)

•(%0+△X)-%()

2

J(X0+AX)+1-IXQ+1

Ax

(久0+4%)2+1—(就+1)

△旺J(%()+△%)2+1+Jxj+1]

2x0+Ax

2

(X0+AX)+1+JXQ+1

［例2］已知f(x)在X。处的导数f'(x°)=k,求下列各式的值:

⑴]imf(x。)-"万。-△幻；

Ax-02Ax

⑵|jm/(&+Ax)-fg-Ax)

Ax~0Ax

解：⑴因为lim"久。?(?'=『(xo),

Ax-*Ox0-(x0-Ax)

即lim外和）一"A嗔,（Xo）=k.

ALOAX

所以9。）一9。「3

Alxi-m02Ax

_1ym/（Xo）-f（々）-Ax）k

2ALOAX2

⑵因为"x°+A\〃x。A：）fdZ）为函数f（x）在区间［x「A

x,x°+Ax］上的平均变化率.

所以当2Ax-0时，八%+△力八%。3）必趋于f，（Xo）=k,

2Ax

所以lim上33也;k,

2ALO2Ax

所以Hm八%。+二）—八尢。一△幻=2k.

△LOAX

［例3］求经过点（2,0）,且与曲线y」相切的直线方程.

X

解:经验证点（2,0）不在曲线y」上，

X

设切点为P（x0,y0）.

1_1

由y'I『『lim萼五

0Ax->O△%