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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设命题函数在上递增,命题在中,,下列为真命题的是()A. B. C. D.2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元3.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()A. B. C. D.4.设复数满足为虚数单位),则()A. B. C. D.5.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.7.已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为()A.4 B.6 C.3 D.88.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.9.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.10.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.11.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.设,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数、满足,且可行域表示的区域为三角形,则实数的取值范围为______,若目标函数的最小值为-1,则实数等于______.14.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)15.在的展开式中,的系数等于__.16.函数的定义域为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线与直线.(1)求抛物线C上的点到直线l距离的最小值;(2)设点是直线l上的动点,是定点,过点P作抛物线C的两条切线,切点为A,B,求证A,Q,B共线;并在时求点P坐标.18.(12分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点,点在线段上,且平面.(1)求证:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.19.(12分)设函数.(1)时,求的单调区间;(2)当时,设的最小值为,若恒成立,求实数t的取值范围.20.(12分)2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:研发费用(百万元)2361013151821销量(万盒)1122.53.53.54.56(1)求与的相关系数精确到0.01,并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:时,可用线性回归方程模型拟合);(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的数学期望.附:(1)相关系数(2),,,.21.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)22.(10分)已知数列的前项和和通项满足.(1)求数列的通项公式;(2)已知数列中,,,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
命题:函数在上单调递减,即可判断出真假.命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解:命题:函数,所以,当时,,即函数在上单调递减,因此是假命题.命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题.则下列命题为真命题的是.故选:C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.3.D【解析】
由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.4.B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.5.A【解析】
结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由,则,所以;而当,则,解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.6.A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.7.A【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算,可得;利用定义可证明函数的单调性,由赋值法即可求得函数在上的最大值.【详解】函数的定义域为,且,则;任取,且,则,故,令,,则,即,故函数在上单调递增,故,令,,故,故函数在上的最大值为4.故选:A.【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简,利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法在抽象函数求值中的应用,属于中档题.8.A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.9.D【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.10.B【解析】
画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.11.A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.12.D【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解:因为,,则,且,所以,,又,即,则,即,故选:D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合目标函数的最小值,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图,则要为三角形需满足在直线下方,即,;目标函数可视为,则为斜率为1的直线纵截距的相反数,该直线截距最大在过点时,此时,直线:,与:的交点为,该点也在直线:上,故,故答案为:;.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,属于基础题.14.1.【解析】试题分析:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1.考点:排列、组合及简单计数问题.点评:本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详.15.7【解析】
由题,得,令,即可得到本题答案.【详解】由题,得,令,得x的系数.故答案为:7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,属基础题.16.【解析】
根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则,即.则定义域为:.故答案为:【点睛】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析,或【解析】
(1)根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出;(2)设,,,,表示出直线,的方程,利用表示出,,即可求定点的坐标.【详解】(1)设抛物线上点的坐标为,则,时取等号),则抛物线上的点到直线距离的最小值;(2)设,,,,,,直线,的方程为分别为,,由两条直线都经过点点得,为方程的两根,,直线的方程为,,,,,共线.又,,,解,,点,是直线上的动点,时,,时,,,或.【点睛】本题考查抛物线的方程的求法,考查直线方程的求法,考查直线过定点的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.见解析【解析】
(1)如图,连接,交于点,连接,,则为的中点,因为为的中点,所以,又,所以,从而,,,四点共面.因为平面,平面,平面平面,所以.又,所以四边形为平行四边形,所以,所以(2)因为,为的中点,所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,所以,,,,所以,,.设平面的法向量为,则,即,令,可得,,所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为,则,即,令,可得,,所以平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成二面角的正弦值为.19.(1)的增区间为,减区间为;(2).【解析】
(1)求出函数的导数,由于参数的范围对导数的符号有影响,对参数分类,再研究函数的单调区间;(2)由(1)的结论,求出的表达式,由于恒成立,故求出的最大值,即得实数的取值范围的左端点.【详解】解:(1)解:,当时,,解得的增区间为,解得的减区间为.(2)解:若,由得,由得,所以函数的减区间为,增区间为;,因为,所以,,令,则恒成立,由于,当时,,故函数在上是减函数,所以成立;当时,若则,故函数在上是增函数,即对时,,与题意不符;综上,为所求.【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性,由最值的定义得出函数的最值,本题中第一小题是求出函数的单调区间,第二小题是一个求函数的最值的问题,此类题运算量较大,转化灵活,解题时极易因为变形与运算出错,故做题时要认真仔细.20.(1)0.98;可用线性回归模型拟合.(2)【解析】
(1)根据题目提供的数据求出,代入相关系数公式求出,根据的大小来确定结果;(2)求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率,发现它们相同,那么经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,服从二项分布,利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解:(1)由题意可知,,由公式,,∴与的关系可用线性
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