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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.62.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A. B. C. D.3.函数(或)的图象大致是()A. B. C. D.4.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()A. B. C. D.5.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米6.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()A.3 B.6 C.9 D.127.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比数列,则数列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.48.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形9.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.10.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.9011.在直三棱柱中,己知,,,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.12.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,.若,则_________.14.记为等比数列的前n项和,已知,,则_______.15.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.16.若关于的不等式在时恒成立,则实数的取值范围是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前n项和,是等差数列,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令.求数列的前n项和.18.(12分)设数列,其前项和,又单调递增的等比数列,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前n项和,并求证:.19.(12分)已知数列,其前项和为,若对于任意,,且,都有.(1)求证:数列是等差数列(2)若数列满足,且等差数列的公差为,存在正整数,使得,求的最小值.20.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.晋级成功晋级失败合计男16女50合计(1)求图中的值;(2)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关?(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求的分布列与数学期望.(参考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.(12分)如图,在多面体中,四边形是菱形,,,,平面,,,是的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(ⅠⅠ)求直线与平面所成的角的正弦值.22.(10分)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.(1)求物理原始成绩在区间的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.(附:若随机变量,则,,)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.【点睛】本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.2.D【解析】
利用列举法,从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况,由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.记这5部专著分别为,其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有共10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,共9种情况,所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为.故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.3.A【解析】
确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求时的函数值,再排除一个,得正确选项.【详解】分析知,函数(或)为偶函数,所以图象关于轴对称,排除B,C,当时,,排除D,故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论.4.C【解析】
分情况讨论,由间接法得到“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开的事件个数,不考虑限制因素,总数有种,进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时,礼和乐相邻有4种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种情况,由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时,礼和乐相邻有3种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种,由间接法得到满足条件的情况有共有:种情况,不考虑限制因素,总数有种,故满足条件的事件的概率为:故答案为:C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).5.B【解析】
由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长,故导线长度约为63(厘米).故选:B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算,属于容易题.6.C【解析】
分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面区域的面积为9求出,然后分析平面区域多边形的各个顶点,即求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值.详解:作出不等式组对应的平面区域如图所示:则,所以平面区域的面积,解得,此时,由图可得当过点时,取得最大值9,故选C.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.7.B【解析】
设数列的公差为.由,成等比数列,列关于的方程组,即求公差.【详解】设数列的公差为,①.成等比数列,②,解①②可得.故选:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,属于基础题.8.B【解析】
化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.9.C【解析】
化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.10.A【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.11.C【解析】
由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,,解得从而得出异面直线与所成的角.【详解】连接,,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.12.A【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】分析:首先设出相应的直角边长,利用余弦勾股定理得到相应的斜边长,之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系,从而应用正切函数的定义,对边比临边,求得对应角的正切值,即可得结果.详解:根据题意,设,则,根据,得,由勾股定理可得,根据余弦定理可得,化简整理得,即,解得,所以,故答案是.点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,在解题的过程中,注意分析要求对应角的正切值,需要求谁,而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线,设出直角边长,利用所给的角的余弦值,利用余弦定理得到相应的等量关系,求得最后的结果.14.【解析】
设等比数列的公比为,将已知条件等式转化为关系式,求解即可.【详解】设等比数列的公比为,,.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算,属于基础题.15.【解析】
不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,根据题意F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,求得,再用余弦定理求得:,从而求得,再根据顶点A到面EDF的距离为,得到,然后利用等体积法求解,【详解】不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示:由题意得:F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,,顶点D到面ABC的距离为所以,由余弦定理得:,所以,所以,又顶点A到面EDF的距离为,所以,因为,所以,解得,故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象,运算求解的能力,属于难题,16.【解析】
利用对数函数的单调性,将不等式去掉对数符号,再依据分离参数法,转化成求构造函数最值问题,进而求得的取值范围。【详解】由得,两边同除以,得到,,,设,,由函数在上递减,所以,故实数的取值范围是。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性,以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)先由公式求出数列的通项公式;进而列方程组求数列的首项与公差,得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析:(1)由题意知当时,,当时,,所以.设数列的公差为,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,两式作差,得所以.考点1、待定系数法求等差数列的通项公式;2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和,属于难题.“错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.(1),;(2)详见解析.【解析】
(1)当时,,当时,,当时,也满足,∴,∵等比数列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,显然数列是递增数列,∴,即.)19.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)用数学归纳法证明即可;(2)根据条件可得,然后将用,,表示出来,根据是一个整数,可得结果.【详解】解:(1)令,,则即∴,∴成等差数列,下面用数学归纳法证明数列是等差数列,假设成等差数列,其中,公差为,令,,∴,∴,即,∴成等差数列,∴数列是等差数列;(2),,若存在正整数,使得是整数,则,设,,∴是一个整数,∴,从而又当时,有,综上,的最小值为.【点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质,关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列,属于难题.20.(1);(2)列联表见解析,有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)分布列见解析,=3【解析】
(1)由频率和为1,列出方程求的值;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率,知随机变量服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,解得;(2)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,所以晋级成功的人数为(人),填表如下:晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得,所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0.75,所以可视为服从二项分布,即,,故,,,,.所以的分布列为:01234数学期望为.或().【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题,属于中档题.若
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