新人教A版必修二 平面向量的应用教案

平面向量的应用

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

平面向量的应用B1.会用向量方法解决某些简单的平少考

面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问

题与其他一些实际问题.

知识提要

平面向量的应用

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科

中具有广泛的应用.

精选例题

平面向量的应用

1.如图所示，绳子的点。处拴着一个重物，保持绳。4与竖直方向的夹角不变，改变绳。8与水平

的夹角。，并保持物体处于静止状态，则绳子0B所受的拉力变化情况可用函数0=八。）来描

述，则函数/'（。）的最小值为.

【答案】=G-sincp

【分析】因为重力、绳子。4的拉力方向不变，其中重力大小也不变，所以三个力形成的受

力三角形如图所示，

显然，绳子。B所受的拉力岫随着绳子0B与水平的夹角。的增大先减小后增大.

当且仅当。8与绳子。4垂直时，即。=9时拉力TB最小，最小值为/'(<?)=G-sin<jo.

2。平面上有两个向量瓦=(1,0)瓦=(0,1),今有动点P从京-1,2)开始沿着与向量江+区相同

的方向做匀速直线运动，速度大小为I部+/I.另一点Q从4(-2,-1)出发，沿着与向量3可+

2岁相同的方向做匀速直线运动，速度大小为I3可*+2行］.设P,Q在t=0秒时分别在Po，Qo处,

则当PQ1PoQo时，t=.

【答案】2

【分析】因为「0(-1,2)，Qo(-2,-1),

所以PoQo=(—1,-3).

又因为可+孩=(1,1),

所以I%+其|=/.

因为3瓦+2/=(3,2),

所以I3q+2五|=旧.

所以芝时刻时，点P的位置为(-l+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,—l+2t).

所以PQ=(—1+2t,—3+t).

因为PQ1P0Q0,

所以(一1)•(-1+2t)+(-3)-(-3+t)=0.

所以t=2.

3.在梯形48CD中，荏=2反瓦|=6,P为梯形4BCD所在平面上一点，且满足Q+而+

4DP=0,DA-CB=\DA\\DP|,Q为边4D上的一个动点，则|PQI的最小值为.

【答案】学

【分析】如图，取AB的中点“，由而+而+49=6得丽=29，P为线段DM上靠近点

。的三等分点，由题意知，DA-CB=DA-DM=\DA\-\DM\cosZ.ADM=\DA\\DP\,所以

cos乙4DM=i,则sin4WM=竽,所以IPQI的最小值为2sinNADM=竽

4.已知向量江表示响东航行3千米”工表示“向南航行3千米”，则2+方表示.

【答案】向东南航行3近千米

5。若］=（2,1）是直线1的一个方向向量，则I的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值

表示）.

【答案】arctan|

6.自50m高处以水平速度10m/s平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物体2s时的速度的大

小为，与竖直向下的方向成角为仇则tan。=（重力加速度g=10m/s?）.

【答案】10遍m/s；1

7。在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行,

则船实际航行的速度的大小为.

【答案】4遥km/h

【分析】如图用火表示水流速度,％表示与水流垂直的方向的速度，则%+%表示船实际航

行速度，______

因为1%1=4,|%|=8,所以解直角三角形1%）+Vil=V42+82=4V5.

8.把函数y=lg(2x)的图象按向量益平移，得到函数y=lg(x-l)的图象，则,=.

【答案】(l,-lg2)

9。直线的方向向量和法向量

(1)直线y=kx+b的方向向量为,法向量为.

(2)直线4x+By+C=0的方向向量为,法向量为.

【答案】⑴(1的,(fc,-l)；(2)(8,-4),(4B)

10o某人用绳拉车沿宜线方向前进100m,若绳与行进方向的夹角为30。，人的拉力为20N,则

人对车所做的功为J.

【答案】1000V3

【分析】IV=100X20Xcos30°=1000>/3(J).

Il0一个30。的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动,应沿斜面方向

给球N的力；若表示球的重力的向量为心球对斜面的压力为岔，则球的重力沿斜面方

向的分力，=，保持球在斜面上静止不动的推力尸=.

【答案】4.9;p-a)；co-p

12o某重量为P的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的

滑动摩擦系数那么绳子与地面成角时，拉力最小.

f

【答案】300

13o夹角为120。的两个力7和三作用于同一点，且周=同=m(jn>0),则方和不的合力『的

大小为，f与7的夹角为.

【答案】m;60°

14o已知一物体在共点力瓦=(2,2),瓦=(3,1)的作用下产生位移6=&|),则共点力对物体

所做的功为.

【答案】7

【分析】对于合力户=(5,3),其所做的功为W=F.§=l+l=7.

15.如图，在直角梯形4BCD中,4B_L40,4。=DC=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边

界)，设族=戊而+夕而(a,/?6R),则a+。的取值范围是.

【答案】［1曰

【分析】

解法1如图建立直角坐标系，则点8(3,0),0(0,1).设点P(x,y),则加=。而+0前=

(3a/)=(x,y),所以产：沪则a+"：+y.又4BCD(含边界)所表示的区域是

y<L

X+3y-3>0,由线性规划知识可得14a+0=g+y4，在线段BD上取得最小值，在点C处

.X+2y—340,

取得最大值.

解法2建立如图所示直角坐标系，过点P做EFIIAB,分别交BD,BC于点E,F.

当点P在EF上向右滑动时，夕不变，a变大,故a+0的最小值只能在边界BD取到，最大值只能

在边界BC取到.

设乔=1BC(O<A<1).

因为B(3,0),C(l,l),4(0,0),£»(0,1).所以冠=(一2,1).

故前=而一祠=4前=A(-2,l).

所以方=A(-2,l)+(3,0)=(3-2A.A).

又而=aAB+0而，故(3-24")=a(3,0)+又0,1).

所以3a=3—24,P—A.

所以a+夕=廿+4=1+-G[1+-,1+1].

L33L33J

即a+6€[1.1]

16.已知作用在A点的三个力方=(3,4),£=(2,-5),1=(3,1)且4(1,1),则合力，=万+方+

万的终点坐标为.

【答案】(9,1)

【分析】由向量的坐标运算可得.

17o如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠

岸过程中，下列说法中正确的是(写出正确的所有序号).

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不

【答案】①®

【分析】设水的阻力为,，绳的拉力为员区与水平方向夹角为o(o<o<2).

则问cosO=|1|,所以问=3.因为。增大，cos。减小,所以间增大.因为同sin町曾大，所以

船的浮力减小.

18o过P(l,2),以元=(3,4)为法向量的点法向式直线方程为.

【答案】3(x-1)+4(y-2)=0

19.将圆。/+丫2+2*-43/=0按向量d=(1,—2)平移后，得到圆(7,则圆。的半径

为,其圆心坐标为.

【答案】V5；(0,0)

20o在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边出发，径直

沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处.

【答案】船航行的方向是与河岸垂直方向成30。夹角,指向河的上游

【分析】如图.

D

21.在水流速度为10km/h的河中，如果要使船以10百km/h的速度与河岸成直角地横渡，求

船行驶速度的大小与方向.

【解】_m,雪示我方曳，而表示垂直于对里里渡的方向，而表示船行驶速度的方

向，由丽=击+65,及次=荏且4。8。=90。.知|方|=20,乙4OC=120。，即船行驶速

度为20km/h,方向与水流方向成120。角.

22o今有一小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游1=80m处河流有一瀑布，若

河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s,如图，为了使小船能安全渡

河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？

P

【解】如图，由题设可知,船的实际速度划+〃水，其方向为临界方向讨.

则最小划速IU划1=1。水I-sin。，

.八d603

所以e=37。.

所以最小划速应为I。划1=5xsin。=5x|=3m/s,与水速成37。.

23.如下图所示，己知在矩形4BCD中，|AD1=473,设而=之近=九BD=c,试求I&+

b+c|的大小.

【解】曰+3+d=同+配+丽=前+前,延长8£^定,使溪=灰,连接。£,由于在=

近=而，所以四边形ZBCD是平行四边形，所以前=丽，所以而+而=说+丽=掘,即

\a+b+c\=\BE\=2\BC\=2\AD\=8代.

24.设P,Q分别是梯形48CD的对角线4c与BD的中点,

(1)试用向量证明：PQIIAB,

【解】证明：设沆=4近(4>0),

因为：

PQ=AQ-AP=AB+~BQ-AP=AB+^(BD-AC)

=AB+^[{AD-AB)-(AD-DC)]

=AB+^(CD-AB)

=1(CD+AB)

=1(-A+1)^

所以所II而，又P,Q,A,B四边不共线，

所以PQ\\AB.

(2)若4B=3C。，求PQ:4B的值.

【解】因为4B=3CD,所以；I=：,又因为所="一4+1）前，

所以所=］四，所以PQ：4B=1:3.

25.用同样长的两根绳子挂一个物体（如图），如果绳子的最大拉力为人物体受到的重力为

G.分析绳子受到的拉力瓦的大小与两绳之间的夹角9的关系.

【解】由题意得耳+号+G=0,则不=一（瓦+瓦），

所以滔=（K+^）2-

IG|2=|豆口+|豆—2।豆|.|.|cosd=2|瓦『+2|瓦『cos3,

所以I属1=@j2(l+cos。)

2(l+cos0)

26.在加速行驶的火车上固定一斜面，斜面倾角是。（如图）.有一物体置于斜面上，如果火车

加速度小于某一值的,物体就会下滑，设物体和斜面间的摩擦系数是〃，试推导a0的表达式.

【解】如图，以过物体重心与斜面平行的直线为X轴,与斜面垂直的直线为y轴建立直角坐

标系，

设物体的质量为血，则

W—mg!?cos—6)+ysin—6)]=mg(—tsind—/cos©),

N=Njff=N岛

F—ma0[?cos(—0)4-7sin(—0)]=maQ(i-cos6-J-sin。),

%-IV+A/+/+F=0,

・••t(-mgsin。+N〃+maocos0')+j(—mgcosd+N—maosin^)=0,即

mgsinJ+N〃+maQcos0=0,........①

-mgcosO+N—maosind=0........(2)

从①②中消去N得mg(-sin。+〃cos。)4-mao(cos0+/zsin。)=0,

sinO-^cosf)

cos0+gsin0§

27。在水流速度为4gkm/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航

行速度的大小和方向.

【解】如图，设荏表示水流速度,则前表示船航行的实际速度，作4。=BC,AD||BC,则

而即表示船航行的速度.

因为|同|=4百，|前|=12,4cAB=90。,

所以tanNACB=—=—,

123

即乙4cB=30。，/.CAD=30".

所以画=8百，2LBAD=120".

即船航行的速度大小为8百km/h,方向与水流方向所成角为120。.

28。已知：0为原点,4(a,0),B(0,a),a为正数，点P在线段4B上，且丽=t^(04t(1)，则

耐•加的最大值是多少？

【解】设P(x,y),则万=(x-a,y),方=(一a,a),由於=t而可得｛；""解得

ex=a-at,

ty=at.

所以OP=(a—a£,at),又04=(a,0),

所以市•OP=a2—a2t,

因为Q>0,可得一a?<0,又04t41,

所以当t=0时，6?•赤=a2-a2t有最大值a2.

29.已知两恒力耳=(3,4),月=(6,—5),作用于同一质点,使之由点4(20,15)移动到点8(7,0).

(1)求可再分别对质点所做的功；

【解】AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),

名=耳•亚=(3,4)•(-13,-15)=3x(-13)+4X(-15)=-99J,

W2=F^-AB=(6,-5)-(-13,-15)=6x(-13)+(-5)x(-15)=-3J.

所以力耳，,对质点所做的功分别为-99J和-3J.

(2)求耳，弓的合力内寸质点所做的功.

W=片.存=(耳+瓦).荏

=[(3,4)+(6,-5)]-(-13,-15)

【解】=(9,-1)•(-13,-15)

=9x(-13)+(-1)x(-15)

=-117+15=-102J.

所以合力F对质点所做的功为-102J.

3()o已知力P与水平方向的夹角为30。(斜向上)，大小为50N,一个质量为8kg的木块受力片的

作用在动摩擦因数〃=0.02的水平平面上运动了20m•问力户和摩擦力，所做的功分别为多

少?(9=10m/s2)

【解】如图所示，设木块的位移为6,则*•#=]即|cos3(r=50x20x曰=500V5j.

将力区分解，它在竖直方向上的力耳的大小为|同=|F|sin300=50x|=25N.

所以摩擦力广的大小为历=|/z(G一瓦)|=(80-25)X0.02=1.1N.

因此，f-s=|/||s|cosl80°=1.1x20x(-1)=-22J.

31.雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打着伞以3m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴

垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？

【解】因人的行走，雨对人有向西3m/s的速度正，雨实际又有竖直向下4m/s的速度0,

雨同时参与这两个运动，雨对人的合速度Iv1=扁2+।弓/=5(m/s).

tana=粤=三，所以a々37°.

可见，伞柄应向前倾斜,与竖直方向成37。角.

32.已知一个与水平方向夹角为30。的力武后的大小为50N,拉着一个重80N的木块在摩擦系数

〃=0.02的水平面上运动了20m,求户与摩擦力,做功分别为多少.

【解】设木块位移为祗则力P所做的功为

斤•6=50x20xcos300=500V3(J),

产在铅直方向的分解力大小为50xsin30。=25(N),故，的大小为

(80-25)x0.02=l.l(N),

所以了所做的功是广=1.1x20xcosl800=一22(J).

33。求宠=(1-s)(4,0)+s(0,2),y=(1-t)(3,2)+eR)这两条直线交点的坐标.

【解】设d的坐标为交点坐标，则五=(1-s)(4,0)+s(0,2)=(1-t)-(3,2)+t-(0,-l),

化简得

a=(4-4s,2s)=(3-3t,2-3t),

所以4-4s=3-3t且2s=2-3t.解得s=$t=%所以益=(2,1).

34o如图所示,两根绳子把重1kg的物体“吊在水平杆子4B上=150-/BCW=120°,

求4和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g=10N/kg).

【解】设48所受的力分别为方，7，

10N的重力用，表示，则方+石=，，以重力的作用点C为五，通尸的始点，作如图,

使方=方，CF=72'CG=f>则"CG=180°—150°=30°,zFCG=180°-120°=60°.

所以同=|CG|-cos300=10xy=58，|CF|=|CG|-cos600=10x|=5.

所以在4处受力为N,在B处受力为5N.

35.如图，ABC。是正方形,BEIIAC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.求证:4F=

AE.

【解】以正方形ABC。的CD所在直线为x轴，以C点为原点建立直角坐标系,设正方形的边

长为1,则4(一1,1),5(0,1).

若E点的坐标为(x,y),则成=(x,y-l),4C=(1,-1).

因为何II前，所以“(一1)一l-(y—1)=0.……①

又因为|国=|河，所以/+y2=2.……②

解①②得E点的坐标为(：'3,12'B-

如果F点的坐标为(x',1),由存=(x',1)和方=(萼，等)共线得

詈X，_手=0,解得于=_（2+8）.

即点F的坐标为（一2,1）.

因为9=（一1-遮,0）,荏=（字，孝）

国二j（等+后

所以I万I=1+8=I族I，即力F=4E.

36o设炮弹被以初速度/和仰角a抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度%的大小一定时，发

射角a多大时，炮弹飞行的距离最远？

【解】将刀分解为水平方向和竖直方向两个分速度可和正，则I西I=|诟|cosa,|石|=

I/Isina,由物理学知识可知，

炮弹在水平方向飞行的距离s=|司•t=|诟Icosa-t（t是飞行时间）……①

炮弹在垂直方向的位移是0=IvJI-t-：gt2（g是重力加速度）……②

由②得t=亚詈，……③

代入①得S—2同“sinacosa_诟.sin2a

由于I/I一定，所d当a=45。1）/,s有最大值.

故发射角a=45。时，炮弹飞行的距离最远.

37.如图所示，已知平面上三点坐标分别为4（一2,1）£（-1,3）,C（3,4）,求点。的坐标，使得这

四个点为构成平行四边形的四个顶点.

【解LG）””为对角线作平行四边形48C%,设顶点5的坐标为

AB-（1,2）,=（3—X],4-y。

由荏=呢，得（1,2）=（3-尢1，4—%），

（1=3-x1（

"U=4一％,

.11=2,

"lYi=2.

•••顶点。1的坐标为（2,2）.

（吆以BC为对角线作平行四边形力。。2以设顶点。2（到/2）・

•••AC=（5,3）,

BD?=（X2+1,丫2-3）,

由前=丽,得（5,3）=（x2+l,y2-3）,

.,5=%2+1，.产2=4,

(3=y2-3,'•(为-6・

顶点。2的坐标为(4,6).

(iii)以为对角线作平行四边形Q4CB,设顶点。3(必，%)，由前=型，可解得。3(-6,0).

综上所述，D点的坐标为(2,2)或(4,6)或(一6,0).

38.如图所示，在细绳。处用水平力用缓慢拉起所受重力为3的物体，绳子与铅垂方向的夹角为

e,绳子所受到的拉力为瓦.

⑴求同，同随角。的变化而变化的情况;

由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得-6=及+可,|%=瞿，同=同tan。,

当。从0°趋向于90。时，同，间都逐渐增大.

(2)当|国42|矶时，求角0的取值范围.

【解】由同=忌，同42|认得cos。

又因为0°<0<90°,所以0。4。460。.

39.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.

【解】如图，设定=不，而=窗点D,E分别为BC/C的中点，则而=n+而=3+

汐EB=EC+CB=^+a.

A

■.A,G,。共线,B,G,E共线，

.,.可设南=AAD,EG=〃由，则E=AAD=+^a)=Xb+^Xa^EG=〃丽=

〃(讨+&)=泗+面.

■■AE+EG=AG,即转+@4+同=方+/窗

•••(〃-翔日+G4-%+3另=0-

va,不不平行，

〃一;=0,A=-,_,_

,,=；'=E=-AD,B[JJG=2GD.命题得证.

一从一AH—=013

12d2

40o叙述并证明余弦定理.

【解】叙述：

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积

的两倍.或：在△ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=c2+a2—2cacosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

证法一：

如图，

BC

a2=\BC\Z=(AC-ABy(AC-AB)

=AC2-2前•宿+荏2

=AC2-2\AC\•\AB\cosA+AB2

=b2-2bccosA+c2,

即

a2=b2+c2—2bccosA.

同理可证

b2=c24-a2—2cacosB,

c2=a2+b2—2abcosC.

证法二：

已知△ABC中B,C所对边分别为a,b,c,以力为原点/B所在直线为工轴建立直角坐标系,

则C(bcos4bsinA),B(c,0),所以

a2=|BC|2=(<bcosA—c)2+(力sin/)?

=b2cos2A—2bccosA+c?+b2sin2A

=b2+c2-IbccosA,

即

Q2=62+。2-2bccosA.

同理可证

b2=c24-a2-2cacosB,

c2=a24-b2-2abcosC.

课后练习

lo-一艘船从4点出发以2V5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h,

则船实际航行的速度的大小和方向是.

2.在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地

渡过长江，则航向为.

3。把函数y=/+4x+7的图像按向量苍经过一次平移以后得到y=/的图像，则平移向量巨

是（用坐标表示）.

4。用两条成120。角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重力为10N,则每根

绳子的拉力大小是.

5.三个力F2,F3的大小相等，且它们的合力为0,则力尸2与尸3的夹角为.

6.一个重20N的物体从倾斜角30。，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功

是.

7.函数y=2cos(2x-=)-1的图象是由函数y=g(x)的图象按G=仁,1)平移得到的，则g(x)

的解析式为.

8。已知点G是△ABC的重心，WJG1+GB+GC=.

9。在四边形4BCD中，AB=DC=(1,1),赢+翁=四赢，则四边形ABCD的面积

是.

10。如图，在直角梯形A8CD中，ABIICD,AB1BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P为

线段AD(含端点)上一个动点，设万=x而，丽•玩=y，对于函数y=/Q),给出以下三个

结论：

①当a=2时，函数八%)的值域为［1,4］；

②Vae(0,+8),都有f(1)=1成立；

③Vae(0,+8),函数/'(%)的最大值都等于4.

B

其中所有正确结论的序号是.

11.已知河水的流速为2m/s,一只小船想要以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船

在静水中的速度的大小应为m/s.

⑵一质点受到平面上三个力耳，K瓦的作用而处于平衡状态.已知瓦，瓦成60。角，且

|同=2N,匠|=4N,则|同=.

13。向量方法在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：aIIb(b*0)

<=><=>.

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件:非零向量落

b,a1ft<=>

(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos。==.

(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：I&I

14.如图，用两条成120。角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重力大小为10N,则每根

绳子的拉力大小是.

O

15。把一个函数的图象C按向量,=&一2)平移后得函数图象Q,又将G按向量石=(*,1)

平移后得函数图象C2：y=sin(2x-2)+2,则原函数图象C的解析式为.

16.把曲线G：?—?=1按向量a=(1,2)平移后得到曲线C2，曲线C2有一条准线方程为x=5,

则k的值为,离心率e为.

17.如图，在一点。上作用着两个力，它们的大小分别等于5和3,夹角为30。,此时它们合力的大

小为.

0

18。某运动员在风向为东偏北60。，风速为2m/s的情况下正在以10m/s的速度向东跑步.若

风停止，在运动员用力不变的情况下，求该运动员跑步速度的大小和方向.

19.某人骑车以每小时akm的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到

风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.

20。已知点4(1,0),6(-1,2),C(0,-2),求以4B,C三点为顶点的平行四边形的另一个顶点。的

坐标.

21.一架飞机从4点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100&km到达C点，再从C点

向东偏南30。飞行50鱼km到达D点，求飞机从D点飞回4点的位移.

22»如图所示，4BCD是菱形,4C和BD是它的两条对角线，求证：AC1BD.

23。若某人在静水中游泳的速度为4gkm/h,水的流速为4km/h.

(1)如果他径直游向河对岸，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少？

24.已知三点力(一1,-1),B(2,3),C(3,-1),求证:△ABC是锐角三角形.

25。试寻找△ABC应满足什么条件，能使角4的平分线与从角B引的中线相互垂直.

26。求过原点。(0,0),且平行于向量&=(一1,一3)的直线方程.

27.某人在静水中游泳,速度为4百km/h.

(1)如果他径直游向河对岸，水流的速度为4km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少？

(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

28。已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线［交C与4,B两点,圆M是以线段48为直径的圆.

(1)(1)证明:坐标原点。在圆M上；

(2)(2)设圆M过点P(4,—2),求直线I与圆M的方程.

29o一条河的两岸平行，河的宽度d=500m「一艘船从4处出发到河对岸，已知船的速度

|司=10km/h,水流速度区|=2km/h,要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速

度的比值必须最小，分三种情况讨论：

(I)当船逆流行驶，与水流成钝角时：

(2)当船顺流行驶，与水流成锐角时；

(3)当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.

计算以上三种情况，是否当船垂直于对岸行驶，即与水流成直角时，所用时间最短.

30o两个力耳=1+了，月=4,一57作用于同一质点，使该质点从4(20,15)移动到点B(7,0)

(其中n分别是x轴、y轴正方向上的单位向量).求：

⑴瓦瓦分别对该质点做的功；

(2)瓦耳的合力正对该质点做的功.

31o如图，己知点4(4,0),B(4,4),C(2,6),求4c与。B的交点P的坐标.

32.水平电线AB对竖直电杆8。的拉力为300N,斜拉索BC的拉力为600N,此时电杆恰好不偏

斜，求斜拉索与地面所成角8的大小以及由此引起的电杆对地面的压力(电杆自重不计).

33.有一小船位于d=60m宽的河边P处，从此处起，在下游I=80m处，河流变成了“飞流直下

三千尺"的瀑布，若河流水流速度方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速为5m/s,如图所

示，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少?当划速最小时，划速方向如何？

34。已知点4(3,-2),S(-l,0),C(-3,10),0(2,3),求直线4c和BD的交点P的坐标.

35。一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方向夹角为人的拉力为50