福建省龙岩市一级达标校2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题含解析

PAGE21-福建省龙岩市一级达标校2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题1.已知集合，集合，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得集合，结合集合的补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，集合，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的运算，其中解答中正确表示集合，集合的补集的概念，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题.2.的值为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】干脆利用诱导公式化简求值．【详解】．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式化简求值，还考查了运算求解的实力,属于基础题．3.下列函数中，既是奇函数又是增函数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数的奇偶性的定义，结合初等函数的图像与性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，依据指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，所以不正确；对于B中，依据三角型函数的图象与性质，可得函数不是单调函数，所以不正确；对于C中，函数，可得，所以函数为定义域上的奇函数，又由指数函数的单调性，可得函数在定义域上的单调递增函数，符合题意；对于D中，依据幂函数的性质，可得函数为上单调递减函数，所以不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.4.函数的最小正周期是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】干脆利用函数的周期公式求解.【详解】函数的最小正周期是，故选：B．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的实力，属于基础题．5.已知，则()A. B. C. D.6【答案】D【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和三角函数的基本关系式，精确运算，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，化简，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求解问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题.6.已知在扇形AOB中，，弦AB的长为2，则该扇形的周长为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出，再求出弧的长，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】如图所示，因为，且，所以，即，由弧长公式，可得弧的长为，所以扇形的周长为.故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中作出图形，求得扇形所在圆的半径，精确利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.7.在中，，，是边上的中线，则（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】将作为基底表示,再求解即可.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了基底向量的用法,属于基础题型.8.关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A.的值域是 B.是偶函数C.是奇函数 D.随意，都有【答案】C【解析】【分析】A．由函数解析式干脆推断.B．分是无理数和是有理数，两种状况依据奇偶性的定义探讨.C．与B用相同的方法推断.D．分是无理数和是有理数，两种状况，从内函数到外函数探讨.【详解】A．由函数解析式干脆得到值域为，故A正确，B．若是无理数，则也是无理数，此时，若是有理数，则也是有理数，此时，综上恒成立，故函数是偶函数，故B正确，C．由B知函数是偶函数，不是奇函数，故C错误，D．若有理数，则，，若是无理数，则，，故D正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了分段函数的基本性质，还考查了分类探讨，理解辨析的实力，属于基础题.9.已知函数，则（）A.4 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】依据分段函数的解析式，及对数的性质计算可得．【详解】解：函数，，，．故选：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础学问，考查运算求解实力，属于基础题．10.已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由向量的模的公式，化简得，，求得，，再结合向量的投影的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)联立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影为.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及娴熟应用向量的数量积的运算公式，精确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.11.设点是函数图象上随意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点（，可重合），设线段的长为，则函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，依据对称性求出的坐标，得到线段的长的函数模型再进行推断．【详解】因为，如图：设，则关于对称，此时，当时，，当时，，则对应的图象为D，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的对称性，还考查了理解辨析函数的图象的实力，属于基础题.12.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式绽开得，依据同角三角函数关系，求得，平方处理求得，考虑角的范围即可得解.【详解】∵即，又∵，∵，解得或，所以，平方得所以，.∵，∴，∴，∴.故选：A.【点睛】此题考查三角函数求值问题，关键在于依据已知条件求解三角函数的取值，娴熟驾驭同角三角函数关系尤其是正余弦之和差积的转化关系.二、填空题13.已知向量(﹣2,3),(x,1),若⊥,则实数x的值是_____.【答案】【解析】【分析】已知向量(﹣2，3)，(x，1)，依据⊥，利用数量积的坐标运算求解.【详解】已知向量(﹣2，3)，(x，1)，因为⊥，所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查了平面对量的数量积运算，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.14.，，，则从小到大的关系是______．【答案】【解析】【分析】依据指数、对数函数的性质，可得，从而得出的大小关系．【详解】因为，所以，因为，所以，因，所以，∴．故答案为：．【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，对数的运算，还考查了转化问题的实力，属于基础题.15.若，则______．【答案】16【解析】【分析】由，通过对数运算得出，由此再求的值．要留意定义域.【详解】∵，∴，解得，∴．故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算，还考查了运算求解实力，属于基础题．16.已知定义在上的奇函数，满意，当时，，若函数，在区间上有2024个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，分别作函数与的图象，再视察交点即可得解【详解】由，，联立可得：，即，所以函数是奇函数，图象关于点对称，周期为2，又因为当时，，又的周期为2，关于点对称，令函数，得，所以函数，在区间上有2024个零点，转化为两个函数在区间上有2024个零点，在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图象知：与在，上有4个交点，且在上，，，，因为函数，在区间上有2024个零点，所以：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，属中档题．三、解答题17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：0040（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并干脆写出函数的解析式．（Ⅱ）若函数的值域为，集合且，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据上表数据已有的数据求出，，，再依据五点法作图，将上表数据补充完整，并干脆写出函数的解析式．（Ⅱ）由可得，先求出函数的值域，再利用子集关系求解.【详解】（Ⅰ）依据表中已知数据，易知，，，又因为点在图象上，所以，所以，又因为，所以，所以函数表达式为．补全数据如下表：00400（Ⅱ）∵，∴，又，∴．依题意，∴实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了函数的部分图象求解析式，集合的基本运算，还考查了数据处理和运算求解的实力，属于中档题．18.已知，.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平方关系得出的值，利用半角公式求解即可；（2）由，的范围得出的范围，利用平方关系得出的值，再利用两角差的正弦公式化简求值即可.【详解】（1）因为，，所以.从而.（2）因为，，所以所以.所以，∴.【点睛】本题主要考查了利用平方关系，半角公式以及两角差的正弦公式化简求值，属于中档题.19.已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）若有最大值81，求实数的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）当时，求出的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（2）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【详解】（1）当时，，函数的值域为，．（2）令，当时，无最大值，不合题意；当时，，，又在上单调递增，，，．【点睛】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20.若，，且.（1）求函数的解析式及其对称中心；（2）函数的图象是先将函数的图象向左平个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的.求函数，的单调增区间.【答案】（1），对称中心为（）；（2）.【解析】【分析】（1）依据平面对量数量积的坐标表示，结合三角恒等改变即可求解；（2）依据函数的图象变换规律，，即可求解单调区间.【详解】（1）依题意有，令，则，，∴函数的对称中心为（）.（2）由（1）得，，∴将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象.由（），即（），又，∴的单调增区间为.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数的图象变换规律，属于中档题.21.某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，依据银行预料，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为，，其中为常数且．设对乙种产品投入资金百万元．（Ⅰ）当时，如何进行投资才能使得总收益最大；（总收益）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何安排，要使得总收益不低于0.45百万元，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）当时求出总收益的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）依据题意可知对随意恒成立，将问题转化为即对随意恒成立，再利用换元法转化为一元二次不等式恒成立求解．【详解】（Ⅰ）设对乙种产品投入资金百万元，则对甲种产品投入资金百万元当时，，令，则，，其图象的对称轴，∴当时，总收益有最大值，此时，．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大（Ⅱ）由题意知对随意恒成立，即对随意恒成立，令，设，则，则，其图象的对称轴为，①当，即时，在单调递增，在单调递减，且，∴，得，又，∴，②当，即时，在单调递增，在单调递减，且，可得，符合题意，∴③当，即时，易知在单调递增，可得恒成立，，综上可得．∴实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了函数的应用，一元二次不等式恒成立问题，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键，还考查了分类探讨，运算求解的实力，属于难题.22.定义在上的函数满意：对于随意实数都有恒成立，且当时，．（Ⅰ）判定函数的单调性，并加以证明；（Ⅱ）设，若函数有三个零点从小到大分别为，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）在上为增函数；见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据函数的单调性的定义，结合抽象函数的关