2024秋高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性3.3.2第2课时线性规划的实际应用达标检测含解析新人教A版必修5

PAGE1-线性规划的实际应用A级基础巩固一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运输最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4yC．z＝x＋y D．z＝4x＋5y解析：设需x辆6吨汽车，y辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z＝6x＋4y，即目标函数z＝6x＋4y.答案：A2．某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子须要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子须要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满意的数学关系式与目标函数分别为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝20x＋40yB.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥10，,2x＋y≥10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝20x＋40yC.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，))z＝20x＋40yD.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝40x＋20y解析：由题意可知选A.答案：A3．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是________万元．()A．23 B．27 C．28 D．30解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,3x＋y≤13，,2x＋3y≤18，))利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，阅历证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．答案：B4．某农户支配种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：品种每亩年产量/吨每亩年种植成本/万元每吨售价/万元黄瓜41.20.55韭菜60.90.3为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50，0 B．30，20C．20，30 D．0，50解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满意条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0.))画出可行域如图，得最优解为A(30，20)，故选B.答案：B5．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为()A．2，4 B．3，3C．4，2 D．不确定解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100x＋160y≤800，,x≥1，,y≥1，,x，y∈N*.))求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．答案：B二、填空题6．某公司有60万元资金，支配投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于项目乙投资的eq\f(2,3)倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．解析：设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5.))目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.答案：31.27．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运输一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运输一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运输一次可得利润350元，该公司合理支配当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为________元．解析：设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，由题意，x，y满意关系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，,2x＋y≤19，,10x＋6y≥72，,0≤x≤8，,0≤y≤7，))作出相应的平面区域(略)，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,2x＋y＝19))确定的交点(7，5)处取得最大值4900元．答案：49008．配置A、B两种药剂都须要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)：药剂原料甲乙A25B54药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为________元．解析：设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y≤20，,5x＋4y≤33，,x∈N*，,y∈N*))成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.答案：900三、解答题9．某车间小组共12人．需配给两种型号的机器，一台A型机器须要2人操作，每天耗电30千瓦时，能生产出价值4万元的产品：一台B型机器须要3人操作，每天耗电20千瓦时，能生产出价值3万元的产品．现每天供应车间的电量不多于130千瓦时，问：该车间小组应如何配置两种型号的机器，才能使每天的产值最大？最大值是多少？解：设需安排给车间小组A型，B型两种机器分别为x台，y台，每天产值为z万元，则z＝4x＋3y，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，,2x＋3y≤12，,30x＋20y≤130，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，,2x＋3y≤12，,3x＋2y≤13.))作出可行域如图阴影部分所示：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝12，,3x＋2y＝13，))得A(3，2)，所以zmax＝4×3＋3×2＝18.因此，当配给车间小组A型机器3台，B型机器2台时，每天能得到最大产值18万元．10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金/元月资金供应数量/元空调冰箱成本3000200030000工人工资500100011000每台利润600800—问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？解：设空调和冰箱的月供应量分别为x，y台，月总利润为z元，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000x＋2000y≤30000，,500x＋1000y≤11000，,x，y∈N*，))z＝600x＋800y，作出可行域(如图所示)．因为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,800)，表示纵截距为eq\f(z,800)，斜率为k＝－eq\f(3,4)的直线，当z最大时eq\f(z,800)最大，此时，直线y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,800)必过四边形区域的顶点．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000x＋2000y＝30000，,500x＋1000y＝11000，))得交点(4，9)，所以x，y分别为4，9时，z＝600x＋800y最大，zmax＝600x＋800y＝9600(元)．所以空调和冰箱的月供应量分别为4台、9台时，月总利润最大，最大值为9600元．B级实力提升1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：品种用煤/吨用电/千瓦产值/万元甲产品7208乙产品35012但国家每天安排给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，则该厂最大日产值为()A．120万元 B．124万元C．130万元 D．135万元解析：设该厂每天支配生产甲产品x吨，乙产品y吨，则日产值z＝8x＋12y，线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋3y≤56，,20x＋50y≤450，,x≥0，y≥0，))作出可行域(如图所示)，把z＝8x＋12y变形为一簇平行直线系l：y＝－eq\f(8,12)x＋eq\f(z,12)，由图可知，当直线l经过可行域上的点M时，截距eq\f(z,12)最大，即z取最大值，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋3y＝56，,20x＋50y＝450，))得M(5，7)，zmax＝8×5＋12×7＝124，所以，该厂每天支配生产甲产品5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元．答案：B2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供运用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为________元．解析：设需运用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，依据题意，得线性约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋10y≥100，,0≤x≤4，,0≤y≤8，,x，y∈N*，))目标函数z＝400x＋300y，画图(图略)可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4，2)时，z取得最小值2200.答案：22003．某玩具生产公司每天支配生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样安排生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4（100－x－y）≤600，,100－x－y≥0，,x∈N，,y∈N，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\