2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测五复数的几何意义含解析新人教B版必修第四册

PAGE五复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.在复平面内,复数z=2i-i2对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.复数z=2i-i2=1+2i对应的点为(1,2),在第一象限.2.设z=a+bi(a,b∈R)对应的点在虚轴右侧,则 ()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.b>0,a∈R D.a>0,b∈R【解析】选D.复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于零,虚部可为随意实数.3.设复数z=(3m-2)+(m-1)i(m∈R,i为虚数单位),在复平面内对应的点不行能位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.设复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点为P(3m-2,m-1).当m>1时,P在第一象限;当m<QUOTE时,P在第三象限;当QUOTE<m<1时,P在第四象限;当m=QUOTE时,P在虚轴上;当m=1时,P在实轴上.4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 ()A.5 B.-2 C.-5 D.2【解析】选A.设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点),则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).因为A,B,C三点共线,所以=t+(1-t),即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a).所以QUOTE解得QUOTE即a的值为5.5.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则QUOTE等于 ()A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i【解题指南】先确定复平面内点的坐标,再求其关于实轴的对称点的坐标,得到共轭复数.【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,QUOTE与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以QUOTE=2-i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是 ()A.QUOTE=a-bi B.若QUOTE=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0 D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得QUOTE=a-bi,选项A正确;若QUOTE=z,则a+bi=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a、b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知复平面内,点(2cos300°,2sin300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.

【解析】由点的坐标(2cos300°,2sin300°),得(1,-QUOTE),对应的复数为z=1-QUOTEi,|z|=2.答案:1-QUOTEi28.已知z=(m+3)+(m-1)i,(m∈R),在复平面内对应的点为P,则当P在第三象限时,m的取值范围为________,当P在第四象限时,m的取值范围为________.

【解析】当P点在第三象限时,QUOTE解得m<-3;当P点在第四象限时,QUOTE解得-3<m<1.答案:(-∞,-3)(-3,1)【补偿训练】已知i为虚数单位,复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.

【解析】因为z1=2-3i,所以z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3),所以z2=-2+3i.答案:-2+3i三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求:(1)实数x,y的值;(2)QUOTE.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,由复数相等的充要条件得QUOTE解得QUOTE.(2)QUOTE=x-yi=3+2i.10.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满意|(x+1)+(y-1)i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解题指南】由题意简单推断出z对应点的轨迹是圆,结合点与圆的位置关系求出|z|的最值.【解析】设复数z对应的点为Z,由|(x+1)+(y-1)i|=1得(x+1)2+(y-1)2=1,所以动点Z的轨迹是以(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点为圆心,以1为半径的圆,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何学问可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.所以|z|最大值为|OC|+r=QUOTE+1,最小值为|OC|-r=QUOTE-1.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.过原点和QUOTE-i对应的点的直线的倾斜角是 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为QUOTE-i在复平面上的对应点是(QUOTE,-1),所以tanα=QUOTE=-QUOTE(0≤α<π),所以α=QUOTEπ.2.瑞士闻名数学家欧拉发觉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位),它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有特别重要的地位.特殊是当x=π时,eiπ+1=0被认为是数学上最美丽的公式,数学家们评价它是“上帝创建的公式”.依据欧拉公式可知,ei表示的复数在复平面中位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解题指南】令x=1,则ei=cos1+isin1,又由sin1>0,cos1>0,依据复数的几何意义即得答案.【解析】选A.由题意,依据公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位),令x=1,则ei=cos1+isin1,又由sin1>0,cos1>0,所以复数ei=cos1+isin1表示的点位于第一象限.【补偿训练】已知复数z=3+4i所对应的向量为,把依逆时针旋转θ得到一个新向量为,若对应一个纯虚数,当θ取最小正角时,这个纯虚数是 ()A.3i B.4i C.5i D.-5i【解析】选C.因为=QUOTE=5,由于新向量对应的点Z1在虚轴上,则新向量=(0,5),即新向量对应的复数是5i.3.(多选题)在复平面内,下列关于复数的叙述正确的是 ()A.原点对应的复数是0B.纯虚数对应的点在虚轴上C.实轴上的点对应的复数是实数D.虚轴上的点对应的复数是虚数【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确;纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosB-tanA)+tanBi对应的点位于复平面的 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>QUOTE,即A>QUOTE-B,sinA>cosB.cosB-tanA=cosB-QUOTE<cosB-sinA<0,又tanB>0,所以点(cosB-tanA,tanB)在其次象限.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为________.

【解析】在复平面内,点(2,3)对应的复数为z=2+3i,共轭复数为QUOTE=2-3i.答案:2-3i6.复数z1=3与z2=2-QUOTEi对应的两点间的距离为________.

【解析】复数z1=3与z2=2-QUOTEi对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-QUOTE)间的距离为|Z1Z2|=QUOTE=2.答案:27.已知z=x+yi(x,y∈R),且(x-|z|)+yi=-1+i,则复数z=________.

【解析】由题意得(x-QUOTE)+yi=-1+i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=i.答案:i8.设(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i对应的点在直线x+y+1=0上,则tanθ的值为________.

【解析】(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i的对应点为(sinθ-1,sinθ-cosθ),由点(sinθ-1,sinθ-cosθ)在直线x+y+1=0上,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(共38分)9.(12分)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以QUOTE所以QUOTE即a的值为-QUOTE.10.(12分)设z=log2(1+m)+iloQUOTE(3-m)(m∈R).(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.【解析】(1)由已知,得QUOTE解①得,-1<m<0.解②得,m<2.故不等式组的解集为-1<m<0,所以m的取值范围是-1<m<0.(2)由已知得,点(log2(1+m),loQUOTE(3-m))在直线x-y-1=0上,即log2(1+m)-loQUOTE(3-m)-1=0,所以log2[(1+m)(3-m)]=1,所以(1+m)(3-m)=2,所以m2-2m-1=0,所以m=1±QUOTE,且当m=1±QUOTE时都能使1+m>0,且3-m>0,所以m=1±QUOTE.11.(14分)设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x