吉林省白城市通榆县第一中学2024-2025学年高二数学下学期第四次月考试题理含解析

PAGE15-吉林省白城市通榆县第一中学2024-2025学年高二数学下学期第四次月考试题理（含解析）一､选择题1.若为实数,且,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.2.在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据三角函数图象伸缩变换原则可知需坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的，从而可得结果.【详解】将变为需将：的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的本题正确选项：【点睛】本题考查曲线的伸缩变换，涉及到三角函数伸缩变换原则，属于基础题.3.极坐标方程（-1）（）=0（0）表示的图形是A.两个圆 B.两条直线C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线【答案】C【解析】4.在极坐标系中，点到曲线的距离等于（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】将极坐标转化为直角坐标，极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为，即为，曲线即，化为直角坐标方程为，则到直线的距离等于.故选:B.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题.5.将参数方程（为参数）化为一般方程（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求自变量x的取值范围，由的取值范围，可知的范围.①，②，再将②-①可消去即可解.【详解】解：∵，∴.又∵，则有，由①，②，②-①可得，∴将参数方程（为参数）化为一般方程是，故选：C．【点睛】考查直线的参数方程消参化一般方程，要留意自变量x的取值范围.经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.题目难度较易.6.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.【详解】由题意，，，则曲线在点处切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算实力，属于基础题.7.已知函数，则函数的单调递增区间是（）A.和 B.和C.和 D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求导，依据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．【详解】函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．故选C【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是留意定义域，属于基础题．8.若(为自然对数的底数)，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．【详解】解:由，所以.故选:C.【点睛】本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分，属于基础题．9.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满意的条件；利用基本不等式求出ab的最值；留意利用基本不等式求最值需留意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需留意：一正、二定、三相等．10.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，留意应用导数探讨函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11.有5名同学进行投篮竞赛，决出第1名至第5名的不同名次，教练在公布成果前透露，五名同学中的甲､乙名次相邻，丙不是第一名，丁不是最终一名，依据教练的说法，这5名同学的名次排列最多有（）种不同的状况.A.28 B.32 C.54 D.64【答案】A【解析】【分析】依据题意，用间接法分析：先计算五人中甲､乙名次相邻的状况，再分析其中“甲､乙名次相邻且丙是第一名”､“甲､乙名次相邻且丁是最终一名”和“甲､乙名次相邻且丙是第一名排法同时丁是最终一名”的排法数目，据此分析可得答案.【详解】依据题意，用间接法分析：五名同学中的甲､乙名次相邻，有种状况，其中甲､乙名次相邻且丙是第一名排法有种，甲､乙名次相邻且丁是最终一名排法有种，甲､乙名次相邻且丙是第一名排法同时丁是最终一名排法有种；则有种.故选：A【点睛】本题考查排列组合的应用，假如限制条件比较多，可以选用间接法分析，避开分类探讨.12.若函数的定义域是，，，则不等式的的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，问题转化为，求导推断单调性即可.【详解】构造函数，则不等式可转化为，则，∵，∴，则函数在上单调递减，∵，∴，则的解集为，则不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，适当构造函数，利用导数求解是解题的关键.二､填空题13.的绽开式中第三项的系数为_________．【答案】6【解析】【分析】利用二项绽开式的通项公式，当时得到项，再抽出其系数.【详解】，当时，，所以第三项的系数为，故填.【点睛】本题考查二项绽开式的简洁运用，考查基本运算实力，留意第3项不是，而是.14.由数字2,0,1,7组成没有重复数字的四位偶数的个数为__________．【答案】10【解析】零结尾的有个，结尾的先排首位，故有个，故有个.15.若，则__________．【答案】【解析】分析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.【详解】令，则；令，则.上述两式相加得.故答案为：.【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算实力，属于中等题.16.直线(为参数)与圆有两个交点，，若点的坐标为，则______.【答案】4【解析】【分析】将化为一般形式，代入圆，得到一个一元二次方程，求出解，求得的值.【详解】解：由直线参数方程，化为：，代入圆，解得或.所以，故答案为：4.【点睛】本题考查直线的参数方程，直线与圆相交的性质，属于基础题.三､解答题17.求下列函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案；（2）由导数乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．【详解】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得.【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中娴熟驾驭导数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．18.已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）.（2）的单调增区间，，单调减区间为，微小值为，极大值为【解析】【分析】（1）求出函数的导数，将代入导函数求出即可；（2）求导数，解不等式，，即可得单调区间，由极值定义可求得极值.【详解】（1），所以；（2），令，解得或，令，解得：，∴，为函数的单调增区间，为函数的单调减区间；∴微小值为：，极大值为：.【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性､极值问题，精确求导，弄清导数与函数性质间的关系是解题关键.19.已知名学生和名老师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排老师，有多少种排法？（2）两名老师不能相邻的排法有多少种？（3）两名老师不站在两端，且必需相邻，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先排老师有种方法，再排学生有种方法，再依据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有种方法，依据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有种方法，再从4名学生种选2名排两端，有种方法，最终将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有种方法，由乘法原理即可得到答案.【详解】（1）；（2）；（3）.【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特别位置要优先排．不相邻问题用插空法，解答排列、组合应用题要从“分析”、“辨别”、“分类”、“分步”的角度入手.20.已知函数在点处的切线方程是．（1）求实数值；（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，推断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．【详解】（1）因为，，则，，函数在点处的切线方程为：，由题意得，即，.（2）由（1）得，函数的定义域为，∵，∴，，∴在上单调递减，在上单调递增．故在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为．又，，且．∴在上的最大值为.综上，在上的最大值为，最小值为【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算实力,精确计算是关键，是中档题.21.设常数，函数.（1）令时，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；（2）求证：在上是增函数；（3）求证：当时，恒有.【答案】（1）最小值为，最小值大于零.（2）证明见解析.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导，确定函数的解析式，再对函数求导，列表推断出该函数的单调性以及极值，最终确定函数的最小值，再推断的最小值与零的大小即可；（2）利用（1）中的结论，可以推断出函数的正负性，进而能证明出的单调性；（3）利用（2）中的结论进行证明即可.【详解】（1）因为，所以.所以，所以，令，得.列表如下：20减微小值增所以在处取得微小值，即的最小值为，因为，所以，又，所以即的最小值大于零.（2）由（1）知，的最小值为正数，

所以对一切，恒有.从而当时，恒有，故在上是增函数.（3）由（2）知在上是增函数，所以当时，.又，所以，即，所以，故当时，恒有.【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的最值､单调性，考查了利用函数的单调性证明不等式恒成立问题，考查了数学运算实力.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的一般方程；（2）求直线被曲线所截得的弦长.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为.直线的一般方程为.（2