第二章 解析函数

第二章解析函数

复变函数是自变量与因变量都取复数值的函数，而解析函数是复变函数中一类具有特殊

性质的可导函数，它在理论研究和实际问题中有着广泛的应用.本章首先介绍复变函数的概

念、极限与连续性，然后讨论函数解析的概念和判别方法，最后把我们所熟知的初等函数推

广到复数域上来，并说明它们的解析性.

§2.1复变函数的概念、极限与连续性

1.复变函数的概念

定义2.1设E为一复数集.若对E中的每一个复数z=x+(y,按照某种法则/有确定的

一个或几个复数卬=“+是与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数)，

记作

w=/(z).

通常也称w』z)为定义在E上的复变函数，其中E称为定义域，E中所有的z对应的一切w

值构成的集合称为_/(z)的值域，记作AE)或G.

若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数负z)是单值的；若z的一个值对应着w

的两个或两个以上的值，则称复变函数人z)是多值的.例如卬=|z|,w=z是单值的；

w=Argz(z^O),w=y[z(z^O,n>2)是多值的.

为了叙述简便起见，在不引起混淆的情况下，我们将复变函数Kz)简称为函数Ez),

而将微积分中的函数称为实函数.

由于复数与分别对应实数对(x,y)和(M,V),那么对于函数“、v

为x、y的二元实函数〃(x,y)和v(x,y),所以>可⑵又常写成vv="(x,y)+iv(x,y),从而对复变函

数4z)的讨论可相应地转化为对两个实函数〃(x,y)和v(x,y)的讨论.

考察函数w=z2+l.令w=u+iv,那么

w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,

从而w=z2+l对应于两个实函数u-x2-y2+\和v^lxy.

又如函数卬=中,〃为正整数，令z=re®,w^u+iv,那么

w-u+iv-(re'")"—r"cosnd+ir"sinnd,

此时w-z!'对应于两个实函数M=/'cos”。和u=r"sinnd.

在微积分中，一元实函数可以理解成数轴上两点集之间的映射，二元实函数则可以看成

是平面上的点集与数轴上的点集之间的映射.那么，对于复变函数w=/(z)即"+iv』x+iy),则

可以理解为两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变函数卬=/(z)给出了z平面上的

点集E到w平面上的点集汽£)(或G)之间的一个对应关系：

VzeE-卬w/(z)eG,

其中W称为Z的象，Z称为W的原像.

例如函数W=z2将Z平面上的点八I+i分别映射到W平面上的一点-1、2i,将区域

TI

0<argz<5•映射成卬平面上的区域0<argG〈兀.

例2.1函数卬=,将2平面上的直线尸1变成W平面上的何种曲线？

解：设2=工+8,卬=〃+加=—=-----=------

zx-\-iyr+y

则

xy

V=

u=-2522

x+y

Z平面上的直线对应于W平面上的曲线:

]_y

i+r'"i+y2

又

22

W+V

(0一：)2+V2=；

24

所以W=L将Z平面上的直线x=l变成了卬平面上的一个以(L,0)为中心，上为半径的圆

z22

周.

与实函数一样，复变函数也有反函数的概念.

设函数g(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的任一点卬,在E中存在一个或几个点

z与之对应，则在G上确定了一个单值或多值函数，记作2=尸(卬)，它就称为函数卬=/(z)的反

函数.需要注意的是单值函数的反函数不一定是单值函数，例如的反函数就是一个多值

函数.

如果函数W=/(Z)与它的反函数2=尸(卬)都是单值的，那么称函数W=/(Z)是一一对应的.

2.复变函数的极限

定义2.2设函数E(z)定义在Z0的去心邻域o<|z-zo|<r内，若存在常数A,对于任意给

定的£〉0,都存在一正数J(0<r)，使得当O<|z-zo|<5时，有

\f(z)-A\<£,

则称函数4z)当z->z0时的极限存在，常数A为其极限值.记作

lim/(z)=A

ZfZo

或/(z)->A(z->z(>).

该定义的几何意义是：当变点Z进入20的充分小的去心b邻域时，它的象点Kz)就落

入4的一个预先给定的£邻域内.

图2.3

复变函数极限的定义与微积分中二元实函数极限的定义在形式上十分相似，因而可以类

似证明得到结论：若极限存在则必唯一.

值得注意的是定义中Z-Z0的方式是任意的，也就是说，Z在Z0的去心邻域内沿任何曲

线以任何方式趋于Z0时，y(z)都要趋向于同一个常数A.而对于一元实函数y(x)的极限

lim/(x),其中xf与指在x轴上x只沿xo的左右两个方向趋于xo.显然复变函数极限存在

1闻

的要求要苛刻得多.

关于极限的计算，有下面的两个定理.

+

定理2.1^fiz)=u(x9y)+iv(x,y)9zo=xo+iyoA=^ibf则

lim/(z)=Aolimu(x,y)=a,(2.1)

z->2b*，y)f(N)，)b)

limv(x,y)=b.(2.2)

证明：先证必要性.已知

lim/(z)=A,

ZTZo

那么根据定义2.2,即对Ve>0,必m6>0,当

O<|z-zo|=|(%+z»-(xo+i%)|=正-/了+⑶一姬<8

时，有

注意到

-a|<\l(u—a)2+(v—b)2,|v—Z?|<yl(u—a)2+(v—Z?)2.

所以，当0<J(x_/)2+(y_%)2v3时,有

\u-a\<\v-t\<£

成立.即

limw(x,y)=a.limv(x,y)=b.

(x,y)f*o，yo)a,y)->(%,)b)

再证充分性.已知(2.1)、(2.2)式成立，即当0<J(x—x())2+(y—%)2<3时,有

因此

|/(z)-A|=|(“一a)+i(u_切区1〃_a|+1y_4<£.

所以，当

2

0<|z-z0|=^x-x^+(y-y^)<3

时，有|f(z)-A|<£,即

limf(z)=A.

ZTZo

定理2.1将求复变函数〃)=依,)，)+认和)的极限问题转化为求两个二元实函数〃(xj)和

u(xj)的极限问题.

定理2.2(极限运算法则)若

lim/(z)=A,limg(z)=B,

Zf4z->q

则

⑴lim(/(z)±g(z))=A±8;

Zf4)

(2)lim〃z)・g(z)=AB;

ZTZ()

⑶lim=4(B#O).

zfeg(z)B

定理2.2说明若两个函数y(z)和g(z)在点ZO处有极限，则其和、差、积、商(要求分母不

为零)在点Z0处的极限仍存在，并且极限值等于y(z)、g⑵在点ZO处的极限值的和、差、积、

商.

⑴%)=当詈

\z\

Re(z-)

(2)/(z)=.

\z\

判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值.

解：(1)方法一.因为/Xz)=|z|四24|z|，所以V£>0,取3=£,当0<|z|<5时,

Z

总有

|/(z)-O|=|/(z)|<|z|<^

根据极限定义，lim/"(z)：。.

z->0

方法二.设z=x+iy,则

/)=弃空x2

+y2

可得

"(3)=/J2

㈠+y5号

又

2

X

limlim=0.

(x,y)->(0,0)(x,y)f(0,0)1^2+),2

根据定理2.1,有Hmf(z)=0.

z->0

(2)方法一.设—Q则

z2=x2-y2+2xyi,|z|2=x2+y2.

从而,⑶=竽=..于是可得

X2—y2

W(x,y)=~~r,v(x,y)=0.

厂+y

让z沿直线产区趋向于0,有

lim=

(居y)->(0,0)XTOX-+k~X~1+k~

显然它随"值的不同而不同，所以&不存在，虽然」亶产，加。.根据

定理2.1,lim，(z)不存在.

方法二.设z=2'=r(cos0+zsin&),则

“、/cos26一万

f(z)-----；---=cos23.

r

让z沿不同射线argz=6趋向于。时，/(z)趋向于不同的值.例如，当6=0时，/(z)-l；

7T

当。=一时，y(z)f0.所以lim/(z)不存在.

4ZT0

3.复变函数的连续性

定义2.3若lim/(z)=/(Zo),则我们就说函数火z)在点zo处连续.如果函数y(z)

在区域。内每一点都连续，那么称函数;(Z)在区域。内连续.

复变函数连续性的定义与微积分中二元实函数连续性的定义相似,我们可以类似得到如

下两个定理.

定理2.3若火z)、g(z)在点zo连续，则其和、差、积、商(要求分母不为零)在点zo

处连续.

定理2.4若函数〃=g(z)在点zo连续，函数Q=/(〃)在〃o=g(zo)连续，则复合函数

(P=.f(g(z))在zo处连续.

根据函数连续性定义及定理2.1,有下面的定理成立.

定理2.5设函数/(z)="(x,y)+iv(x,y),z()=%+认,则・穴z)在点zo连续的充分必要

条件是u(x,y)>v(x,y)均在点(刖,阿连续.

由于连续性是在极限概念的基础上定义的，只要注意到定理2.1中的a、b分别为这里

的〃(沏,刈)、v(xo,yo)，即可得到证明.

定理2.5说明复变函数的连续性可以转化为相应两个二元实函数的连续性来讨论.

由定理2.3可以得到如下结论：

(1)多项式w=&z"+4z"T+…+a,-z+an在整个复平面上连续；

(2)任何一个有理分式函数a1'+qz”:+…+”"T二+以"在复平面上除去使分母

的…+■，+勾

为零的点外处处连续.

例2.3讨论函数argz的连续性.

解：当z=0时，argz无定义，因而不连续.

当zo为负实轴上的点时，即zo=xo<O,则

y

limargz=lim(arctan——兀)=一兀，

..y

limargz-lim(arctan—+兀)=兀，

+

y->0,z-»z0X

所以argz在负实轴上不连续.

若zo=xo+iyo不是原点也不是负实轴及虚轴上的点时，这时有

arctan（^/x）,

argz-\

arctan（y/x）±K,

因为x（）wO,所以

[arctan（y/x）,[arctan（y/x）,

limargz=lim<=<

—*,））­（.%%）[arctan（y/x）±兀，[arctan（y0/%）±兀，

即

limargz=argz0.

ZTZ（）

故argz在除去原点和负实轴及虚轴的复平面上连续.

当zo为正、负虚轴上的点zo=iyo（yo#0）时，有

「,兀

limargz=±—=argz0.

ZT飞2

即argz在虚轴上也连续.

因此argz在复平面上除了原点和负实轴外连续.

设方为复平面上的有界闭区域，函数卜1段）在方上连续，则函数Xz）在方上有界，即

存在常数M使对于X/ZE），都有

在闭曲线或包含曲线端点在内的曲线段上连续的函数Hz）在曲线上有界，即|/（z）|WM.

§2.2解析函数的概念

1.复变函数的导数

定义2.4（导数的定义）设函数Fz）定义在z平面上区域。内，点zo、zo+Azw。,

AwG=/（z0+Az）-/（z0）,若极限

lim竺lim/G+M7(z。)

4->oAZAZ

存在，则称函数4z）在zo可导，这个极限值称为y（z）在力的导数，记作

业|=lim/G+Az)-/(Zo)

(2.3)

dz°Az

定义2.4与一元实函数导数的定义形式相同，但是（2.3）式中的比值/屹。+'二）二/（Z。）

Az

作为变量上的函数，当z0+Az在区域。内沿任何曲线以任何方式趋于zo（即Az-0）时，函

数都趋向于同一个常数/（zo）.由此可见，复变函数可导比一元实函数可导要求更高.

若函数Xz）在区域D内每一点都可导，则称函数/z）在区域D内可导.

例2.4求函数式2）=/（〃为正整数）的导数.

解：因为

也=Hm/⑶=Hm(z+Az1

dzif。Az垓―。Az

=lim(C'z'-'+C；Z,,-2AZ+…+CrzAz"-2+C；；Az,,-1)

Az->0

=C!,zn-'=nz"-',

所以

拄)=应吐

这说明z"(n为正整数)在整个z平面上处处可导.

例2.5考察函数4z)=」在整个z平面上的可导性.

z

解：显然z=0没有意义.当才0时，因为

11

-

r/(Z+Az)-/(Z)..ZTAZ!r11

M—OAZM—OAZ^-»OZ~+(Az)zz

所以

r(z)=—4(zw).

z

即J_在整个z平面上除去原点外处处可导.

Z

例2.6研究函数/(z)=2在整个Z平面上的可导性.

解：令z=x+iy,Az=Ax+zAy,因为

f(z+Az)-f(z)z+Az-zz+Az-z

lim----------=lim--------------=lim---------

Az->oAzAzfOAzAzfOAz

..AzAr-zAy

=lim—=lim--------,

ADAzA"oAr+z'Ay

让z+Az沿着平行于x轴的直线趋于z,此时八丁二。，极限

Ax-zAyAx.

hm------—=hm——=1.

Ax+z'AyA'l。Ar

让z+Az沿着平行于y轴的直线趋于z,此时孤=0,极限

..Ar-zAv..-zAy,

hm--------=hm——-=-l.

A=TOAr+iAyAVTO壮丫

所以乞在整个z平面上处处不可导.

从例2.6可以看出，函数负z)=5=x-b在整个Z平面上处处连续但处处不可导.这说明函

数1z)在某点连续并不能保证在该点可导.

但是反过来，函数/(z)在某点可导则一定在该点连续.

事实上，若函数Xz)在点20可导，根据导数的定义，用极限语言来表达，即:对于V£>0,

必定三5>0,使得当0<|Az|<S时，有

—二△更一一%)<£,

Az

令

=①)-------;---------J(z。),

Az

于是|a(Az)|<£

则有

lima(Az)=0.

Az->0

又因为

/(Zo+Az)-/(Zo)=/'(Zo)Az+<z(Az)Az,(2.4)

所以

lim/(z0+Az)=/(z0).

Az->0

即式z)在zo连续.

由于复变函数导数的定义在形式上和一元实函数的导数定义一致,并且复变函数中的极

限运算法则与实函数中一样，所以微积分中几乎所有的关于函数导数的计算规则都可以不加

更改地推广到复变函数中来.现将几个常用的求导公式与法则列举如下：

(i)(cy=o其中c为复常数；

(2)(z7="z?其中〃为正整数;

(3)伽)土g⑵)可⑵土g'⑵；

(4)々z)g(z))寸(z)g(z)切>)g'(z);

(6)(Ag(z)))7(w)g'⑵，其中w=g(z);

⑺若两个单值函数呼比z)与z=6(w)互为反函数，且"(w)#0,则有

1

h\w)

2.解析函数的概念

定义2.6若函数y(z)在点zo及zo的邻域内处处可导，则称函数人z)在点为解析.若函数

式z)在区域D内每一点都解析，则称函数,/(z)在区域D内解析，或称人z)是D内的解析函数.

若4z)在点外不解析，但在zo的任一邻域内总有人z)的解析点，则称zo为4z)的奇点.

奇点总是与解析点相联系，对于那些处处不解析的函数来说，就没有奇点的说法.例如

/(z)=L在z平面上除去原点外处处解析，这里z=0显然是奇点；而函数彳在整个z平面上

z

处处不解析，那么对于2,就没有奇点.也就是说，不解析的点不一定是奇点.

函数在区域内解析和在区域内可导是等价的，但是函数在一点处解析和在一点处可导并

不等价，函数在一点解析不仅要求在该点可导，而且还要求在该点的某个邻域内也可导.

例2.7研究函数/(z)=zRe(z)的解析性.

解：设z=x+iy,zo=xo+iyo.当z(#0时，则

「Aw..zRe(z)-zRe(z)

lim——=hm----------0------0-

ZTZ°AzZfz°Z-Zo

.zRe(z)-z0Re(z)+z0Re(z)-z0Re(z0)

()

ZT2Z-Z0

=limzRe(z)-z°Re(z)十5z0Re(z)-々斥❷)

ZTZOZTZQ

Z-ZoZ-ZO

XX()

=limfx+z0\

ZTZ°[Z-zJ

令x=xo,yfyo,则

..Aw

lim---=x.

(x,y)-»(与,为)Az0

令产yo,x-\xo,则

「Awc

lim---=2x+zy.

(x,y)f(.“,％)Az00

显然，当z#0时，两极限值不相等，这说明./(z)=zRe⑵当窃弟时不可导.

当4=0时，有.

△卬zRe(z)

lim——=lim-------=0.

2->0AzZfZo2

所以函数加)=zRe⑵仅在z=0处导数存在.根据定义，它在z平面上处处不解析.

例2.8研究分式线性函数

az+b

w=-----

cz+d

的解析性，式中a,b,c,d为复常数，且ad-bc^O.

解：由导数的运算法则，除了使得分母为零的点2=4/外，这个函数在复平面上处处可

导.因此，除了点z=-d/c外，它在复平面上处处解析，且

a(cz+d)-c(az+〃)ad-be

9=7

(cz+d)(cz+d)~

根据求导法则，显然有

定理2.6(1)在区域。内解析的两个函数y(z)和g⑵，其和、差、积、商(要求分母不

为零)在区域。内解析.

(2)设函数依g(z)在z平面上的区域。内解析，函数在〃平面上的区域。*内解

析.若对于。内每一点z,g(z)的对应值/?落在O*内，则复合函数夕Xg⑵)在区域。内解析.

§2.3函数可导与解析的充要条件

如果根据定义来判断函数在一点可导或在一区域内解析，有时是很困难的.本节将介绍

判别函数可导与解析的简便方法.首先我们给出柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程的定义.

定义2.6对于二元实函数〃(x,y)和v(x,y),方程

dudvdudv

—=~~,一=---.(2.5)

dxdydydx

称为柯西・黎曼方程(简记为C-R方程).

定理2.7设函数12)=〃(»)+，心,)，)在区域。内有定义，则危)在区域。内一点z=x+iy

可导的充要条件是

(1)二元实函数〃阮y)和u(x,y)在点(x,y)可微；

(2)“(Xj))(xj)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程.

证明：先证必要性.设贝z)在区域。内一点zr+iy可导，则由(2.4)式，有

Avv=/'(z)Az+a(Az)Az,(2.6)

其中cr(Az)f0(Az—>0).令

Avv=Aw+zAv,Az=Ax+iAy，r(z)=a+i/3.

则(2.6)式为

△〃+zAv=(a+i/?)(Ax+i\y)+a(Az)Az.

令£]=Re(<z(Az)Az),6,2=Im(6Z(Az)Az),这里马,？都是关于+的高阶无穷小

量.对(2.7)式，由复数相等的定义有

Aw=a\x-/3\y+0,

Aw=+弓.

根据二元实函数微分的定义可知，〃(x,y)与u(x,y)在点阮y)可微，并且有\\

dudvdudv

a——=—nI)-----二—

dxdy，dydx

再证充分性.已知"(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，即有

.dudu

△u——AAxH---AAy+与,

dxdy

.dv.dv.

Av=—+—Ay+6*2，

dxdy

其中知务是关于向77y的高阶无穷小量.又

Aw=(〃(％+&,y+Ay)-w(x,y))+z(v(x+Ar,y+Ay)-v(x,y))=△〃+zAv,

所以

(du34Al加A)

——Ax+——Ay+2——Ax+——Ay

AwAw+iAv(dxdyJ^dxdy'J

---=---------=------------------------------------F£、

AzAr+zAyAr+iAy

这里£=.9+畛，£是无穷小量.因为

Ax+iAy

1

16*14/=+I=•

7Ax2+Ay2J"+.y2

由于〃(x,y)、Hr,y)满足柯西-黎曼方程，故有

一△卬du,dv

lim---=---Fi—・(2.8)

AJO2dxdx

这就说明了函数,/(z)=〃(尤j)+iv(Xy)在点z=x+iy可导.

(2.8)式给出了计算函数导数的公式，由柯西-黎曼方程，函数导数公式有如下四种形式:

、du,dvdv.dvdu,dudv.dv

t(z)=-------Fi—=----1—=----1—=----1-1—.(2.9)

dxdxdydydxdydydx

由定义2.5及定理2.7,我们有

定理2.8函数7(z)="(x,y)+iv(x,y)在区域。内解析的充要条件是

(1)二元实函数"(x,y)和v(x,y)在D内可微；

(2)"(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程.

定理2.7与定理2.8将判定函数_/(z)的可导性与解析性转化为判定两个二元实函数〃(x,y)

与v(x,y)是否可微并且满足柯西-黎曼方程.这两个条件如果有一个不满足，那么函数,*z)在一

点处不可导或在一区域内不解析.在具体应用中，由于a(x,y)与v(x,y)是否可微这一条件不易

判断，因此常常用"(x»)与v(x,y)的一阶偏导是否存在且连续来代替.于是得到如下推论.

推论2.1若"(x,y)与v(x,y)的一阶偏导在点(x,y)(或区域。内)存在而且连续，并满足

柯西-黎曼方程，则y(z)在点(x,y)可导(在区域。内解析).

例2.9讨论下列函数的可导性与解析性.

(l)/(z)=Im⑵；

(2)/z)=|zFz.

解：(1)设z=x+iy,则加)=Im(z)=y.显然u(x,y)=y,v(xj)=O都在复平面上可微.但是

du_du,dvOu八

—=0,—=1,—=M□,—=U.

dxdydxdy

因此，在复平面上〃(x,y),v(x,y)不满足柯西-黎曼方程.所以,/(z)=Im(z)在复平面上处处不可

导,处处不解析.

(2)设z=x+iy,则

因为"(x,y)=(/+y2)x,y(x,)，尸(N+y2),都在平面可微，且

du_2,2Su_Cdv2c2

—=3x+y,—=2AT,—=2xy,—=x+3y.

dxdydxdy

显然，整个复平面上仅在(0。)点满足柯西-黎曼方程，所以式z)=|zFz仅在点(0,0)处可导，处

处不解析.

例2.10试证函数式z^eYcosy+isiny)在z平面上解析，且一⑵可⑶.

证明：因为«(x,y)=eAcosy,心,y)=eSiny在平面上可微，而

dudu.dv.dv

—=excosy,—=-exsiny,—=exsmy,—=excosy.

dxdydxdy

〃(％)，)/(元,)，)在平面上每一点都满足柯西一黎曼方程，所以4Z)在复平面上解析，由(2.9)式,

得

vA

/(z)=wA4-/vA-=ecosy4-zesiny=y(z).

例2.11证明柯西-黎曼方程的极坐标形式(z平面取极坐标，W平面取直角坐标)是

证明：设x="os6,y=rsin0,〃=〃(%,y)/=u(x,y).根据复合函数的求导法则与直角坐标下的

柯西-黎曼方程有

dududxdudy八3〃.八du

—=-----+-=cos0——+sinJ—,

drdxdrdydrdxdy

dududxdudy.ndundu

~80=-------1-------=-rsinc/hrcos”—,(2.11)

dx50dyd0----------dxdy

dvdvdxdvdy八3〃.八du

=-----+----=-cosu—+sin。一,(2.12)

drdxdrdydrdydx

dvdvdxdvdy.ndu八du

茄=--------1------=rsin”---1-rcosc/—.(2.13)

dxd0dyd0dydx

分别比较(2.10)和(2.13)式，(2.11)和(2.12)式,得

du_l_dv_dv_1du

dr~rdO'dr~rde'

§2.4初等函数

本节将介绍复变数的初等函数，这些函数是微积分中通常的初等函数在复数域中的推

广，它们既保持了原有的某些基本性质，又有一些不同的特殊性质.下面我们来研究这些函

数，并说明它们的解析性.

1.指数函数

定义2.7对于复变数z=x+iy,定义指数函数为：

e2==ex(cosy+isin_y).

ez又用记号exp(z)表示.

复指数函数e二具有如下性质：

;vRe(2>2

(1)|e|=e=e>0,Arg(e)=y+2kn=Im(z)+2E；

(2)在复平面上e¥0;

(3)当Im(z)=)=0时,则ex=ev;

(4)当Re(z)=x=0时，则e;=e,v=cosJH-«sin>,,此为欧拉公式；

(5)哲在z平面上处处解析，且©We。,由2.3节例题2.10可知；

(6)加法定理成立，即

片以=内,(2.14)

—=ef(2.15)

e22

下面证明(2.14)式，(2.15)式可以类似证明.

证明：令zi=xi+iyi,Z2=X2+(y2.则

A,

e与e二2二e(cosy{+zsiny)e巧(cosy2+zsiny2)

=ex,+A'2(cos(y+必)+isin(y+%))

_e(xl+x2)+i(yl+y2)_

另外，由于eze-2=e°=l，所以。一二二」-.

e"

(7)e二是以2m•为基本周期的周期函数.

因为对于任给的正整数匕由性质(6)有

e2+2fat/=e2•e2A兀'=ez(cos2kn+isin2kjt)=ez.

(8)极限limez不存在，即e°°无意义.

z-*oo

事实上，当Z沿实轴趋于+8时,ezf+8；当Z沿实轴趋于一8时一，3—0.

需要注意的是:尽管在复平面上有e：=e12加(人为整数)，但(e)=e*o,即不满足罗尔定

理，所以微积分中的微分中值定理在复数域中不再成立.不过洛必达法则在复平面上仍适用.

2.对数函数

定义2.8规定对数函数是指数函数的反函数，即若

eJz-O)

则称函数w=z)为z的对数函数，记作vv=Lnz.

令忻〃+论则

eM+n—eMe,v=|z|e/Argz.

显然，〃=ln|z|,v=Argz,从而

vv=M+zv=ln|z|+/ArgzALnz.

注意到Argz是多值函数，所以对数函数w=/(z)也是多值函数.上式中Argz取主值

argz(-兀vargz。)时对应的卬值称为Lnz的主值,并记作lnz=ln|z|+iargz.这样对数函数可表示为:

w=\nz=\nz+2k7ti=\n\z\+iargz+2kni,2=0,±1,±2,….

上式中对于每一个确定的太对应的w为一单值函数，称为Lnz的一个分支.

例2.12In3=ln3+2hii(60,±1,±2,…)；

ln(-l)=lnl+7rz=7uz;

ln(-1)=ln(-1)+2to,=7cr+2A7cz=(2fc+1)TTZ(fc=0,±1,±2,…).

此例说明复对数函数是实对数函数在复数域中的推广.在实数域中“负数无对数”，这个

结论在复数域中不成立，并且正实数的对数也是无穷多值的.

但复对数函数保持了实对数函数的如下性质：

ln(zjZ2)=lnzi+lnZ2,(2.16)

In—=Inz,-lnz0,(2.17)

\Z2)

其中ZI,z#0.这两个式子可以这样理解：对于等式左边的多值函数的任一个值，等式右边的

两个多值函数一定各有一个适当的值与之对应，使等式成立，反之亦然.也就是说，等式两

端可能取值的函数值的全体是相同的.

下面证明(2.16)式，(2.17)式可类似得到证明.

In(Z|Z2)=In|Z|z?|+iarg(4z2)

=ln|z1|+ln|z1|+z(argzl+argz2)

=Inz,+/nz2.

应当注意的是，等式

Ln/-nLnz,InVz=—Inz

n

不再成立，其中〃22,为正整数.

现以〃=2时为例进行说明.令z=代泪，不妨设-四＜e(乙.则

22

21nz=21nre"=21nr+i(26+5E),后=0,±1,±2,—-.(2.18)

Inz?=In/e'?"=21nr+i(26+2/〃兀)，机=0,±l,±2,….(2.19)

可见2Lnz与Lnz2的实部相等，但虚部的取值不完全相同.(2.18)式中兀的系数为

0,±4,±8,±12,,

而(2.19)式中兀的系数为0,±2,±4,±6,±8,±10,±12,…，

也就是说2Lnz可能取值是Lnz?可能取值的一部分，所以等式Lnz"=〃Lnz不成立.

读者可以通过类似的方法说明另一个等式不成立.

下面来讨论对数函数的解析性.

考虑对数函数w=Lnz的主值分支lnz=ln|z|+iargz,其实部ln|z|在复平面上除去原点外

都是连续的，虚部argz在负实轴和原点不连续(本章2.1节例2.3).

因为牛e",在区域一兀＜argz＜7t内的反函数vv=lnz是单值的，所以由反函数的求导法

则，有

dInz_dvv_1_1_1_1

dzdzde've'vz

dwdw

因此，Inz在复平面上除去原点和负实轴外处处解析.同理可知，Lnz的各个分支在复平

面上除去原点和负实轴外也是处处解析的.

3.■函数

定义2.9函数“公小八:(存0,“为复常数)称为z的一般暴函数.

1

当a为正整数n时jv=z";当a为分数一(〃正整数)时，w=z"=Vz.z"与正即为通常

n

的基函数.

对于事函数z",z"=e"S=e"Ln*而，=e〃L)显然它是复平面内的单值解析函数.

而对于事函数=由于对数函数是多值函数且各个分支在除去原点和负实轴的

复平面上是解析的，所以事函数次也是多值函数,

r--(ln|z|+/argz+2*/r<蛆些也

Vz=e"=e""",&=0,1,2,…，〃-1

对每个确定