【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题03】三角函数

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题03】三角函数专题目录【问题一】应用三角公式化简求值的技巧问题【问题二】应用三角函数的性质求解参数问题【问题三】三角形中的不等问题【问题四】与向量、数列相结合的三角形问题【问题五】利用正、余弦定理解决实际问题三角函数在高考中通常以中低档题型出现，难度不大，但由于三角公式的特殊性，解题中往往也涉及一些小的变换技巧，如果处理得当，往往可以事半功倍，快速而准确地得到正确结论．通常情况下，三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决．三角函数作为一种特殊函数，其“角”的特殊性不容忽视，因此我们在三角函数恒等变换中，应该首先注意角的形式，从统一角的角度出发，往往能够达到事半功倍的效果．【例1】已知、为锐角，，，则（）A．B．3C．D．本题容易想到先求出，然后代入的展开式中求，相比之下，不如利用角的变换更简洁一些．常见的配角技巧有：，，，，等．【例2】已知，（），则________．当已知角有两个时，一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式，然后应用诱导公式把所求角变成已知角，常见的互余关系有与；与，常见的互补关系有与，与．【练习1】已知，则的值为（）A．B．C．D．三角函数作为一类特殊的函数，其六种三角函数（当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数）之间有着密切的联系，因此，充分注意函数之间的关系，是三角函数变形的另一个重点．【例3】已知，则的值为（）A．18B．C．16D．本题实为齐次式的基本模型，已知条件是正切值，或者可化为正切值的相关形式，如，等，所求为正余弦的齐次关系式，可以使用这种此类变换．【练习2】设，，且，则（）A．B．C．D．三角公式中有不少常数，如1、、等，在三角变换中，若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换，往往可以起到意想不到的效果．【例4】已知，则的值是（）A．B．C．D．2常数的变换在化一公式中最常见，其他地方的常数变换相对更隐蔽，要细心观察表达式的特征，从中寻找蛛丝马迹．【练习3】若，且，则（）A．B．C．D．三角公式中，一次关系式较多，特别是同角关系式，以及化一公式等等，因此在观察函数关系式时，注意其次数的特征，将高次化为一次，也是解决问题的重要途径．【例5】已知函数．（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间．降幂、化一公式，是当今考查三角函数的热点，考生应熟记相关公式，规范书写，避免过失性丢分．三角函数很多性质都与周期有关，其中的一定不能忘记，也不能写成、等．【练习4】已知函数（）．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）若，求的值域．三角变换中，函数表达式结构上的变换也要充分注意，结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系．【例6】已知．（1）求的值；（2）求的值．本题需要从多角度分析，一是角的倍分关系，二是函数的同角变换，最后再利用和差角、齐次式等思想方法，方能正确求解．【练习5】已知，则的值为（）A．B．C．D．三角函数有众多的公式，我们不仅要会使用公式，还要会使用其变形的等价形式．如，等．【例7】计算：的值为（）A．B．C．3D．三角公式是恒等式（当等式两边都有意义时），所以，我们不仅要记住公式的原型，还要会逆用公式，或者变形使用，这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉，才能对公式的变形使用驾轻就熟．总体来说，在三角函数的变换中，各种变换都是穿插进行的，许多时候需要多方位思考，不能拘泥于某一种思维方式，这样才有利于打开思维的空间，找到更加合适的解题方法．【练习6】计算：的值是（）A．B．C．2D．1、已知，则的值是（）A．B．C．D．2、若，则的值为（）A．B．C．D．3、已知（），则的值为（）A．B．C．D．4、已知，则的值为（）A．B．C．D．5、已知，，那么等于（）A．B．C．D．6、已知，，且、，则的值等于（）A．B．C．D．7、已知，，，则（）A．B．C．D．8、已知，，则（）A．B．C．D．9、计算：（）A．B．C．D．10、在中，若，则的值是（）A．B．C．D．11、已知，则__________．12、已知、，且，，求的值．13、已知，求的值．14、已知函数（）的最小正周期为．（1）求值及的单调递增区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，，求角的大小．15、在中，．（1）求角的大小；（2）已知、、分别是内角、、的对边，若且，求的面积．三角函数，因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围，或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用．如果试题本身对自变量的取值范围还有限制，则更应该充分注意．【例1】已知（，为常数）．（1）若，求的最小正周期；（2）若在上的最大值与最小值之和为3，求的值．第（2）题是一个常考点，也是易错点．确定出，再根据正弦函数的单调性得出最大值和最小值，是解决本题的关键．【练习1】已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，函数的最小值为，试确定常数的值．如果解析式中含有参数，要求根据条件，使得某个等式或不等式（可以、恒）成立，则通常分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围即可．【例2】已知函数．（1）若函数的图像关于直线（）对称，求的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．【练习2】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．有的试题中，参数只是一个中间变量，在解题中是一座桥梁．具体解析中不一定要求出变量本身的值，而可以整体代换，求出最后结论．【例3】函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值．在等式或不等式恒成立问题中，通常含有参数，而与三角函数相关的恒成立问题，一定要注意三角函数自身的有界性，结合自变量的取值范围，才能准确求出参数的取值或范围．【例4】已知函数．（1）求的值域和最小正周期；（2）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围．三角函数的性质与恒等变换是基础；利用等式将转换为的函数关系是解决第（2）题的常规手段．【练习3】设函数，若对于任意的实数，都有，求实数的范围．由于三角函数的有界性，往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量，再利用三角函数的公式进行变换，得到新的范围，达到解决问题的目的．【例5】已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2合理使用三角代换，可以使得运算步骤（特别是与求最值相关的运算）变得非常简洁．【练习4】已知实数、满足，则有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1，无最大值1、若对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2、若函数的图像关于直线，则的最大值为（）A．2B．或C．D．3、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（）A．B．C．D．4、若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．15、若将函数（）的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（）A．B．C．D．6、设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．7、已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A．和B．和C．和D．和8、函数（）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）A．B．C．2D．39、设常数使方程在闭区间上恰有三个解、、，则__________．10、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．11、已知（），，且在区间有最小值，无最大值，则__________．12、若函数在区间上是单调函数，最大值为，则实数__________．13、已知函数，其中，．（1）当，时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若，，求、的值．14、已知（）．（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值．15、已知函数（）．（1）求的最小正周期；（2）求函数在区间上的取值范围．16、已知函数的最大值为1．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围．17、已知（）．（1）当时，求在上的最值；（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围．在中，如果、、对应边分别用、、表示，则常见的等式有：，（正弦定理），（余弦定理）等，而其中隐藏的不等关系也很多，如，，，如果是锐角三角形，则还有，，等等，解题中充分利用这些关系，结合不等式相关性质，可以求出相关变量或解析式的准确范围．【例1】已知的三个内角为、、，若，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【练习1】已知的面积为，，则的取值范围是__________．【例2】已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【练习2】在中，角、、所对的边分别为、、，且边上的高为，则的最大值是（）A．8B．6C．D．4【例3】已知、、分别为三个内角、、的对边，．（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围．周长问题也可看做是边长问题的延伸，所以在解决周长相关问题时，着眼于边长之间的关系，结合边长求最值（范围）的解决方式，通常都能找到正确的解题途径．【练习3】在中，角、、所对的边为、、，且．（1）求角；（2）若，求的周长的最大值．【例4】如图，在等腰直角中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．面积问题是边长与角问题的综合，解题中既要考虑边的变化，也要考虑相关角的变化，通常是利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解．【练习4】已知、、分别为三个内角、、的对边，．（1）求；（2）若，求面积的最大值．【例5】已知为的外心，，若，则的最大值为（）A．B．C．D．三角函数值也是一个实数，所以它也可以与其他实数进行代数运算，也可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等等，解题中要综合这些知识和相关方法，灵活处理，才能既快又准的解决问题．【练习5】在中，记角、、的对边为、、，角为锐角，设向量，，且．（1）求角的大小及向量与的夹角；（2）若，求面积的最大值．1、在中，角、、所对应的边分别为、、，则“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件2、已知各角的对应边分别为、、，满足，则角的范围是（）A．B．C．D．3、在锐角中，已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．4、在锐角中，角、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．5、设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，，则的取值范围为（）A．B．C．D．6、已知在锐角中，、、分别为内角、、的对边，若，给出下列命题：①；②；③．其中正确的个数是（）A．B．C．D．7、已知，在区间上任取三个数、、，均存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是（）A．B．C．D．8、已知为锐角三角形，内角、、的对边长分别为、、，已知，且，则的取值范围是____________．9、已知、、分别为三个内角、、的对边，，且，则面积的最大值为____________．10、在中，，，则的最大值为____________．11、在中，若，，则的面积取最大值的边长等于____________．12、在中，角、、的对边分别为、、，若，，则的最大值为____________．13、在中，内角、、的对边分别为、、，向量，，且．（1）求锐角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．14、在中，角、、所对的边分别为、、，已知．（1）若，，求的面积；（2）求的取值范围．15、在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求；（2）若，求的取值范围．16、在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．17、在中，角、、对边分别为、、，且．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．18、在中，、、分别为内角、、的对边，且．（1）求的大小；（2）求的最大值．19、在中，已知，外接圆的半径为．（1）求；（2）求的面积的最大值．20、己知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）求角大小；（2）当时，求的取值范围．在知识点的交汇处命题，是当前高考的热点，三角函数也不例外．三角函数本身就属于代数与几何的结合体，其函数的思想、几何的思想、数形结合的思想随处可见．本文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起．现行高中数学教材中，向量是继函数之后的一条主线，贯穿整个高中数学教学，也在各种问题的解决中起着广泛的作用．而向量与三角知识的交汇，通常题目以三角函数为主体，但条件中涉及一些向量知识，如向量的坐标中包含三角表达式，然后给出向量之间的平行、垂直关系，或者用向量的数量积表示函数等等，这种情况在当前的试题中还很常见．【例1】在中，角、、的对边分别是、、，若，则最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．本题中，三角形三边所在的向量两两不共线，当化为两个不共线向量之和为零向量，则隐藏着他们的“系数同时为0”的条件，从而可得到三边的关系．【练习1】在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．【例2】已知向量，．（1）当时，求的值；（2）求在上的值域．【练习2】已知向量，，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【例3】已知、、为的三个内角、、的对边，向量，，，，．（1）求角的大小；（2）求的值．【练习3】已知在中，内角、、的对边分别为、、，向量，，且．（1）求锐角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角、、成等差数列；三边、、成等比数列等，二是数列通项种含有三角函数，我们可以借助三角函数的周期性求和．【例4】设的内角、、的对边分别为、、，且、、成等比数列，则角的取值范围是（）A．B．C．D．“、、成等比数列”是为了给出“”这一条件，所以解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来．【练习4】已知是等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求的值．【例5】已知的内角、、所对的边分别为、、．（1）若、、成等差数列，证明：；（2）若、、成等比数列，求的最小值．边的等差关系，通常利用正弦定理转化，而边的等比关系，则利用余弦定理找边角关系．【练习5】在中，角、、的对边分别为、、，且、、成等差数列．（1）若，，求的面积；（2）若、、成等比数列，试判断的形状．在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了．【例6】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）．（1）写出直线的直角坐标方程；（2）求直线与曲线的交点的直角坐标．极坐标本身就是利用三角函数思想建立，而圆和椭圆的参数方程也是利用三角函数中的同角关系式进行代换，所以这两个知识点与三角函数的关系非常密切．【例7】已知椭圆与正半轴、正半轴的交点分别为、，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值．与椭圆上点有关的范围或者最值问题，用参数方程进行三角代换后，可以利用正余弦的有界性求范围或者最值．【例8】已知复数，，且，其中、为的内角，、、为角、、所对的边．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．本题其实就是利用复数相等建立两个边角关系，而复数与三角函数也有密切关系，只是现行教材的范围限制，对复数的三角形式暂不作要求，但应该注意与其相关的试题出现．总体来看，三角函数可能交汇的知识点众多，相应的考点、解题思想方法也就千变万化，我们在解决这类问题时，既要考虑三角函数方面的方法，也要关注其他知识点的思想，有时候两者结合起来还可能出现一些巧妙的思路，如数形结合、参数思想等，这对于我们解决进一步问题都将会有很好的启迪．1、在中，、、分别为角、、的对边，且，若向量和平行，且，当的面积为时，则（）A．B．2C．4D．2、已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．3、在公比为的等比数列中，若，则的值是（）A．B．C．D．4、已知为等差数列，若，则的值为（）A．B．C．D．5、在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（）A．B．4C．D．6、已知（）部分图象如图，若，等于（）A．B．C．D．7、已知是等比数列，其中、是关于的方程的两根，且，则锐角的值为（）A．B．C．D．8、在中，已知，当时，的面积为__________．9、直线与椭圆相交于、两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值是__________．10、等差数列的前项和为，已知，且，，则__________．11、数列的通项，其前项和为，则__________．12、设向量，，其中、、为实数，若，则的取值范围为__________．13、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．14、已知得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为__________．15、已知的面积为，，则的取值范围是__________．16、设是椭圆的下焦点，为坐标原点，点在椭圆上，则的最大值为__________．17、在中，内角、、的对边分别是、、，已知、、成等比数列，且．（1）求的值；（2）设，求的值．18、在中，，，且．（1）求角的大小；（2）若，当面积取最大时，求内切圆的半径．19、设的三个内角、、所对的边长分别为、、．平面向量，，，且．（1）求角的大小；（2）当时，求函数的值域．20、已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期；（2）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，，且，求、和的面积．三角函数本身起源于人们对大自然中物体的测量，直到科技发达的今天，仍然有不少领域、不少技术涉及到三角函数，可以说，三角函数的出现，是人类的文明进步的一个重大体现，也是人类进步不可或缺的重要工具．正因为如此，我们在学习三角函数中，一定要重视它的实用性，利用三角函数，特别是利用正余弦定理解决实际问题，就成为当今考查的一个热门，应该引起大家的高度重视．正弦定理是解三角形的一个重要工具，在三角形的三边和三角这六个条件中，如果涉及两边及一边对角，或者两角与一边问题时，通常利用正弦定理作为入手点，可以很快求出第四个量，为后面解三角形铺平道路．【例1】如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走10到位置，测得，则塔的高是（）A．10B．C．D．如果知道两角及其一角对边，或者两边及其一边对角，可以利用正弦定理．当然，如果与外接圆半径有关的边角关系，也可以考虑正弦定理．【练习1】如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是60，则河流的宽度等于（）A．B．C．D．【例2】如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中、都在边、上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为了安全起见，需在的一周安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小．【练习2】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，求山高．余弦定理主要用于三边及一角的三角形相关问题．当知道三角形的两边及其夹角，求第三边时，余弦定理是首选；当然，知道三边求一角时，余弦定理也是手到擒来．【例3】某人向正东方向走后，向右转，然后朝新方向走3，结果他离出发点恰好是，那么的值为（）A．B．C．或D．3【练习3】要测量底部不能到达的珠江电视塔的高度，在珠江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为、，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为，甲、乙两地相距500，则电视塔在这次测量中的高度是（）A．B．400C．D．500【例4】两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（）A．B．C．D．使用余弦定理的问题，关键是将条件与结论所涉及的三角形元素转换为一个三角形的两边及其夹角，或者三边，使用余弦定理就非常方便了．【练习4】在一个六角形体育馆的一角内，用长为的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示），已知，是墙角线上的一点，是墙角线上的一点．（1）若，求存储区域面积的最大值；（2）若，在折线内选一点，使，求四边形存储区域的最大面积．由于三角形问题的实际生活背景非常丰富，平面的和空间的都可以涉及，因此，一个问题中同时涉及正弦定理和余弦定理的情况屡见不鲜，解析中应充分注意条件与结论的关系，合理使用两个定理解决问题．【例5】如图，为了测量河对岸、两点间的距离，在河的这边测得，，，，求、两点间的距离．【练习5】如图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内，现测得长为100米，，，，．（1）求的面积；（2）求船的长．1、两灯塔、与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东，在南偏东，则、之间相距（）A．B．C．D．2、如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为，汽车行驶300后到达点测得山顶恰好在正北方，且仰角为，则山的高度为（）A．B．C．D．SKIPIF1<03、一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南的方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（）A．海里B．海里C．海里D．海里4、如图，为了测量某湖泊两侧、间的距离，李宁同学首先选定了与