【青松雪】【高中数学】【易错点归纳总结】【专题12】选择题解题策略（教师版）

PAGE第1页【专题12】选择题的解题策略数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一．数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．（一）数学选择题的解题方法1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法．运用此种方法解题需要扎实的数学基础．例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为（）A．B．C．D．【解析】某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验，，故选A．例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面的一条斜线有且仅有一个平面与垂直；③异面直线、不垂直，那么过的任一个平面与都不垂直．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解析】利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D．例3、已知、是椭圆的两焦点，经点的的直线交椭圆于点、，若，则等于（）A．11B．10C．9D．16【解析】由椭圆的定义可得，，两式相加后将代入，得，故选A．例4、已知在上是的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】∵，∴是减函数，∵在上是减函数，∴，且，∴，故选B．2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法．用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好．（1）特殊值法例5、若（），则（）A．B．C．D．【解析】∵，取代入，满足条件式，则排除A、C、D，故选B．例6、一个等差数列的前项和为48，前项和为60，则它的前项和为（）A．B．84C．72D．36【解析】结论中不含，故本题结论的正确性与取值无关，可对取特殊值，如，此时，，，∴前项和为36，故选D．（2）特殊函数例7、如果奇函数是上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（）A．增函数且最小值为B．减函数且最小值是C．增函数且最大值为D．减函数且最大值是【解析】构造特殊函数，虽然满足题设条件，并易知在区间上是增函数，且最大值为，故选C．例8、定义在上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：①；②；③；④．其中正确的不等式序号是（）A．①②④B．①④C．②④D．①③【解析】取，逐项检查可知①④正确，故选B．（3）特殊数列例9、已知等差数列满足，则有（）A．B．C．D．【解析】取满足题意的特殊数列，则，故选C．（4）特殊位置例10、过（）的焦点作直线交抛物线与、两点，若与的长分别是、，则（）A．B．C．D．【解析】考虑特殊位置时，，∴，故选C．例11、向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）【解析】取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B．（5）特殊点例12、设函数（），则其反函数的图像是（）【解析】由函数（），可令，得；令，得，则特殊点及都应在反函数的图像上，观察得A、C．又因为反函数的定义域为，故选C．（6）特殊方程例13、双曲线（）的渐近线夹角为，离心率为，则等于（）A．B．C．D．【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察．取双曲线方程为，易得离心率，，故选C．（7）特殊模型例14、如果实数、满足等式，那么的最大值是（）A．B．C．D．【解析】题中可写成．联想数学模型：过两点的直线的斜率公式，可将问题看成圆上的点与坐标原点连线的斜率的最大值，即得D．3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等）与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法．这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题（也有填空题、解答题）都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速．例15、已知、都是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【解析】在第二象限角内通过余弦函数线找出、的终边位置关系，再作出判断，故选B．例16、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（）A．B．C．D．4【解析】如图，，在中，∵，，，∴由余弦定理得，故选C．例17、已知是等差数列，，，那么使其前项和最小的是（）A．4B．5C．6D．7【解析】等差数列的前项和可表示为过原点的抛物线，又本题中，，可表示如图，由图可知，，是抛物线的对称轴，∴是抛物线的对称轴，∴时最小，故选B．4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法．在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，则（）A．B．72C．D．【解析】采用代入检验法，用十进制数表示为，而用十进制数表示为；72用十进制数表示为；用十进制数表示为；用十进制数表示为，故选A．例19、方程的解（）A．B．C．D．【解析】若，则，则；若，则，则；若，则，则；若，，则，故选C．5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．例20、若为三角形中的最小内角，则函数的值域是（）A．B．C．D．【解析】∵为三角形中的最小内角，故，由此可得，从而排除B、C、D，故选A．例21、原市话资费为每2分钟元，现调整为前3分钟资费为元，超过3分钟的，每分钟按元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（）A．不会提高70%B．会高于70%，但不会高于90%C．不会低于10%D．高于30%，但低于100%【解析】取，，排除C、D；取，，排除A，故选B．例22、给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【解析】分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，∵直线上的点在椭圆内，对照选项，故选D．6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法．（1）特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法．例23、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26B．24C．20D．19【解析】题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为，故选D．例24、设球的半径为、、是球面上北纬圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是（）A．B．C．D．【解析】∵纬线弧长球面距离直线距离，排除A、B、D，故选C．例25、已知，（），则等于（）A．B．C．D．5【解析】由于受条件的制约，故为一确定的值，于是、的值应与的值无关，进而推知的值与无关，又，，∴，故选D．（2）逻辑分析法：通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法．例26、设、是满足的实数，那么（）A．B．C．D．【解析】∵A、B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C、D．又由，可令，，代入知B为真，故选B．例27、的三边、、满足等式，则此三角形必是（）A．以为斜边的直角三角形B．以为斜边的直角三角形C．等边三角形D．其它三角形【解析】在题设条件中的等式是关于、与、的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有，即，从而C被淘汰，故选D．7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法．例28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成，03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元．根据以上数据，08年该地区人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4460元C．4460元~4800元D．4800元~5000元【解析】08年农民工次性人均收入为：（元），又08年农民其它人均收入为（元），故08年农民人均总收入约为（元），故选B．说明：（1）解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举例．需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化；（2）对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做．“不择手段，多快好省”是解选择题的基本宗旨．（二）选择题的几种特色运算1、借助结论：速算例29、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．B．C．D．【解析】借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径．可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A．2、借用选项：验算例30、若、满足，则使得的值最小的是（）A．B．C．D．【解析】把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且的值最小，故选B．3、极限思想：不算例31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为，侧面与底面所成的二面角的平面角为，则的值是（）A．1B．2C．D．【解析】当正四棱锥的高无限增大时，，，则，故选C．4、平几辅助：巧算例32、在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程．以为圆心，1为半径作圆，以为圆心，2为半径作圆．由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线，故选B．5、活用定义：活算例33、若椭圆经过原点，且焦点、，则其离心率为（）A．B．C．D．【解析】利用椭圆的定义可得，，故离心率，故选C．6、整体思想：设而不算例34、若，则的值为（）A．1B．C．0D．2【解析】二项式中含有，似乎增加了计算量和难度，但如果设，，则，故选A．7、大胆取舍：估算例35、如图，在多面体中，已知面是边长为3的正方形，，，与面的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5C．6D．【解析】依题意可计算，而，故选D．8、发现隐含：少算例36、与交于、两点，且，则直线的方程为（）A．B．C．D．【解析】解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线的方程就是，它过定点，只有C项满足，故选C．9、利用常识：避免计算例37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收．某人在2001年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是（）A．8%B．20%C．32%D．80%【解析】生活常识告诉我们利息税的税率是20%，故选B．（三）选择题中隐含信息的挖掘1、挖掘“词眼”例38、过曲线上一点的切线方程为（）A．B．C．D．或【错解】，，从而以点为切点的切线的斜率为，即所求切线方程为，故选C．【解析】上述错误在于把“过点的切线”当成了“在点处的切线”，事实上当点为切点时，所求的切线方程为，而当点不是切点时，所求的切线方程为，故选D．2、挖掘背景例39、已知，，为常数，且，则函数必有一周期为（）A．B．C．D．【解析】由于，从而函数的一个背景为正切函数，取，可得必有一周期为，故选C．3、挖掘范围例40、设、是方程的两根，且，，则的值为（）A．B．C．或D．或【错解】易得，又，，，从而或，故选C．【解析】事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围．由韦达定理知，，故且．从而，，故，故选A．4、挖掘伪装例41、若函数（且），满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】“对任意的、，当时，”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“有意义”．事实上由于在时递减，从而，由此得的取值范围为，故选D．5、挖掘特殊化例42、不等式的解集是（）A．B．大于3的正整数C．D．【解析】四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将值取代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式．6、挖掘修饰语例43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（）A．72种B．36种C．144种D．108种【解析】去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为种，故选A．7、挖掘思想例44、方程的正根个数为（）A．0B．1C．2D．3【解析】本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标．事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出，的图象，容易发现在第一象限没有交点，故选A．8、挖掘数据例45、定义函数，，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为．已知，，则函数在上的均值为（）A．B．C．D．10【解析】，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数．充分利用题中给出的常数10、100．令，当时，，由此得，故选A．（四）选择题解题的常见失误1、审题不慎例46、设集合直线，圆，则集合中的元素的个数为（）A．0B．1C．2D．0或1或2【错解】∵直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，∴中的元素的个数为0或1或2，故选D．【解析】本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合、就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题．实际上，、表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素，故选A．2、忽视隐含条件例47、若、分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（）A．B．C