《高等代数》课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明

课程名称:

高等代数

课程名称（英文）：Advanced

Algebra

适用专业：数学与应用数学

课程性质：学科教育必修课程

总学时：

192其中理论课学时:

192

实践（实验）课学时:0

学分：12

先修课程：二、本课程的地位、性质和任务

《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。三、教学内容、教学要求

第一章

基本概念教学内容

本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。1、集合

子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射

映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法

自然数的最小数原理

第一数学归纳法

第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求

了解：整数的一些整除性质

理解：集合

掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点

映射；

可逆映射；

数域。第二章多项式

本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性

整除的基本性质

带余除法定理3、多项式的最大公因式

最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理

不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式

多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根

多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念

根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根

本原多项式的定义Gauss引理

整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根

※9、多元多项式

多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数

※10、对称多项式

对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求

了解：多元多项式

对称多项式

理解:

一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解

掌握:

多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点

整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。第三章

行列式

行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。教学内容1、二阶和三阶行列式的结构2、排列

排列的概念反序数及排列的奇偶性对换及其对排列奇偶性的影响3、n阶行列式的定义和性质4、行列式依行依列展开

余子式与代数余子式的概念行列式依行依列展开Vandermonde行列式5、Cramer规则教学要求

了解：排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义；排列的奇偶性与对换的关系

理解：二阶和三阶行列式的结构；排列

掌握：n阶行列式的定义和性质；行列式依行依列展开；Cramer规则重点与难点n级行列式的定义；行列式的基本性质；行列式按一行（列）展开的公式；Cramer法则。第四章

线性方程组教学内容

本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。1、线线方程组的消元法

线性方程组的初等变换方程组的一般解和自由未知量系数矩阵和增广矩阵2、矩阵的秩k阶子式矩阵秩的定义初等变换不改变矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩3、线性方程组有解的判别法

线性方程组有解判别定理及解的个数定理4、线性方程组的公式解

线性方程组的公式解齐次线性方程组及其非零解的概念齐次线性方程组有非零解的充要条件教学要求

了解：线性方程组的公式解

理解：线线方程组的消元法

掌握：矩阵的秩；线性方程组有解的判别法重点与难点

矩阵的秩的概念及求法；线性方程组有解的判别及求解。第五章

矩阵教学内容

矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。1、矩阵的运算

矩阵的加法数乘乘法和转置单位矩阵2、逆矩阵

可逆矩阵及逆矩阵的概念可逆矩阵的性质求逆矩阵的公式3、初等矩阵

初等矩阵与初等变换的关系可逆矩阵的判定用初等变换求逆矩阵4、矩阵乘积的行列式与秩5、矩阵的分块

矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法对角线分块矩阵教学要求

了解：矩阵的分块

理解：矩阵的运算

掌握：逆矩阵；初等矩阵；矩阵乘积的行列式与秩重点与难点

矩阵的运算；矩阵乘积的行列式定理；矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系；可逆矩阵；；伴随矩阵；n阶方阵可逆的充要条件；用公式法求逆矩阵；分块矩阵的意义及运算；初等矩阵；用初等变换的方法求逆矩阵；分块矩阵的逆。第六章

向量空间教学内容

向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍向量空间的概念与性质。1、向量空间的定义、例子及简单性质2、子空间

子空间的定义及充要条件子空间的交与和3、向量组的线性相关性

线性相关线性无关替换定理及其推论等价的向量组及其性质极大无关组及其性质4、基和维数

生成子空间基和维数的定义基的性质维数公式5、子空间的直和

直和的定义及充要条件。6、坐标

坐标的定义过渡矩阵基变换公式坐标变换公式7、向量空间的同构

同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件8、齐次线性方程组的解空间

矩阵的行（列）空间齐次线性方程组的基础解系9、非齐次线性方程组解的结构。教学要求

了解：向量空间的同构

理解：向量空间的定义、例子及简单性质；子空间；

掌握：基和维数基和维数；坐标；子空间的直和；向量空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件：齐次线性方程组的解空间；非齐次线性方程组解的结构重点与难点

向量的线性相关性；基与维数的求法；过渡矩阵；直和的充要条件；两个有限维空间同构的充要条件；齐次线性方程组的基础解系；线性方程组解的结构。

第七章线性变换教学内容

线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。1、线性变换的定义及其简单性质2、线性变换的象与核

线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法3、线性变换的运算

线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换4、线性变换和矩阵

线性变换的矩阵向量的象的坐标公式线性变换与矩阵的同构对应5、矩阵的相似

矩阵相似的定义同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系6、不变子空间7、特征根、特征向量、特征多项式

特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法矩阵的迹和行列式同特征根的关系相似矩阵的特征多项式8、可对角化的矩阵

属于不同特征根的特征向量的线性无关性特征子空间的维数与所属特征根的重数关系线性变换和矩阵可对角化的条件教学要求

了解：线性变换的象与核

理解：线性变换的运算；线性变换的定义及其简单性质；不变子空间

掌握：矩阵的相似；特征根、特征向量、特征多项式；矩阵可对角化的条件、对角化的方法重点与难点

线性变换与矩阵的同构对应；不变子空间；特征根；特征向量；矩阵的相似；线性变换的象与核；线性变换可对角化的充要条件。第八章

欧氏空间教学内容

欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基、正交变换和对称变换。1、欧氏空间的定义及基本性质2、Cauchy—Schwarz不等式、向量的长度、两个向量的夹角3、正交基、标准正交基和正交化方法4、向量与子空间的正交、正交补、向量到子空间的距离5、同构的定义和同构的充要条件6、正交变换与正交矩阵

正交变换与正交矩阵的关系一个线性变换是正交变换的充要条件7、对称变换与实对称矩阵

对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系对称矩阵的标准形教学要求

了解：同构的定义和同构的充要条件

理解：欧氏空间的定义及基本性质；向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离

掌握：正交基标准正交基和正交化方法；正交变换与正交矩阵；对称变换与实对称矩阵重点与难点Cauahy-Schwarz不等式；正交基与正交化方法；正交补；正交变换；对称矩阵的标准形。第九章

二次型教学内容

二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。1、二次型的矩阵表示

二次型的定义变量的非退化线性变换二次型的秩二次型的等价与对称矩阵的合同2、标准形3、复数域和实数域上二次型的标准形惯性定律4、正定二次型的定义及充要条件

正定二次型的定义正定矩阵二次型正定的充要条件教学要求

了解：二次型的矩阵表示

理解：二次型的标准形和典范形

掌握：复数域和实数域上二次型的标准形；惯性定律；正定二次型的定义及充要条件重点与难点

矩阵的合同；求二次型的标准形和典范形；正定二次型的判别。四、课程特色

本课程是教为主导，学为主体，实现教学相长。采用课堂讲授与课堂讨论相结合、课堂精讲与返讲相结合、习题课与单元自测相结合的教学方法。五、学时分配课堂教学学时分配表序号教学内容学时分配1基本概念62多项式363行列式184线性方程组165矩阵206向量空间307线性变换