高等代数试题

孝由前比大葬

教案

2004年3月10日

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：第•章基本概念授课类型理论课

1.1集合1•2映射授课时间第一周第1-2节

教学目的、要求:

加深对集合和映射概念抽象性的理解，使学生认识到这两个概念对现代数学的重要性

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1集合的概念、集合的运算、文氏图、笛卡尔集

2映射、单映射、满映射、双射的概念及例子

3双射的一个等价条件的定理

通过本讲的学习，掌握基本概念，了解第一（第二）数学归纳法的理论依据，会用第一（第

二）数学归纳法。

重点：基本概念

难点：双射的一个等价条件的定理

教学过程设计：讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P15：5,6,8,9

参考资料：1张禾瑞，郝辆新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。0。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第一章基本概念授课类型理论课

1•3数学归纳法授课时间第一周第3-4节

教学目的、要求：

了解以最小数原理给出第一（第二）数学归纳法

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1最小数原理

2第一（第二）数学归纳法

3补充第二数学归纳法的例子

通过本讲的学习，了解第一（第二）数学归纳法的理论依据，会用第一（第二）数学归纳法。

重点：基本概念；第二数学归纳法。

难点：第一（第二）数学归纳法的理论依据。

教学过程设计：讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

讨论和思考：区分完全归纳法和不完全归纳法

作业：P18:2,3,5

参考资料：1张禾瑞，郝初新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，200。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第一章基本概念授课类型理论课

1.4整数的一些整除性质1.5数环和数域授课时间第一周第5-6节

教学目的、要求：

理解整数的整除、最大公因数、整数的互素、素数的概念；掌握七条整除性质，五条定理的证明

及应用；了解数环与数域的概念。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1整数的整除、最大公因数、整数的互素、素数的定义及例子

2七条整除性质

3带余除法

4四条定理

5数环与数域的概念

通过本讲的学习，理解整数的整除、最大公因数、整数的互素、素数的概念；掌握七条整除

性质，五条定理的证明及应用。

重点：整数的整除相关概念；带余除法。

难点：1带余除法定理的证明

2任何数域都包含有理数域

教学过程设计：讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

讨论和思考：如何定义最小公倍数？如何求最小公倍数？

作业：P23：1,2,4P25:1,2,3

参考资料：1张禾瑞，郝纲新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2-1-元多项式的定义和运算授课时间第二周第1-2节

教学目的、要求：

理解一元多项式的定义和运算的概念；掌握一元多项式次数定理及两条推论的证明及应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1一元多项式的定义和运算的概念及例子

2多项式的加法和乘法的运算律

3一元多项式次数定理及两条推论

4多项式的乘法消去律

5一元多项式环

通过木讲的学习，理解一元多项式的定义和运算的概念；掌握一元多项式次数定理及应用。

重点：理解基本概念；掌握一元多项式次数定理

难点：多项式的乘法消去律

教学过程设计：讲授、练习

思考题、讨论题、作业:

作业：P31:1,2,3

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。0年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•2多项式的整除性授课时间第二周第3-4节

教学目的、要求：

理解多项式的整除性的概念，会用多项式的整除性的定义证明七条性质；掌握带余除法定理

证明及应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：1多项式的整除性的概念

2用多项式的整除性的定义证明七条性质

3带余除法定理证明及应用

4多项式的系数域的扩大对整除性的影响

通过本讲的学习，理解以整数的整除性为样本研究多项式的整除性；理解多项式的整除性的

概念，会用多项式的整除性的定义证明七条性质；掌握带余除法定理证明及应用。

重点：理解基本概念；带余除法定理证明及应用。

难点：带余除法定理证明

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

讨论和思考：分析带余除法定理的地位作用

作业:P38:1,2,3,4,6,7

参考资料：1张禾瑞，郝初新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•3多项式的最大公因式授课时间第二周第5-6节

教学目的、要求:

与整数类比讲清楚最大公因式定义中的两要素

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：1多项式的最大公因式的概念

2多项式的最大公因式的存在性与唯一性定理

3辗转相余除法及例子

4Bezout定理2•3•2及Bazout等式的求法；定理2•3•2的逆命题不成立及例子

5多项式的互素的概念

4Bezout定理2•3•3及推论甲乙丙

通过本讲的学习，理解以整数的整除性为样本研究多项式的最大公因式及互素；掌握辗转相

除法算法及应用。

重点：理解基本概念：多项式公因式的存在性与唯一性定理及Bezout定理。

难点：定理2•3•2的逆命题不成立

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业:

讨论和思考：分析辗转相除法的地位作用

作业：P45:1,2,3,4,6,7,10

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。0年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•4多项式的分解授课时间第三周第1-2节

教学目的、要求：

理解不可约多项式、可约多项式的概念；掌握不可约多项式的三条性质、两条主要定理（唯

一因式分解定理）的证明及应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：1不可约多项式、可约多项式的概念及例子

2不可约多项式的三条性质

3因式分解的存在性与惟一性定理

4多项式的典型分解式及最大公因式、最小公倍式的求法

通过本讲的学习，理解不可约多项式、可约多项式的概念；掌握不可约多项式的三条性质、

两条主要定理（唯•因式分解定理）的证明及应用。

重点：两条主要定理（唯一因式分解定理）的证明及应用。

难点：多项式的可约性与系数域有关

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P56:1,2,3,4,6

参考资料：1张禾瑞，郝辆新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2000年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2-4多项式的分解（续）授课时间第三周第3-4节

教学目的、要求:

补充多项式标准分解式的应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：1用多项式标准分解式的两多项式整除的充分必要条件

2用多项式标准分解式求两多项式最大公因式

3用多项式标准分解式求两多项式最小公倍式

4用多项式标准分解式的两多项式互素的充分必要条件

通过本讲的学习，解决2•3的部分习题

重点：唯一因式分解定理应用。

难点：唯一因式分解定理有广泛应用

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业:

作业：P56:3,5P48:6,8,12』3

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。0年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•5重因式授课时间第三周第5-6节

教学目的、要求：

理解重因式、多项式的导数的概念；掌握多项式有无重因式的两条定理。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1重因式、多项式的导数、多项式的根的概念及例子

2多项式有无重因式的两条定理、

重点：理解基本概念；多项式没有重因式的充分必要条件

难点：多项式的系数域的扩大对是否有重因式没有影响

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P59:2,3,4,5

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•6多项式函数多项式的根授课时间第四周第1-2节

教学目的、要求：

理解多项式的根的概念；掌握余式定理、综合除法、多项式的根与•次因式的关系、多项式

的根个数不超过次数、两多项式恒等的一个条件、Lagrange插值公式的证明及应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1多项式的根的概念及例子

2余数定理、综合除法

3多项式的根与一次因式的关系

4多项式的根个数不超过次数、两多项式恒等的一个条件

5Lagrange插值公式

重点：理解基本概念；余数定理、多项式的根个数不超过次数定理的证明。

难点：综合除法及应用

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业:P65:1,2,3,5,4,7

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2000年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•7复数和实数域上多项式授课时间第四周第3-4节

教学目的、要求:

掌握代数基本定理的应用、复数（实数）系数多项式的性质、复数系数多项式的根与系数的

关系、实数系数一元多项式的因式分解定理。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：1代数基本定理的应用

2复数（实数）系数多项式的性质

3复数系数多项式的根与系数的关系

4实数系数一元多项式的因式分解定理

重点：代数基本定理的应用、复数系数多项式的根与系数的关系、实数系数•元多项式的

因式分解定理。

难点：复数系数多项式的根与系数的关系

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P71:l,2,3,4

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•7复数和实数域上多项式（续）授课时间第四周第5-6节

教学目的、要求：

补充复数系数多项式的根与系数的关系应用、实数系数一元多项式的因式分解

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：1已知三次、四次方程根的部分信息利用根与系数的关系解方程

2实系数二次多项式的不可约性的一个充分必要条件

3实数系数一元多项式的因式分解：先求复根再回到实系数的一次多项式或二次因式的

乘积

重点：主要定理的应用

难点：综合应用

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业:

作业：若干补充题

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。0。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•6有理数域上多项式授课时间第五周第1-2节

教学目的、要求:

掌握有理数域上多项式的性质、Eisenstein判别法、有有理数根的必要条件。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1本原多项式的概念

2有理数域上多项式的性质

3Eisenstein判别法

4有有理数根的必要条件

重点：Eisenstein判别法、有有理数根的必要条件。

难点：Eisenstein判别法、有有理数根的必要条件

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业:

作业：P80：1,2,3,4

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，200。年1月

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•6有理数域上多项式（续）授课时间第五周第3-4节

教学目的、要求:

掌握有理数域上多项式的因式分解、Eisenstein判别法、求有理数根及综合除法。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1证明一类数为无理数

2有理根问题

3Eisenstein判别法

重点：Eisenstein判别法、有有理数根的必要条件。

难点：Eisenstein判别法、有有理数根的必要条件

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业:

作业：P80：1,2,3,4

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，200。年1月

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2-9多元多项式授课时间第五周第5-6节

教学目的、要求：

了解多元多项式的概念，多元多项式的字典排列法，多元多项式乘法的首项定理，多元多项式乘

法的次数定理。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）:

基本内容：

1多元多项式的概念

2多元多项式的字典排列法

3多元多项式乘法的首项定理

4多元多项式乘法的次数定理

5多元多项式看作函数

重点：多元多项式的字典排列法

难点：多元多项式看作函数

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

讨论和思考：多元多项式的带余除法是否成立？

作业：P92:2,3,4,5

1.参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。0年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•10对称多项式授课时间第六周第1-2节

教学目的、要求：

理解对称多项式的概念；掌握对称多项式的基本定理及应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1置换、对称多项式、初等对称多项式

2对称多项式的基本定理及应用

3用初等对称多项式表示对称多项式的两种算法

重点：对称多项式的基本定理及应用

难点：初等对称多项式表示对称多项式的两种算法

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P102:1,2,3,4

参考资料：1张禾瑞，郝挹新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2。。。年1月

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授课题目（教学章、节或主题）：第二章多项式授课类型理论课

2•10对称多项式（续）授课时间第六周第3-4节

教学目的、要求：

理解对称多项式的概念；掌握对称多项式的基本定理及应用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1补充根与系数的关系和对称多项式的一个应用

重点：对称多项式的基本定理及应用

难点：初等对称多项式表示对称多项式的两种算法

教学过程设计：

讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P102:1,2,3,4

参考资料：1张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2张贤科，许甫华，清华大学出版社，2000年1月

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授课题目（教学章、节或主题）:授课类型理论课

第三章行列式3.1线性方程组和行列式第7周第1〜2节

授课时间

3.2排列

教学目的、要求：

了解二元（三元）一次方程组的解与二阶（三阶）行列式的关系；掌握排列、对换的定

义与基本性质。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

[a..x+a.y=b.nn

基本内容：1.二元一次方程组112?的解可以写成x==的形式;

[a2lx+a22y=b2DD

2.三元一次方程组的解也可以类似的写出来；

3.N元排列、反序及奇偶性的定义；

4.对换的定义及对换的两个基本性质：

a）任一个N元排列可以通过对换得出自然排列12……N；

b）每一次对换都改变排列的奇偶性；

5.N元排列中的奇排列和偶排列的个数都是N!/2o

重点：排列的奇偶性与对换的关系，排列的反序数。

难点：理解二元（三元）一次方程组的解与二阶（三阶）行列式的关系。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P110：1,2,3

参考资料：

[1]张禾瑞，郝纲新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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第三章行列式

第7周第3〜4节

3.3n阶行列式授课时间

教学目的、要求：

理解和掌握n阶行列式的定义和性质；能应用行列式的定义和性质来计算或证明有关的

行列式。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.从三阶行列式的展开式开始引出n阶行列式的定义；

2.比较n阶行列式的三种定义：行排列定义、列排列定义以及全排列定义；

3.根据定义计算出简单的行列式的值：如上三角、下三角及对角形行列式等；

4.讲解行列式的第一个性质：行列互换，行列式的值不变。

5.讲解行列式的第二个性质：交换行列式的两行或两列，行列式改变符号。

重点：掌握行列式的基本性质及简单的计算方法。

难点：掌握行列式的三种定义的区别与联系。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P121：1,2,3,4

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第三章行列式第7周第5~6节

授课时间

3.3n阶行列式

教学目的、要求：

理解和掌握n阶行列式的定义和性质；能应用行列式的定义和性质来计算或证明有关的

行列式。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.讲解行列式的第三个性质：若一个行列式有两行（列）完全相同，则这个行

列式等于零；

2.第四个性质是：把行列式的某一行（列）所有元素同乘以某个数k,等于以

k乘这个行列式；

3.第五个性质是：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列

式的外面；

4.第六个性质是：如果一个行列式中有一行（列）的元素全为零，则这个行列

式等于零；

5.第七个性质是：如果一个行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则这个

行列式等于零。

6.第八个性质是：把行列式的某一行（列）的元素同乘以一个数后加到另一行

（列）的对应元素上，行列式不变；

7.举例运用行列式的基本性质来计算或证明。

重点：掌握行列式的众多基本性质并学会灵活应用。

难点：理解行列式的基本性质并运用它来解题。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P122：5,6,7,8

参考资料：

[1]张禾瑞，郝纲新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第三章行列式第8周第1〜2节

授课时间

3.4子式和代数余子式行列式的依行依列展开

教学目的、要求：

掌握行列式的k阶子式、k阶子式的余子式和代数余子式的概念：了解拉普拉斯定理;

掌握行列式的依行依列展开。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.举例说明三阶行列式的计算可以化为二阶行列式的计算：

a\\a\2a\3

aaaaa

2223\2。13\2\3

a2\a22〃23=«ll~a2i+〃31

aa

32〃33以32。3322。23

aa

3\32。33

2.引出行列式的k阶子式的定义和一些简单例子；

3.行列式的k阶子式的余子式的定义和一些简单例子；

4.行列式的k阶子式的代数余子式的定义和•些简单例子；

5.行列式的依行依列展开定理（乘对定理）：行列式的值等于它的任一行（列）

的所有元素与它们的相应的代数余子式的乘积之和。

重点：行列式的依行依列展开定理的理解和运用。

难点：理解行列式的k阶子式和其代数余子式。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P134：1,2

参考资料：

[1]张禾瑞，郝纲新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第三章行列式第8周第3〜4节

授课时间

3.4子式和代数余子式行列式的依行依列展开

教学目的、要求：

掌握行列式的k阶子式、k阶子式的余子式和代数余子式的概念：了解拉普拉斯定理；

掌握行列式的依行依列展开。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.仔细讲解行列式的乘错定理：在行列式中，某一行（列）的元素与另外一行

（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零：

+ai2Aj2+---+ainAjn=0,i^j

+。2八，+...+%/“，=°，s=t

2.分析行列式的乘对乘错定理的区别与联系；

3.引出拉普拉斯定理，仅供同学们了解：

4.根据行列式的依行依列展开定理，计算或证明行列式的值：常用的方法是把

某一行（列）的元素化为只含一个非零元素，再按照这一行（列）展开，从而

把n阶降为n-1阶；

5.计算著名的范德蒙行列式并把它当成公式记住。

重点：行列式的乘对乘错定理的理解和灵活应用。

难点：范德蒙行列式的计算。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P134：2,3

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第三章行列式第8周第5~6节

授课时间

附加：行列式的基本计算方法

教学目的、要求：

介绍行列式的三种变换；通过一些比较典型的例题分析和习题讲解，掌握行列式计算中

的一些技巧；培养分析问题和解决问题的综合能力。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.介绍行列式的三种变换：（1）交换两行（列）；（2）倍法变换；（3）消法变

换；

2.在掌握好行列式的基本性质的基础上，针对行列式的结构特点，选取适当的

解题方法，能较快地求出行列式的值。常用的方法有：

（1）化成已经熟悉的行列式来计算；

（2）降阶法；

（3）拆项法；

（4）加边法；

（5）递推法；

（6）数学归纳法；

3.选取典型例题，讲解主要方法及思路。

重点：使用行列式的基本性质来计算或证明行列式的值。

难点：加边法与递推法的掌握。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

参考文献【2】中的所有习题和思考题。

参考资料：

[1]张禾瑞，郝剑新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第三章行列式第9周第1〜2节

授课时间

3.5克拉默规则

教学目的、要求：

掌握克拉默规则的基本内容并能运用；学会用线性方程组的系数行列式的值来判定该方

程组的解的情况。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.讲解克拉默规则：在一个含n个未知数和n个方程的线性方程组

a\\Xl+/2》2+…+=仇

+ax+---+ax„=%

2222n中，若它的行列式DH0,则方程组有唯

内+%2々+…+&3"=2

••••,乙=卷，其中是把D的第j列

一解为：x,=x2=d,

元素换成方程组的常数列而得到的n阶行列式。

2.举例说明克拉默规则的用途与注意事项；

3.说明克拉默规则的应用范围。

重点：怎么更好的应用克拉默规则。

难点：求所有行列式D、D：D?、…、D,,的值且代入公式计算。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P140：1,2,3

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第三章行列式

第9周第3〜4节

本早小结授课时间

教学目的、要求：

回顾本章主要内容：n阶行列式的定义与基本性质、n阶行列式的计算与证明、克拉默

规则；通过一些典型例题分析和习题训练，培养分析问题和解决问题的综合能力。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.重点说明n阶行列式的定义，并比较三种定义的异同；

2.全面复习行列式的基本性质，记住一些基本特殊行列式的计算值；

3.提出子式、余子式与代数余子式的概念，并引出行列式的依行依列展开定理,

了解拉普拉斯定理；

4.掌握行列式的基本计算和证明方法，并加强训练；

5.掌握克拉默规则及其运用。

重点：掌握行列式的基本性质、基本计算与证明方法。

难点：行列式的定义，依行依列展开定理的理解。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

本章的所有习题。

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：授课类型理论课

第四章线性方程组

第9周第5〜6节

4.1消元法授课时间

教学目的、要求：

掌握线性方程组的初等变换、矩阵的初等变换概念：理解线性方程组的初等变换是同解

变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替；熟练的掌握用消

元法解线性方程组，以及判定线性方程组有没有解与解的个数问题。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.在讨论一般的含n个未知数和m个方程的线性方程组时，通常采用消元法;

2.先举一个简单的含3个未知数和3个方程的例题，用消元法来解；

3.引出线性方程组的三种初等变换：（1）换位变换；（2）倍法变换；（3）消法

变换；

4.讲解定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。

并解释消元法的本质；

5.介绍矩阵、系数矩阵、增广矩阵的定义，并比较矩阵与行列式的异同；

6.引出矩阵的三种初等变换的定义。

重点：线性方程组和矩阵的三种初等变换。

难点：掌握消元法的本质。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P152：1,2

参考资料:

[1]张禾瑞，郝辆新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：|授课类型|理论课

第四章线性方程组

第10周第1〜2节

4.1消元法授课时间

教学目的、要求：

掌握线性方程组的初等变换、矩阵的初等变换概念；理解线性方程组的初等变换是同解

变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替；熟练的掌握用消

元法解线性方程组，以及判定线性方程组有没有解与解的个数问题。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.介绍阶梯型矩阵的定义，并举例说明；

2.事实：任一个非零矩阵总可以通过行初等变换化成一个阶梯型矩阵；

3.讲解定理2：任一个矩阵A总可以通过行初等变换和第一种列初等变换把A

化成主对角线上元素为1的阶梯型矩阵；

4.讲解定理3：线性方程组的解的判定定理；

5.线性方程组的一般解可以由自由未知量表示出来；

6.举例说明定理3的应用：判定线性方程组的解的情况，并在有解时求出•般

解的表示式。

重点：掌握行列式的基本性质及简单的计算方法。

难点：掌握行列式的三种定义的区别与联系。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P152：3,4

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

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授课题目（教学章、节或主题）：I授课类型I理论课

第四章线性方程组

第10周第3〜4节

4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法授课时间

教学目的、要求：

能熟练地用初等变换化简矩阵，求出它的秩；能用矩阵的秩判定线性方程组是否有解以

及有多少个解，并能用矩阵的初等变换或克拉默规则，熟练地求出线性方程组的解。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.介绍矩阵的秩的定义，并举例说明；

2.事实：若对矩阵A施行某一种初等变换后得到矩阵B,则可以对B施行同一

种初等变换得到A；

3.讲解定理1：初等变换不改变矩阵的秩；

4.讲解定理2：线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有

相同的秩，这是线性方程组可解的判别法；

5.根据以上定理，很快得到线性方程组的解的个数的判别法，就是定理3：若

线性方程组有解，则（1）当系数矩阵的秩＜n时，该方程组有无穷多解；（2）

当系数矩阵的秩等于n时，该方程组有唯一解；

6.举例说明怎样求矩阵的秩。

重点：线性方程组有解的充分必要条件与有解时解的个数判别。

难点：带参数的线性方程组的解的判定。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P159：2,3,4,5,6

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：I授课类型I理论课

第四章线性方程组

第10周第5〜6节

4.3线性方程组的公式解授课时间

教学目的、要求：

理解线性方程组的公式解的推理、演算过程；掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组

的区别与联系；掌握对含有参数的线性方程组有解、无解的讨论的一般方法。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.了解简化•个线性方程组的过程，并理解线性方程组和简化后的线性方程组

同解的原因；

2.讲解定理1：若线性方程组有解，且其系数矩阵的秩等于r,则可以在原m

个方程里选出r个方程，使得它们同解；

3.在定理1中，若出现r=n的情况时，该线性方程组便可以用克拉默规则来解，

其解的公式就是克拉默规则中的解；

4.举例说明怎么判断和求出线性方程组的公式解；

重点：线性方程组的同解简化。

难点：线性方程组的公式解的求法。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P168：1,2

参考资料：

[1]张禾瑞，郝纲新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：I授课类型I理论课

第四章线性方程组

第11周第1〜2节

4.3线性方程组的公式解授课时间

教学目的、要求：

理解线性方程组的公式解的推理、演算过程；掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组

的区别与联系；掌握对含有参数的线性方程组有解、无解的讨论的一般方法。

教学内容：（包括基本内容、重点、难点）

基本内容：1.一般来说，求线性方程组的公式解总是比较麻烦的，因而在实际问题中，经

常使用矩阵消元法；

2.了解齐次线性方程组的定义和例子；

3.齐次线性方程组一定有解一一零解；

4.讲解定理2（齐次线性方程组有非零解的判定定理1）：齐次线性方程组有非

零解的充分必要条件是其系数矩阵的秩小于它的未知量的个数；

5.齐次线性方程组有非零解的判定定理2：齐次线性方程组有非零解的充分必

要条件是其系数行列式等于零；

6.齐次线性方程组有非零解的判定定理3：在齐次线性方程组中，若方程的个

数小于未知量的个数，则该方程组一定有非零解。

重点：掌握齐次线性方程组解的判定定理。

难点：掌握带参数的线性方程组的解的讨论。

教学手段与方法：

讲授，练习

思考题、作业：

P168：3,4,5

参考资料：

[1]张禾瑞，郝^新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李师正等编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]华南师大数学系编，《高等代数》，华南理工大学出版社，1994年。

[4]北京大学数学系编，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，1995年