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文档简介
2024-2025学年江苏省连云港等四市高三数学试题4月月考试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有2.已知正项等比数列的前项和为,且,则公比的值为()A. B.或 C. D.3.已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点坐标为,若,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.4.已知、,,则下列是等式成立的必要不充分条件的是()A. B.C. D.5.已知,,那么是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A.7 B.14 C.28 D.849.设函数,若在上有且仅有5个零点,则的取值范围为()A. B. C. D.10.已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为()A. B. C. D.11.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家、天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A. B.C. D.12.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的一条渐近线方程为,则________.14.直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于________.15.如图所示的流程图中,输出的值为______.16.在边长为2的正三角形中,,则的取值范围为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知的图象在处的切线方程为.(1)求常数的值;(2)若方程在区间上有两个不同的实根,求实数的值.19.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.20.(12分)设函数f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1},求实数a的值;(2)证明:f(x).21.(12分)已知函数(I)若讨论的单调性;(Ⅱ)若,且对于函数的图象上两点,存在,使得函数的图象在处的切线.求证:.22.(10分)设函数.(1)解不等式;(2)记的最大值为,若实数、、满足,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.2.C【解析】
由可得,故可求的值.【详解】因为,所以,故,因为正项等比数列,故,所以,故选C.一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.3.A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的离心率,然后求解a,b关系,即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以双曲线的渐近线方程为:y=±.故选:A.本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法,涉及抛物线的简单性质的应用.4.D【解析】
构造函数,,利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数,由得出,分、、三种情况讨论,利用放缩法结合函数的单调性推导出或,再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数,,则,,所以,函数、在区间上均为减函数,当时,则,;当时,,.由得.①若,则,即,不合乎题意;②若,则,则,此时,,由于函数在区间上单调递增,函数在区间上单调递增,则,;③若,则,则,此时,由于函数在区间上单调递减,函数在区间上单调递增,则,.综上所述,.故选:D.本题考查函数单调性的应用,构造新函数是解本题的关键,解题时要注意对的取值范围进行分类讨论,考查推理能力,属于中等题.5.B【解析】
由,可得,解出即可判断出结论.【详解】解:因为,且.,解得.是的必要不充分条件.故选:.本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A本题主要考查充分条件和必要条件的判断,二倍角正切公式的应用是解决本题的关键,属于基础题.7.D【解析】
根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴离心率e1,故选:D.本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题.8.D【解析】
利用等差数列的通项公式,可求解得到,利用求和公式和等差中项的性质,即得解【详解】,解得..故选:D本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9.A【解析】
由求出范围,结合正弦函数的图象零点特征,建立不等量关系,即可求解.【详解】当时,,∵在上有且仅有5个零点,∴,∴.故选:A.本题考查正弦型函数的性质,整体代换是解题的关键,属于基础题.10.B【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.【详解】为上的奇函数,,而函数是上的偶函数,,,故为周期函数,且周期为故选:B本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.11.B【解析】
执行给定的程序框图,输入,逐次循环,找到计算的规律,即可求解.【详解】由题意,执行给定的程序框图,输入,可得:第1次循环:;第2次循环:;第3次循环:;第10次循环:,此时满足判定条件,输出结果,故选:B.本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.12.D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程,结合题意可求得正实数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于该双曲线的一条渐近线方程为,,解得.故答案为:.本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数,考查计算能力,属于基础题.14.【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点,求出弦的中点到抛物线准线的距离,进一步得到弦的中点到直线的距离.【详解】解:如图,直线过定点,,而抛物线的焦点为,,弦的中点到准线的距离为,则弦的中点到直线的距离等于.故答案为:.本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,体现了数学转化思想方法,属于中档题.15.4【解析】
根据流程图依次运行直到,结束循环,输出n,得出结果.【详解】由题:,,,结束循环,输出.故答案为:4此题考查根据程序框图运行结果求输出值,关键在于准确识别循环结构和判断框语句.16.【解析】
建立直角坐标系,依题意可求得,而,,,故可得,且,由此构造函数,,利用二次函数的性质即可求得取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,设,,,,根据,即,,,则,,即,,,则,,所以,,,,,,且,故,设,,易知二次函数的对称轴为,故函数在,上的最大值为,最小值为,故的取值范围为.故答案为:.本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意通过设元、消元,将问题转化为元二次函数的值域问题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)或;(2).【解析】
(1)利用绝对值的几何意义,将不等式,转化为不等式或或求解.(2)根据-2在R上恒成立,由绝对值三角不等式求得的最小值即可.【详解】(1)原不等式等价于或或,解得:或,∴不等式的解集为或.(2)因为-2在R上恒成立,而,所以,解得,所以实数的取值范围是.本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出结论;(2)根据函数的单调区间,极值,做出函数在的图象,即可求解.【详解】(1),由题意知,解得(舍去)或.(2)当时,故方程有根,根为或,+0-0+极大值极小值由表可见,当时,有极小值0.由上表可知的减函数区间为,递增区间为,.因为,.由数形结合可得或.本题考查导数的几何意义,应用函数的图象是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.19.(1);(2)见解析.【解析】
(1)在中,计算出的值,可得出的值,进而可得出的值,由此可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,根据已知条件得出,利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式,代入直线的方程,即可得出直线所过定点的坐标.【详解】(1)在中,,,,,,,,因此,椭圆的标准方程为;(2)由题不妨设,设点,联立,消去化简得,且,,,,,∴代入,化简得,化简得,,,,直线,因此,直线过定点.本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中直线过定点的问题,考查计算能力,属于中等题.20.(1)a=1;(2)见解析【解析】
(1)由题意可得|x﹣a|≥4x,分类讨论去掉绝对值,分别求得x的范围即可求出a的值.(2)由条件利用绝对值三角不等式,基本不等式证得f(x)≥2..【详解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),当x≥a时,x﹣a≥4x,解得x,这与x≥a>0矛盾,故不成立,当x<a时,a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)证明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,当且仅当a时取等号,故f(x).本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.21.(1)见解析(2)见证明【解析】
(1)对函数求导,分别讨论,以及,即可得出结果;(2)根据题意,由导数几何意义得到,将证明转化为证明即可,再令,设,用导数方法判断出的单调性,进而可得出结论成立.【详解】(1)解:易得,函数的定义域为,,令,得或.①当时,时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为.②当时,时,,函数单调递减;或时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为,.③当时,时,,函数单调递增;此时,的减区间为.综上,当时,的减区间为,增区间为:当时,的减区间为,增区间为.;当时,增区间为.(2)证明:由题意及导数的几何意义,得由(1)中得.易知,导函数在上为增函数,所以,要证,只要证,即,即证.因为,不妨令,则.所以,所以在上为增函数,所以,即,所以,即,即.故有(得证).本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,利用导数
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