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文档简介
2024-2025学年吉安市重点中学高三适应性月考(八)数学试题试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.2.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④3.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.4.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()A. B.C. D.5.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.6.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为,侧棱长为,则它的外接球的表面积为()A. B. C. D.7.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的()A.9 B.31 C.15 D.639.()A. B. C.1 D.10.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.11.已知函数f(x)=xex2+axeA.1 B.-1 C.a D.-a12.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设数列的前n项和为,且,若,则______________.14.如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积为最小,政府投资最低?15.已知全集,集合,则______.16.如图,为测量出高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数.18.(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.19.(12分)设函数.(1)若恒成立,求整数的最大值;(2)求证:.20.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.21.(12分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.22.(10分)如图所示,三棱柱中,平面,点,分别在线段,上,且,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.2.A【解析】
对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.3.A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.4.D【解析】
利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为,,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为偶函数,故,所以.故选:D.本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.5.A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.6.C【解析】
如图所示,在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,计算长度,设球半径为,则,解得,得到答案.【详解】如图所示:在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,,故,,设球半径为,则,解得,故.故选:.本题考查了四棱锥的外接球问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.7.C【解析】
由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,可得有解,令,则,对分类讨论,得出时,取得极大值,也即为最大值,进而得出结论.【详解】解:由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,即有解,令,则,则当时,;当时,,故时,取得极大值,也即为最大值,当趋近于时,趋近于,所以满足条件.故选:C.本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法,考查化归与转化等数学思想,考查抽象概括、运算求解等数学能力,属于难题.8.B【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算,直至满足条件退出循环体,即可得出结果.【详解】执行程序框;;;;;,满足,退出循环,因此输出,故选:B.本题考查循环结构输出结果,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.9.A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.10.D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.11.A【解析】
令xex=t,构造g(x)=xex,要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,【详解】令xex=t,构造g(x)=xex,求导得g'(x)=故g(x)在-∞,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,且x<0时,g(x)<0,x>0时,g(x)>0,g(x)max=g(1)=1e,可画出函数g(x)的图象(见下图),要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a>0,即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4,即t1+t2=-a>4t1故选A.解决函数零点问题,常常利用数形结合、等价转化等数学思想.12.D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.9【解析】
用换中的n,得,作差可得,从而数列是等比数列,再由即可得到答案.【详解】由,得,两式相减,得,即;又,解得,所以数列为首项为-3、公比为3的等比数列,所以.故答案为:9.本题考查已知与的关系求数列通项的问题,要注意n的范围,考查学生运算求解能力,是一道中档题.14.(1);(2).【解析】
(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;(2)令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解:(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.所以直线的方程为,即.因为直线与圆相切,所以.因为点在直线的上方,所以,所以式可化为,解得.所以,.所以面积为.(2)令,则,且,所以,.令,,所以在上单调递减.所以,当,即时,取得最大值,取最小值.答:当时,面积为最小,政府投资最低.本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.15.【解析】
根据题意可得出,然后进行补集的运算即可.【详解】根据题意知,,,,.故答案为:.本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算,考查计算能力,属于基础题.16.1【解析】试题分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案为1.考点:正弦定理的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2),有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】(1)的定义域为,,当时,,所以在单调递减;当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.(2),有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,,当时,,当时,.如图可知①当时,有唯一零点,即有唯一零点;②当时,有两个零点,即有两个零点;③当时,有唯一零点,即有唯一零点;④时,此时无零点,即此时无零点.本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.18.矩阵属于特征值的一个特征向量为,矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程组,即可求得相应的特征向量.【详解】由题意,矩阵的特征多项式为,令,解得,,将代入二元一次方程组,解得,所以矩阵属于特征值的一个特征向量为;同理,矩阵属于特征值的一个特征向量为v本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算,其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19.(1)整数的最大值为;(2)见解析.【解析】
(1)将不等式变形为,构造函数,利用导数研究函数的单调性并确定其最值,从而得到正整数的最大值;(2)根据(1)的结论得到,利用不等式的基本性质可证得结论.【详解】(1)由得,令,,令,对恒成立,所以,函数在上单调递增,,,,,故存在使得,即,从而当时,有,,所以,函数在上单调递增;当时,有,,所以,函数在上单调递减.所以,,,因此,整数的最大值为;(2)由(1)知恒成立,,令则,,,,,上述等式全部相加得,所以,,因此,本题考查导数在函数单调性、最值中的应用,以及放缩法证明不等式的技巧,属于难题.20.(1)(2)证明见解析【解析】
(1),①当时,,②两式相减即得数列的通项公式;(2)先求出,再利用裂项相消法求和证明.【详解】(1)解:,①当时,.当时,,②由①-②,得,因为符合上式,所以.(2)证明:因为,所以.本题主要考查数列通项的求法,考查数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.(1)(2)当G点横坐标为整数时,S不是整数.【解析】
(1)先求解导数,得出切线方程,联立方程得出交点G的轨迹方程;(2)先求解弦长,再分别求解点到直线的距离,表示出四边形的面积,结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】(1)设,则,抛物线C的方程可化为,则,所以曲线C在点A处的切线方程为,在点B处的切线方程为,因为两切线均过点G,所以,所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,即,将直线AB的方程与抛物线联立,,
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